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2005年北京中考数学试题及答案


2005 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷
第 I 卷(机读卷 共 44 分) 一. 选择题(共 11 个小题,每小题 4 分,共 44 分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的。 1. ?2 的相反数是( ) A. ?

1 2

B. )

1 2

C. 2

D. ?2

2. 下列运算中,正确的是( A.

4 ?2

B. 2

?3

? ?6

C. (ab) 2 ? ab 2 )

D. 3a ? 2a ? 5a

2

3. 下列根式中,与 3 是同类二次根式的是( A. B.

24

12

C.

3 2

D.

18

4. 下列图形中,不是中心对称图形的是( ) A. 圆 B. 菱形 C. 矩形 D. 等边三角形 5. 据国家环保总局通报,北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市。预计今年年底,北京市污水处 理能力可以达到每日 1684000 吨。将 1684000 吨用科学记数法表示为( )

. A. 1684 ? 10 吨
6

. B. 1684 ? 10 吨
5

. C. 01684 ? 10 吨
7

D. 16.84 ? 10 吨
5

6. 如图,在半径为 5 的⊙O 中,如果弦 AB 的长为 8,那么它的弦心距 OC 等于(



A. 2 7. 用换元法解方程

B. 3

C. 4

D. 6 )

? x 2 ? 1? x2 x2 ? y ,那么原方程可化为( ? 6? 2 ? ? 1 ? 0 时,如果设 2 x ?1 x2 ? 1 ? x ?
B. y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 C. y ?

A. y ?

6 ?1? 0 y

6 ?1? 0 y

D. y ?

6 ?1? 0 y2


8. 如图,PA、PB 是⊙O 的两条切线,切点是 A、B。如果 OP=4, PA ? 2 3 ,那么∠AOB 等于(

A. 90°

B. 100°
1

C. 110°

D. 120°

9. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 上一点,连结 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F,则下列结论中错误的 是( )

A. ∠AEF=∠DEC B. FA:CD=AE:BC C. FA:AB=FE:EC D. AB=DC 10. 李大伯承包了一个果园,种植了 100 棵樱桃树,今年已进入收获期。收获时,从中任选并采摘了 10 棵树 的樱桃,分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表: 序号 质量(千克) 1 14 2 21 3 27 4 17 5 18 6 20 7 19 8 23 9 19 10 22

据调查,市场上今年樱桃的批发价格为每千克 15 元。用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按 批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( ) A. 200 千克,3000 元 B. 1900 千克,28500 元 C. 2000 千克,30000 元 D. 1850 千克,27750 元 11. 如下图,在平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=5,BC=3,点 P 从起点 D 出发,沿 DC、CB 向终点 B 匀速运动。设点 P 所走过的路程为 x,点 P 所经过的线段与线段 AD、AP 所围成图形的面积为 y,y 随 x 的 变化而变化。在下列图象中,能正确反映 y 与 x 的函数关系的是( )

第 II 卷(非机读卷 二. 填空题(共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 12. 在函数 y ?

共 76 分)

1 中,自变量 x 的取值范围是____________。 x?2

13. 不等式组 ?

?x ? 2 ? 1 的解集是____________。 ?2 x ? 1 ? 0

14. 如果反比例函数的图象经过点(1,-2),那么这个反比例函数的解析式为_______________________。 15. 如果正多边形的一个外角为 72°,那么它的边数是____________。 16. 在△ABC 中,∠B=25°,AD 是 BC 边上的高,并且 AD ? BD·DC ,则∠BCA 的度数为____________。
2

三. (共 3 个小题,共 15 分) 17. (本小题满分 4 分) 分解因式: m ? n ? 2m ? 2n
2 2

2

18. (本小题满分 5 分)

计算: 27 ?

1 0 ? ?cos 30?? 2? 3

19. (本小题满分 6 分)

用配方法解方程 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

四. (本题满分 5 分) 20. 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,点 E、F 分别在 AB、DC 上, 且 BE=2EA,CF=2FD。 求证:∠BEC=∠CFB

五. (本题满分 6 分) 21. 如图,河旁有一座小山,从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30°,测得岸边点 D 的俯角为 45°, 又知河宽 CD 为 50 米。 现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC, 求缆绳 AC 的长 (答 案可带根号)。

3

六. (本题满分 6 分) 22. 列方程或方程组解应用题: 夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定 温度都调高 1℃,结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度;再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总 节电量是只将温度调高 1℃后的节电量的 1.1 倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电 405 度。求 只将温度调高 1℃后两种空调每天各节电多少度?

