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重庆市2016届高三2月调研测试数学文试卷


2016 年普通高等学校招生全国统一考试
2 月调研测试卷 数学(文史类) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题 1.设集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x | x2 ? x} ,则 A ? B ? ( A. {?1, 0,1} B. {0,1} C. {0} D. {1} )

1 的虚部是( ) 1? i 1 1 1 1 i A. B. ? C. D. ? i 2 2 2 2 3.某田径队有男运动员 42 人,女运动员 30 人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容 量为 n 的样本。若抽到的女运动员有 5 人,则 n 的值为( ) A. 5 B. 7 C. 12 D. 18
2.已知 i 为虚数单位,复数 4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S5 ? 15, S9 ? 63 ,则 a4 ? ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 5.已知“ p ? q ”是假命题,则下列选项中一定为真命题的是( A. p ? q
?





B. (?p) ? (?q)
? ? ?

C. (?p) ? q )

D. (?p) ? (?q)

6. sin 80 sin 40 ? cos80 cos 40 的值为( A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

7.在平行四边形 ABCD 中, E 为 BC 的中点,设 AC ? mAE ? nAD , 则 m? n ? ( A. ) C.

??? ?

??? ?

????

1 2

B. 1

3 2

D. 2 )

8.执行如题 8 图所示的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 2, c ? 3 ,则输出的结果为( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

9.已知 x ? 1, y ? 2 , ( x ? 1)( y ? 2) ? 4 ,则 x ? y 的最小值是( A. 5 B. 7 C. 3 ? 17
2 2

D. 11
2 2

10.已知 M (a, b) 是圆 O : x ? y ? r 内不在坐标轴上的一点,直线 l 的方程为 ax ? by ? r ,直 线 m 被圆 O 所截得的弦的中点为 M ,则下列说法中正确的是(
2 月调研测试卷数学(文史类)答案


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A. m / / l 且 l 与圆 O 相交 C. m / / l 且 l 与圆 O 相离 10. 已知实数 x 、y 满足 ?

B. m ? l 且 l 与圆 O 相切 D. m ? l 且 l 与圆 O 相离

? x ? y ?1 ? 0 b, , 在区间 (0,5) 内任取两数 a 、 则目标函数 z ? ax ? by ?2 x ? y ? 3 ? 0
) D.

的最小值大于 2 5 的概率为( A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

4 5

C 的对边分别是 a 、 b 、c 。 12. 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 若A?
的面积为( )

?

,B ?C ? , a ? 2 , 则 ?ABC 4 2

?

A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

2
第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题 13.已知函数 f ( x ) 满足 f (3x ) ? x ,则实数 f (2) ? 14.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) , 。

f ( x) ? x3 ? f ?(1) x2 ? 1 ,则 f ?(1) ?



15.棱长为 2 的正方体被截去一个角后所得几何体的三视图 如题 15 图所示,则该几何体的体积为 16.已知 A 、 B 、 F 分别是椭圆 x ?
2



y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的右顶点、上顶点、左焦点,设 ?ABF 的 b2


外接圆的圆心坐标为 ( p, q) 。若 p ? q ? 0 ,则椭圆的离心率的取值范围为 三、解答题 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos x(cos x ? 3 sin x) ?1。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值。

2 (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、b 、 c 。若 f ( ) ? 2 且 ab ? c ,求角 A 。

C 2

2 月调研测试卷数学(文史类)答案

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18. (本小题满分 12 分) 某社区为调查当前居民的睡眠状况,从该社区的 [10, 70] 岁的人群中随机抽取 n 人进行一次日 平均睡眠时间的调查。 这 n 人中各年龄组人数的频率分布直方图如图 1 所示, 统计各年龄组的“亚 健康族” (日平均睡眠时间符合健康标准的称为“健康族”, 否则称为“亚健康族”) 人数及相应频率, 得到统计表如表所示。 组数 分组 亚健康族的人数 占本组的频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 (Ⅰ)求 n 、 p 的值。 (Ⅱ)用分层抽样的方法从年龄在 [30,50) 岁的“压健康族”中抽取 6 人参加健康睡眠体检活动, 现从 6 人中随机选取 2 人担任领队,求 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40,50) 岁的概率。

[10, 20)

100
195 120

0.5
p

[20,30)

[30, 40)
[40,50) [50,60) [60,70)

