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任意角的三角函数定义


回忆:初中时学过的锐角三角函数的定义 A 在RT△ABC中,

b sin ? ? c b tan ? ? a

a cos? ? c

c

b
C

? B a

思考:任意角的三角函数如何定义呢?

探究:在直角坐标系中,锐角 终边上的点的坐标表示吗?
r ?| OP |? 记 x2 ? y2 = 1

? 的三角函数能用其
y

MP sin ? ? OP

= =

y ry

P( x, y)
P( x, y)

OM cos? ? OP
MP tan ? ? OM

x x r

?
O M x

y = x

思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数?

任意角三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), y 那么: (1)y叫做α的正弦(sine), 记作sinα,即sinα=y (2)x叫做α的余弦(cosine), 记作cosα,即cosα=x
y (3) x 叫做α的正切(tangent),记 y

O

?

x

P(x,y)

作tanα,即tanα=

(x≠0)
x

统称为三角函数

【例1】:如图已知角α的终边与单位圆的交点是

解:根据任意角的三角函数定义: 1 1 3 P(? , cos ? ? ? 2 sin ? ? 2 2

1 3 ,求角α的正弦、余弦和正切值。 P(? , ) 2 2 y
3 ) 2

?
O x

tan? ? ? 3

点评:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标,则可 直接利用定义求三角函数值。

2? 【例2】:求角 的正弦、余弦和正切值。 3
分析:解RtΔOMP可得点

y
2? 3

1 3 P(? , ) ,故 2 2
2? 3 sin ? 3 2

P(x,y)

2? 1 cos ?- 3 2

M

O

x

2? tan ?? 3 3
点评:若已知角α的大小,可求出角α终边与单位 圆的交点,然后再利用定义求三角函数值。

【练习】
2 2 ,? ) 1、已知角β的终边过点 P( ,求角β的 2 2 三个三角函数值。

7? 2、求角 的三个三角函数值。 6 19? 3、求角 的三个三角函数值。 6

解题方法总结 (1)已知交点P的坐标,直接用定义。

(2)已知角,则先求交点P的坐标再用定义

思考:已知角α的终边经过点 P(?1, 3),求角α的正 弦、余弦和正切值。
?OMP 分析:?OM1P 1∽

P(?1, 3)

y

| OP |? (?1) 2 ? ( 3 ) 2 ? 2

y 3 sin ? ? y ? ? 1 2 x ?1 1 cos ? ? x ? ? ?? 1 2 2 y 3 tan? ? ? ?? 3 x ?1

P 1 ( x, y)

M

M1 O

x

a的终边
P( x,y ) r

y

P1 (x1,y1)

y y1 ? ? y1 r 1
o

y

y1

r1
x1

x

思考:当点P在终边上的 x x1 x ? ? x1 位置改变时,上述三个 r 1 值会随之改变吗?

y y 比值 r 称为a的正弦,记作sina,即sina=r x x 比值 r 称为a的余弦,记作cosa,即cosa=
y 比值 x 称为a的正切,记作tana,即tana=



y x

三个比值都不会随 P 在 a 终边上的位置变化而改变

a的终边
P( x,y )

y

任意角三角函数的定义
设?是一个任意角,在?的 终边上任取(异于原点的)一 点P(x,y),P与原点的距离

r o

x

r ? x2 ? y2 ? 0

y 正弦sina= r

x 余弦cosa= r

y 正切tana= (x≠0) x

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值 的函数,它们统称为三角函数

任意角三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), y 那么: (1)y叫做α的正弦(sine), 记作sinα,即sinα=y (2)x叫做α的余弦(cosine), 记作cosα,即cosα=x
y (3) x 叫做α的正切(tangent),记 y

O

?

x

P(x,y)

作tanα,即tanα=

(x≠0)
x


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