七. (本题满分 7 分) 23. 已知:关于 x 的方程 ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2 ,并且 抛物线 y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。 (1)求实数 a 的取值范围; (2)当 x1 ? x2 ? 2 2 时,求 a 的值。

4

八. (本题满分 8 分)

24. 已知:在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 是 AC 的中点,⊙O 经过 A、D、B 三点,CB

的延长线交⊙O 于点 E(如图 1)。 在满足上述条件的情况下,当∠CAB 的大小变化时,图形也随着改变(如图 2),在这个变化过程中,有些 线段总保持着相等的关系。 (1)观察上述图形,连结图 2 中已标明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段 CE 相等; (2)在图 2 中,过点 E 作⊙O 的切线,交 AC 的延长线于点 F。 ①若 CF=CD,求 sin∠CAB 的值; ②若

CF ? n (n ? 0) ,试用含 n 的代数式表示 sin∠CAB(直接写出结果)。 CD

(1)连结__________________ 求证:_________=CE 证明: (2)解:① ② sin ∠CAB ? _____________( n ? 0 )

5

九. (本题满分 9 分)

25. 已知:在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? 4 k 的图象与 x 轴交于点 A,

抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 O、A 两点。 (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)设抛物线的顶点为 D,以 D 为圆心,DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿 x 轴翻 折,翻折后的劣弧落在⊙D 内,它所在的圆恰与 OD 相切,求⊙D 半径的长及抛物线的解析式; (3)设点 B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P,使 得 ∠POA ? (1)解: (2)解: (3)解答:

4 ∠OBA ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 3

6

2005 年参考答案
第 I 卷(机读卷 一. 选择题(共 11 个小题,每小题 4 分,共 44 分) 1. C 11. A 第 II 卷(非机读卷 二. 填空题(共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 12. 115° 三. (共 3 个小题,共 15 分) 解: m
2

共 44 分) 3. B 共 76 分) 13. 4. D 5. A 6. B 7. C8. D 9. B 10.

2. A

x?2

?

1 ?x?3 2
2

14.

y??

2 x

15. 5

16. 65 ° 或

17. (本小题满分 4 分)

分解因式: m

? n 2 ? 2m ? 2n

? n 2 ? 2m ? 2n

? m 2 ? n 2 ? ?2m ? 2n? ??????1 分

?

?

? ?m ? n??m ? n? ? 2?m ? n? ??????3 分 ? ?m ? n??m ? n ? 2? ??????4 分
18. (本小题满分 5 分) 计算:

27 ?

1 0 ? ?cos 30?? 2? 3

解:

27 ?

1 0 ? ?cos 30?? 2? 3

?3 3?

?

2? 3 2? 3 2? 3

??

?

? 1 ??????3 分

? 3 3 ? 2 ? 3 ? 1 ??????4 分 ? 2 3 ? 1 ??????5 分
19. (本小题满分 6 分) 解:移项,得: x 配方,得: x
2
2

用配方法解方程 x

2

? 4x ? 1 ? 0

? 4 x ? ?1 ??????1 分
2 2

? 4 x ? ??2? ? ?1 ? ??2?

??????2 分

? x ? 2?2 ? 3 ??????4 分
解这个方程,得: x ? 2 即 x1

?? 3

? 2 ? 3,x2 ? 2 ? 3 ??????6 分

四. (本题满分 5 分) 20. 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,点 E、F 分别在 AB、DC 上,且 BE=2EA,CF=2FD。

7

求证:∠BEC=∠CFB

证明:在梯形 ABCD 中, ∵AD∥BC,AB=DC ∴∠ABC=∠DCB??????1 分 ∵BE=2EA,CF=2FD

? BE ?