0.6 0.4

a
30
15

0.3
0.3

19. (本小题满分 12 分) 如题 19 图,正方形 ABCD 的边长为 2 2 , E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点, M 、 N 是平面

ABCD 同一侧的两点, MA ? 平面 ABCD , MA / / NC , MA ? NC ? 3 。
(Ⅰ)设 AC ? BD ? O , P 为 NC 上一点,若 OP / / 平面 NEF ,求 NP : PC 。 (Ⅱ)证明:平面 MEF ? 平面 NEF 。

2 月调研测试卷数学(文史类)答案

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20. (本小题满分 12 分) 已知点 P(1, ?1) 在抛物线 C : y ? ax 2 上, 过点 P 作两条斜率互为相反数的直线分别交抛物线 C 于点 A 、 B (异于点 P ) 。 (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标。 (Ⅱ)记直线 AB 交 y 轴于点 (0, y0 ) ,求 y0 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)
2 已知曲线 f ( x) ? ax ? bx ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线是 y ? 2 x ? 1 。

(Ⅰ)求实数 a 、 b 的值。 (Ⅱ)若 f ( x) ? kx ? (k ?1) x 恒成立,求实数 k 的最大值。
2

2 月调研测试卷数学(文史类)答案

第4页

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请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分;做答时,请 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如题 22 图,由圆 O 外一点 A 引圆的切线 AB 和割线 ADE , B 为切点, DE 为圆 O 的直径,且 AD ? DB ,延长 AB 至 C 使得 CE 与圆 O 相切,连结 CD 交圆 O 于点 F 。 (Ⅰ)求

A D B F C O E 题22图

DE 。 CE

(Ⅱ)若圆 O 的半径为 1 ,求 CF 。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 已知点 P( 2, 在直线 l : ? cos ? ? 2? sin ? ? a ? 0(a ? R) 上。 (Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程。

7? ) 4

? x?t ? A B l (Ⅱ)若点 在直线 上,点 在曲线 C : ? 1 (t 为参数 ) 上,求 | AB | 的最小值。 y ? t2 ? ? 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 5| ? | x ?1| ?t 的定义域为 R 。 (Ⅰ)求实数 t 的取值范围。 (Ⅱ)若 t 的最小值为 s ,正实数 a 、 b 满足

2 1 ? ? s ,求 4a ? 5b 的最小值。 a ? 2b 2a ? b

2 月调研测试卷数学(文史类)答案

第5页

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参考答案
一、选择题 1~6 BACCDC 7~12 CDBCDB (14) 1 (15)

二、填空题(13) log3 2 三、解答题 (17) (本小题满分 12 分)

22 。 3

(16) (0,

2 )。 2

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 cos x sin x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?
2

?
6

)

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 。……6 分

(Ⅱ) f ( ∴C ?

C ? ) ? 2 sin( C ? ) ? 2 2 6
,又 c ? a ? b ? 2ab cos C ? a ? b ? ab ? ab
2 2 2 2 2

?
3

2 ∴ (a ? b) ? 0 即 a ? b

?A?

?
3



……12 分

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题知第一组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 ,人数为 200 ,故 n ? 1000 ,

) ?10 ? 0.3 , 第二组的频率为 1 ? (0.02 ? 0.02 ? 0.015? 0.01? 0.005
?p? 195 ? 0.65 。 ……6 分 1000 ? 0.3

40) , 2 人年龄在 [40, 50) , (Ⅱ)由题 a ? 60 ,∴抽出的 6 人中有 4 人年龄在 [30,
分别记为 a, b, c, d 和 e, f ,则从 6 人中抽取 2 人有:

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e), (b, f ), (c, d ),

50) 岁的情况有 (c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) 共 15 种结果,其中恰有1 人年龄在 [40,
(a, e),(a, f ),(b, e),(b, f ),(c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ) 共 8 种结果,
故所求概率为

8 。……12 分 15

(19) (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)设 AC ? EF ? H ,连接 NH

? OP // 平面 NEF , NH ? 平面 NEF 且 NH 与 OP 共面 ? OP // NH ? NP : PC ? HO : OC
正方形 ABCD 中,? E , F 分别为 AB, AD 中点
2 月调研测试卷数学(文史类)答案 第6页 共3页

