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福建省龙岩一中2010-2011学年高一上学期期末考试(数学)


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福建省龙岩一中 2010-2011 学年高一上学期期末考试(数学)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个答案中,只有 1. 设集合 A ? ?( x, y) y ? ax ? 1? , B ? ?( x, y) y ? x ? b? ,且 A ? B ? ?(2,5)? ,则( A. a ? 3, b ? 2
?

一个项是符合题目要求的,把正确的代号填在答题卡指定的位置上。 B. a ? 2, b ? 3
? ?

).

C. a ? ?3, b ? ?2
?

D. a ? ?2, b ? ?3 )

2. 正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, A1 B 与 D1 B1 所成的角是( A. 60 B. 30 C. 45 D. 0

?log 2 x ( x ? 0) 1 3. 已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] 的值是( 4 ( x ? 0) ?3
A. 8 B.

).

4. 过点 P(?2,1) 且被圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得弦最长的直线 l 的方程是( ) A. 3x ? y ? 5 ? 0 B. x ? 3 y ? 5 ? 0 C. 3x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0 5. 函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的零点所在区间为( ). A. ( ? 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 6. 平面α ∥平面β ,AB、CD 是夹在α 和β 间的两条异面线段,E、F 分别为 AB、CD 的中点, 则 EF 与α 的关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定 7. 在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为( ). A. y=-x+2 B. y=-x-2 C. y=x+2 D. y=x-2 8. 设点 M 是 Z 轴上一点,且点 M 到 A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等,则点 M 的坐标是( ). A. (-3,-3,0) B. (0,0,-3) C. (0,-3,-3) D. (0,0,3) 9. 已知两直线 l1 : (3 ? a) x ? 4 y ? 5 ? 3a 与 l2 : 2 x ? (5 ? a) y ? 8 平行,则 a 等于( ) A. ?7或-1 B. 7或1 C. ?7 D. -1

1 8

C. 9

D.

1 9

? 10. 已 知 f ( x) ? x , g ( x)
2

1 x ( )? m 若 对 任 意 x1 ?[ 0 , 2 ] 存 在 x2 ?[1, 2 ] 使 得 , , , 2


f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是(
A. [ , ??)

1 4

B. (??, ]

1 4

C. [ , ??)

1 2

D. (??, ? )

7 2

二、填空题(每小题 4 分,共 5 小题,共 20 分) 11. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是 12. 圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的点到直线 4x+3y-12=0 的距离的最小值是 13. 如图 1,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、 体盒子中,∠ABC 等于 度 B、C 为其上的三个点,则在正方

) ) 0 14. 奇函数 f (x) 在区间(?? , 0) 上单调递减,, f (2) ? 0 ,则不等式( x ?1 f( x ? 的解集为
图 15. 曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 ( ? 2 ? x ? 2 ) 与直线 y ? 4 ? k ?x ? 2? 有两个交点时, 实数 k 的 1
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取值范围是

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三、解答题(前 4 小题每题 13 分,最后 2 小题 14 分,共 80 分) 16(本小题 13 分) .一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 2m、高为 4m 的圆柱形 物体,上面是一个直径为 2m 的半球形体,如果每平方米大约需要鲜花 200 朵,那么装饰 这个花柱大约需要多少朵鲜花( ? 取 3.1)?

17(本小题 13 分) .已知直线 l 过直线 y ? ? x ? 1 和 y ? 2 x ? 4 的交点; (Ⅰ)若直线 l 与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,求直线 l 的方程. (Ⅱ)若原点 O 到直线 l 的距离为 1.求直线 l 的方程.

18(本小题 13 分) .如图在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A,D1C,AD 的中点. 求证: (Ⅰ)MN//平面 ABCD; (Ⅱ)MN⊥平面 B1BG.
B1 M A1 D1 C1 N A G D

B

C

19. (本小题 13 分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从 A 地运到 B 地,有汽车、火车两种 运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表: 运输工具 汽车
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途中速度 (km/h) 50

途中费用 (元/km) 8

装卸时间 (h) 2

装卸费用 (元) 1000

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火车 100

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4 4 2000

若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为 300 元/h,设 A、B 两地距离为 x km (I)设采用汽车与火车运输的总费用分别为 f ( x ) 与 g ( x) ,求 f ( x ) 与 g ( x) ; (II)试根据 A、B 两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小) . (注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)

20(本小题 14 分) .已知直线L被两平行直线 L1 : 2 x ? 5 y ? ?9 与 L 2 : 2x ? 5y ? 7 ? 0 所
2 截线段AB的中点恰在直线 x ? 4 y ? 1 ? 0 上,已知圆 C : (x ? 4) 2 ? ( y ? 1) ? 25 .