2 2 AB,CF ? DC 3 3

∴BE=CF??????2 分 在△EBC 和△FCB 中,

? BE ? CF ? ?∠EBC ? ∠FCB ??????3 分 ? BC ? CB ?
∴△EBC≌△FCB??????4 分 ∴∠BEC=∠CFB??????5 分 五. (本题满分 6 分) 21. 如图,河旁有一座小山,从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30°,测得岸边点 D 的俯角为 45°, 又知河宽 CD 为 50 米。现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC,求缆绳 AC 的长(答案可带根号)。

解:作 AB⊥CD 交 CD 的延长线于点 B 在 Rt△ABC 中, ∵∠ACB=∠CAE=30°,∠ADB=∠EAD=45° ∴AC=2AB,DB=AB??????2 分 设

AB ? x ,则 BD ? x,AC ? 2 x,CB ? 50 ? x
AB ??????3 分 CB

? tan ∠ACB ?

? AB ? CB· tan ∠ACB ? CB· tan30?
?x ?
解得: x

3 ?50 ? x? ??????4 分 3
? 25 1 ? 3

?

? ??????5 分
8

? AC ? 50 1 ? 3

? (米)??????6 分 答:缆绳 AC 的长为 50?1 ? 3 ? 米。
夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高 1℃,

?

六. (本题满分 6 分) 22. 列方程或方程组解应用题: 结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度;再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1℃后的节电 量的 1.1 倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电 405 度。求只将温度调高 1℃后两种空调每天各节电多少度? 解法一:设只将温度调高 1℃后,甲种空调每天节电 x 度,乙种空调每天节电 y 度 ??????1 分 依题意,得: ?

? x ? y ? 27 ??????3 分 . ? x ? 11y ? 405

解得: ?

?x ? 207 ??????5 分 ? y ? 180
??????6 分

答:只将温度调高 1℃后,甲种空调每天节电 207 度,乙种空调每天节电 180 度。 解法二:设只将温度调高 1℃后,乙种空调每天节电 x 度??????1 分 则甲种空调每天节电

? x ? 27? 度??????2 分

依题意,得: 11x ? x ? 27 ? 405 ??????3 分 . 解得: x ? 180 ??????4 分

? x ? 27 ? 207 ??????5 分
答:只将温度调高 1℃后,甲种空调每天节电 207 度,乙种空调每天节电 180 度。 ??????6 分 七. (本题满分 7 分) 23. 已知:关于 x 的方程

?a ? 2?x2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2 ,并且抛物线

y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。
(1)求实数 a 的取值范围; (2)当

x1 ? x2 ? 2 2 时,求 a 的值。

(1)解法一:∵关于 x 的方程

?a ? 2?x2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根

?a ? 2 ? 0 ?? 2 ?? ? ( ?2a ) ? 4a (a ? 2) ? 0 ? 1 ? ??????1 分 解得: a ? 0,且 a ? ?2
设抛物线 y

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点的坐标分别为 ??,0? 、 ??,0? ,且 ? ? ?
2

∴α 、β 是关于 x 的方程 x
2

? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 ? 0 的两个不相等的实数根
2

? ?' ? ???2a ? 1?? ? 4 ? 1 ? ?2a ? 5? ? ?2a ? 1? ? 20 ? 0
9

∴a 为任意实数

<2>

由根与系数关系得: ? ∵抛物线 y

? ? ? 2a ? 1,?? ? 2a ? 5

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁

? ? ? 2 ,? ? 2 ? ?? ? 2??? ? 2? ? 0 ? ?? ? 2?? ? ? ? ? 4 ? 0 ? 2a ? 5 ? 2?2a ? 1? ? 4 ? 0 3 ? 3 ? ??????2 分 解得: a ? ? 2 3 由<1>、<2>、<3>得 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 ??????3 分 2 ? 1 ? ??????1 分 解法二:同解法一,得: a ? 0,且 a ? ?2
∵抛物线 y ∴当 x

? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)两旁,且抛物线的开口向上

? 2 时, y ? 0

? 4 ? 2?2a ? 1? ? 2a ? 5 ? 0
解得: a

??

3 2

? 2 ? ??????2 分 3 ? a ? 0 ??????3 分 2

由<1>、<2>得 a 的取值范围是 ?