? HO : OC ? 1 : 2 ,即 NP : PC ? 1 : 2 。……6 分
(Ⅱ)连接 MH , MN

? E , F 分别为 AB, AD 的中点, MA ? 平面 ABCD , AB ? AD

?MH ? EF, 又MA // NC, MA ? NC ? 3 ? MN ? AC ? 4, MH ? 2, NH ? 2 3
MN 2 ? MH 2 ? NH 2
MH ? NH

? MH ? 平面 NEF ,又 MH ? 平面 MEF ? 平面 MEF ? 平面 NEF 。……12 分
(20) (本小题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)代入点 P 得 a ? ?1 ,抛物线 x ? ? y 的焦点坐标为 (0, ? ) ;……4 分

1 4

2 (Ⅱ)设直线 lAP : y ? 1 ? k ( x ?1) ,与抛物线方程 y ? ? x 联立消 y ,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0
2

则 1 ? xA ? ?(k ? 1) ,同理可得 xB ? k ?1 ,由题知 xA , xB ,1 互不相同

∴ k ? ?2, 0

∴ AB 的斜率 k AB

yA ? yB ? xA2 ? xB 2 ? ? ? ?( xA ? xB ) ? 2 , lAB : y ? (k ?1)2 ? 2( x ? k ?1) xA ? xB xA ? xB
∴ y0 ? (??, ?3) ? (?3,1) 。……12 分

∴ y0 ? 2(k ?1) ? (k ?1)2 ,又 k ? 1 ? ?1,3 (21) (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? 2bx ln x ? bx ,则 f (1) ? a ? 1 , f ?(1) ? a ? b ? 2 ? b ? 1 ;……4 分
2 (Ⅱ)由题 x ? x ln x ? [kx ? k ?1] ? x 恒成立,即 k ?

2 ? x ln x 恒成立 x ?1

令 g ( x) ?

2 ? x ln x (ln x ? 1)( x ? 1) ? 2 ? x ln x ln x ? x ? 1 ? , g ?( x) ? x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

显然 y ? ln x ? x ? 1单增,且有唯一零点 x ? 1 ∴ g ( x) 在 (0,1) 上单减,在 (1, ??) 上单增

? gmin ( x) ? g (1) ? 1
(22) (本小题满分 10 分)

∴ k ? 1 ,故 k 的最大值为 1 。……12 分

解: (Ⅰ) ∵ AB 是切线, ∴ ?ABD ? ?BED , 又 AD ? DB , ∴ ?ABD ? ?A ,?DBO ? ?DOB
? 又 OB ? OD ,∴ ?OBD 为等边三角形,∴ ?A ? 30

2 月调研测试卷数学(文史类)答案

第7页

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∵ ?A ? ?ACE ? 90 , ?BEC ? ?BED ? 90
? ?

?

∴ ?BEC ? ?ACE ? 60 ,∴ ?CBE 为等边三角形,

不妨设圆 O 的半径为 1 ,则 DE ? 2, BE ? 3 ? CE ,故

DE 2 3 。……5 分 ? CE 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 CE ? CB ? BE ? 3, CD ? 7

? CF ? CD ? CE 2
(23) (本小题满分 10 分)

?CF ?

3 7 。……10 分 7

解: (Ⅰ) P(1, ?1) , l : x ? 2 y ? a ? 0 ,则 a ? 1 , l : x ? 2 y ? 1 ? 0 ;……5 分

1 2 (Ⅱ)由题知,对于某点 B ( x, x ) ,当 BA ? l 时 | AB | 最小,此时 | AB |? 4 1 2 1 1 1 x ? x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? ≥ 2 2 2 2

|x?

1 2 x ?1| 2 5



?| AB | 的最小值为

5 。……10 分 10

(24) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题知 | x ? 5 | ? | x ? 1| ?t ? 0 恒成立,即 t ?| x ? 1| ? | x ? 5 | 恒成立 又 | x ? 1| ? | x ? 5 |?| ( x ?1) ? ( x ? 5) |? 6 ∴ t ? 6 。……5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)

2 1 ? ? 6 ,由柯西不等式得: a ? 2b 2a ? b

(

2 1 2 1 ? ) ? (4a ? 5b) ? ( ? ) ? [(2a ? 4b) ? (2a ? b)] a ? 2b 2a ? b a ? 2b 2a ? b

?[

2 1 ? 2a ? 4b ? ? 2a ? b ]2 ? 9 a ? 2b 2a ? b
9 3 3 ? ,即 4a ? 5b 的最小值为 。……10 分 6 2 2

∴ 4a ? 5b ?

2 月调研测试卷数学(文史类)答案

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