(Ⅰ)求两平行直线 L1 与 L 2 的距离; (Ⅱ)证明直线L与圆C恒有两个交点; (Ⅲ)求直线L被圆C截得的弦长最小时的方程.

21(本小题 14 分).已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a , (Ⅰ)当 a =2 时,写出函数 y ? f (x) 的单调递增区间;
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(Ⅱ)当 a >2 时,求函数 y ? f (x) 在区间 ?1,2 ? 上的最小值; (Ⅲ)设 a ? 0 ,函数 f (x) 在 ( m, n ) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值 范围(用 a 表示)

龙岩一中 2010-2011 学年第二学段(模块)考试

高一数学参考答案
一.选择题: 题号 1 答案 B 二、填空题: 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 A 8 B 9 C 10 A

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18.证明: (1)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得 1 NE∥D1D 且 NE= D1D, ………………………………2 分 2 1 又 AM∥D1D 且 AM= D1D………………………………4 分 2 又 AE ? 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD……7 分
B1

A1

D1 C1 N

M

A

G

D

B

C

所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形所以 MN∥AE,……6 分

(2)由 AG=DE , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB 可得 ?EDA 与 ?GAB 全等 所 以 ?A B G ? D A E 又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF , ?
?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG ,

…10 分 , 所 以

………………………12 分 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG ……13 分

又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1BG ,

19. 解:.由题意可知,用汽车运输的总支出为:
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f ( x) ? 8 x ? 1000 ? (

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…………… 4 分

x ? 2) ? 300 ? 14 x ? 1600( x ? 0) 50

用火车运输的总支出为: g ( x) ? 4 x ? 2000 ? ( (1)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ?

x ? 4) ? 300 ? 7 x ? 3200( x ? 0) …8 分 100

1600 ; 7 1600 (2)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ? 7 1600 (3)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ? ………………11 分 7 1600 km 时,采用汽车运输好; 答:当 A、B 两地距离小于 7 1600 km 时,采用汽车或火车都一样; 当 A、B 两地距离等于 7 1600 km 时,采用火车运输好…………………………13 分 当 A、B 两地距离大于 7

20. (Ⅰ)解:两平行直线 L1 与 L 2 的距离 d ?

| 9 ? (?7) | 2 ? (?5)
2 2

?

16 29 ………3 分 29

(Ⅱ)证明(法一) :设线段 AB 的中点 P 的坐标(a,b) ,由 P 到 L1,L2 的距离相等,得 、

?2a ? 5b ? 9? ? ?2a ? 5b ? 7 ? ,
22 ? 52 2 2 ? 52
经整理得, 2a ? 5b ? 1 ? 0 ,又点 P 在直线x-4y-1=0上,所以 a ? 4 b ? 1 ? 0

?2a ? 5b ? 1 ? 0 ?a ? ?3 解方程组 ? 得? ?a ? 4b ? 1 ? 0 ? b ? ?1

即点 P 的坐标(-3,-1) ,………7 分

所以直线 L 恒过点 P(-3,-1) ;…………… 8 分
2 2 将点 P(-3,-1)代入圆 C : (x ? 4) ? ( y ? 1) ? 25 ,可得 (?3 ? 4) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? 25

所以点 P(-3,-1)在圆内,从而过点 P 的直线L与圆C恒有两个交点.………10 分 (Ⅲ)解:当 PC 与直线L垂直时,弦长最小, k PC ? ?2 ,所以直线L的斜率为 线L的方程为: x ? 2 y ? 1 ? 0 .……………………………14 分 (Ⅱ)法二:设线段AB的中点 P 必经过直线: 2x ? 5y ? c ? 0 ,由已知,得

1 ,所以直 2

?c ? 9? ? ?c ? 7?
22 ? 52

2 2 ? 52



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?2x ? 5y ? 1 ? 0 所以 c ? 1 ,所以 ? ,得点 P(-3,-1) ,以下同法一 ?x ? 4 y ? 1 ? 0

21.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x | x ? 2 |? ?

? x( x ? 2), x ? 2 …………………(2 分) ? x(2 ? x), x ? 2

由图象可知,单调递增区间为(- ? ,1],[2,+ ? ) (开区间不扣分)…(4 分)

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