(2)解:∵ x1 和 x2 是关于 x 的方程

?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 的两个不相等的实数根

? x1 ? x 2 ? ??

2a a ,x1 x 2 ? a?2 a?2

3 ?a?0 2 ?a ? 2 ? 0
? x1 x 2 ?
不妨设 x1

a ? 0 ??????4 分 a?2

? 0,x2 ? 0

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 2 ??????5 分
2 2 ? x1 ? 2 x1 x2 ? x2 ? 8 ,即 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 8

2

4a ? 2a ? ?? ?8 ? ? ? a ? 2? a?2
解这个方程,得: a1

2

? ?4,a2 ? ?1 ??????6 分
10

经检验, a1

4a ? 2a ? ? ?4,a2 ? ?1 都是方程 ? ? 8 的根 ? ? ? a ? 2? a?2
3 ,舍去 2
24. 已知:在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 是 AC 的中点,⊙O 经过 A、D、B 三点,CB 的延长线交⊙O 于

2

? a ? ?4 ? ?

?a ? ?1为所求??????7 分
八. (本题满分 8 分) 点 E(如图 1)。 在满足上述条件的情况下,当∠CAB 的大小变化时,图形也随着改变(如图 2),在这个变化过程中,有些线段总保持着相等 的关系。 (1)观察上述图形,连结图 2 中已标明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段 CE 相等; (2)在图 2 中,过点 E 作⊙O 的切线,交 AC 的延长线于点 F。 ①若 CF=CD,求 sin∠CAB 的值; ②若

CF ? n (n ? 0) ,试用含 n 的代数式表示 sin∠CAB(直接写出结果)。 CD

(1)连结 AE 求证:AE=CE??????1 分 证法一:如图 3,连结 OD

∵∠ABC=90°,CB 的延长线交⊙O 于点 E ∴∠ABE=90° ∴AE 是⊙O 的直径 ∵D 是 AC 的中点,O 是 AE 的中点

1 CE 2 1 ? OD ? AE 2 ? OD ?
∴AE=CE??????3 分 证法二:如图 4,连结 BD

11

在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ∵D 是 AC 的中点 ∴AD=CD=BD ∴∠1=∠2 ∵四边形 AEBD 内接于⊙O ∴∠1=∠DAE ∴∠2=∠DAE ∴AE=CE??????3 分 证法三:如图 5,连结 DE

同证法一,得 AE 是⊙O 的直径 ∴∠ADE=90° ∵D 是 AC 的中点 ∴DE 是线段 AC 的垂直平分线 ∴AE=CE??????3 分 (2)①解法一:根据题意画出图形,如图 6,连结 DE。

∵EF 是⊙O 的切线 ∴∠3=∠4,且 EF
2

? FD·FA

? ∠2 ? ∠AFE ? ∠3,∠DAE ? ∠4 ? ∠5,∠2 ? ∠DAE ? ∠AFE ? ∠5


AD ? k ( k ? 0) ,则 CF ? CD ? k
12

? EF 2 ? FD·FA ? 2k·3k ? 6k 2 ? EF ? 6k
∵AE 是⊙O 的直径 ∴∠AEF=90° 在 Rt△AEF 中, cos∠AFE

?

EF 6k 6 ? ? AF 3k 3

? cos ∠CAB ?

6 3 3 ??????6 分 3

? sin ∠CAB ?

解法二:根据题意画出图形,如图 7,连结 DE。

∵AE 是⊙O 的直径,EF 是⊙O 的切线 ∴∠ADE=∠AEF=90° ∴Rt△ADE∽Rt△EDF

?


AD DE ? DE DF

AD ? k ( k ? 0) ,则 DF ? 2 k

k DE ? DE 2k ? DE ? 2 k ?
在 Rt△CDE 中

? CE 2 ? CD 2 ? DE 2 ? k 2 ? ? CE ? 3k ? ∠CAB ? ∠DEC

? 2k ?

2

? 3k 2

? sin ∠CAB ? sin ∠DEC ?

CD 3 ? CE 3

??????6 分

② sin ∠CAB

?

n?2 n?2

( n ? 0 )??????8 分

13

九. (本题满分 9 分) 25. 已知:在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y 点。 (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)设抛物线的顶点为 D,以 D 为圆心,DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿 x 轴翻折,翻折后的劣弧 落在⊙D 内,它所在的圆恰与 OD 相切,求⊙D 半径的长及抛物线的解析式; (3)设点 B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P,使得

? kx ? 4k 的图象与 x 轴交于点 A,抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过 O、A 两

∠POA ?

4 ∠OBA?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 3

(1)解法一:∵一次函数 y ∴点 A 的坐标为(4,0) ∵抛物线 y

? kx ? 4k 的图象与 x 轴交于点 A

? ax 2 ? bx ? c 经过 O、A 两点

? c ? 0,16a ? 4b ? 0
? b ? ?4a ??????1 分
解法二:∵一次函数 y

? kx ? 4k 的图象与 x 轴交于点 A

∴点 A 的坐标为(4,0) ∵抛物线 y

? ax 2 ? bx ? c 经过 O、A 两点

∴抛物线的对称轴为直线 x

?2

b ?x ? ? ?2 2a ? b ? ?4a ??????1 分
(2)解:由抛物线的对称性可知,DO=DA ∴点 O 在⊙D 上,且∠DOA=∠DAO 又由(1)知抛物线的解析式为

y ? ax 2 ? 4ax

∴点 D 的坐标为( 2, ? 4a ) ①当 a

? 0时,

14

如图 1,设⊙D 被 x 轴分得的劣弧为 OmA ,它沿 x 轴翻折后所得劣弧为 OnA ,显然 OnA 所在的圆与⊙D 关于 x 轴对称,设它 的圆心为 D' ∴点 D'与点 D 也关于 x 轴对称 ∵点 O 在⊙D'上,且⊙D 与⊙D'相切 ∴点 O 为切点??????2 分 ∴D'O⊥OD ∴∠DOA=∠D'OA=45° ∴△ADO 为等腰直角三角形







? OD ? 2 2 ??????3 分
∴点 D 的纵坐标为 ?2

? ?4 a ? ?2 1 ? a ? , b ? ?4 a ? ?2 2
∴抛物线的解析式为 y ②当 a

?

1 2 x ? 2 x ??????4 分 2

? 0时,
2 2
??

同理可得: OD ?

1 2 x ? 2 x ??????5 分 2 1 2 1 2 综上,⊙D 半径的长为 2 2 ,抛物线的解析式为 y ? x ? 2 x 或 y ? ? x ? 2 x 2 2 4 (3)解答:抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P,使得 ∠POA ? ∠OBA 3
抛物线的解析式为 y 设点 P 的坐标为(x,y),且 y>0 ①当点 P 在抛物线 y

?

1 2 x ? 2 x 上时(如图 2) 2

15

∵点 B 是⊙D 的优弧上的一点

? ∠OBA ?

1 ∠ADO ? 45? 2 4 ? ∠POA ? ∠OBA ? 60? 3
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E

? tan ∠POE ? y ? tan 60? x ? y ? 3x ?

EP OE

? y ? 3x ? x1 ? 4 ? 2 3 ? x2 ? 0 ? ? 由? 解得: ? (舍去) ,? 1 2 ? ?y ? x ? 2x ? y1 ? 6 ? 4 3 ? y2 ? 0 2 ?
∴点 P 的坐标为

?4 ? 2
??

3,6 ? 4 3

? ??????7 分

②当点 P 在抛物线 y

1 2 x ? 2 x 上时(如图 3) 2

同理可得, y

? 3x

? y ? 3x ? x1 ? 4 ? 2 3 ? x2 ? 0 ? ? ,? 由? 解得: ? (舍去) 1 2 ? y1 ? ?6 ? 4 3 ? y2 ? 0 ?y ? ? x ? 2x ? 2 ?
∴点 P 的坐标为

?4 ? 2

3, ? 6 ? 4 3

? ??????9 分 ?

综上,存在满足条件的点 P,点 P 的坐标为

?4 ? 2

3,6 ? 4 3

? 或 ?4 ? 2

3, ? 6 ? 4 3

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