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2015年高中数学新课标一轮复习专题复习课6


专题复习课
知识归纳· 建体系

热点盘点· 析考情
热点聚焦 热点一: 等差数列与等比数列 的基本计算 考情播报 1.主要考查利用等差数列、等比数列的通项公式、前 n 项和公式进行基本运算, 考查解方程(组)思想方法的 应用 2.试题以选择题、填空题的形式出现,难度中低档 1.主要考查利用等差数列、等比数列的性质解决有关 的计算问题 2.试题为选择题、填空题,命题角度新颖、灵活, 经常与其他知识交汇在一起,难度中等 1.主要考查利用累加法、累乘法、构造法等求数列的 热点三: 数列的通项与求和问题 通项公式以及利用公式法、 错位相减法、 裂项求和法、 分组转化法等求数列的前 n 项和 2.试题主要以解答题的形式出现,考查学生的运算 能力,难度中等

热点二: 等差数列与等比数列 的性质及应用

1.主要考查一元二次不等式的解法,多与集合运算、 热点四: 一元二次不等式的解法 求函数定义域、用导数求单调区间等融合在一起命题 2.试题一般以选择题、填空题形式出现,难度不大, 属于基础题

1.一是考查平面区域,多与判断区域形状、面积计算、 几何概型求解、函数图象应用等交汇在一起,题目灵 热点五: 平面区域与线性 规划问题 活多变; 二是考查线性规划问题, 多与线性目标函数, 还会涉及距离、斜率等非线性模型,有时还可与平面 向量联系 2.该考点试题主要是选择题、填空题,以考查基础 知识为主,难度为中低档

1.通常有两种考查形式:一是与命题真假判断、充分 必要条件判断等交汇在一起,考查对基本不等式成立 热点六: 基本不等式的应用 条件的理解;二是考查用基本不等式求最值,求取值 范围,求解恒成立问题等 2.试题多以选择题、填空题形式出现,主要考查学 生灵活运用知识的能力,属于中低档试题

1.以考查归纳推理为主,兼考查类比推理,通常是根 热点七: 归纳推理与类比推理 据已有结论推得一般结论 2.试题以选择题、填空题为主,考查学生观察、分 析、归纳问题的能力,属于基础题

题组集训· 抓重点 热点一 等差数列与等比数列的基本计算

教师用书独具———————————————

已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S3≤6,S4≥8,S5≤20,当 a4 取得最大值时数列{an}的公差为( A.1 C.2 [答案] [解析] B 因为 S3=a1+a2+a3=3a2≤6, 所以 a2≤2; S4=a1+a2+a3+a4=2(a1 ) B.4 D.3

+a4)≥8,所以 a1+a4≥4;S5=5a3≤20,所以 a3≤4.令 a1=x,公差 d=y,因为

?x+y≤2 a2≤2,a1+a4≥4,a3≤4,所以?2x+3y≥4, ?x+2y≤4 ?x+y≤2 件?2x+3y≥4 ?x+2y≤4

,令 z=a4=x+3y,画出约束条

的可行域,由可行域知,目标函数过点 (-4,4)时,有最大值,

所以当 a4 取得最大值时,数列{an}的公差为 4,因此选 B.
1.(2014·河西模拟)在等差数列{an}中,已知 a4 是 a2 与 a8 的等比中项,a3+2 是 a2 与

a6 的等差中项,Sn 是{an}的前 n 项和,则满足 < + + +?+ < (n∈N*)的所有 n 值的 11 S1 S2 S3 Sn 21
和为________.

9 1

1

1

1 19

[命题立意]

本题主要考查利用方程思想确定出首项和公差的值,从而得

到 Sn 的表达式,意在考查考生对等差数列前 n 项和公式的掌握情况以及等差、 等比数列的综合应用能力. [答案] [解析] 35 由已知,得

2 ?a2a8=a4, ? 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,将各项用 a1 和 d ?a2+a6=2?a3+2?,

n?a1+an? 1 表示,得 a1=2,d=2.所以 Sn= = n ( n + 1) , 2 S=
n

1 1 1 =n- ,裂 n?n+1? n+1

9 1 19 项相消得11<1- < ,解得 4.5<n<9.5,所以 n=5,6,7,8,9,所求的和为 35. n+1 21 2.(2014· 烟台模拟)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a3 =9.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明: 1 1 1 + +?+ <1. a2-a1 a3-a2 an+1-an 本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式.

[命题立意] [解析]

(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d.

由 a1=3,a3=9 得 log22+2d=log28,即 d=1. ∴log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2n+1. (2)证明:∵ ∴ 1 1 1 = n+1 n=2n, an+1-an 2 -2

1 1 1 + +?+ a2-a1 a3-a2 an+1-an

1 1 1 1 =21+22+23+?+2n 1 1 1 2-2n×2 1 = 1 =1-2n<1. 1-2 热点二 等差数列与等比数列的性质及应用

1 . (2014· 平谷模拟 ) 已知等差数列 {an} 的公差和等比数列 {bn} 的公比都是 d(d≠1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10,则 a1 和 d 的值分别为( 3 3 A.- 2, 2 3 3 C.- 2,- 2 [命题立意] 算求解能力. [答案] [解析] D
3 3 ?a1+3d=a1d ?3d=a1d -a1 ? 因为 a1=b1, a4=b4, a10=b10, 所以? , 9 , 9 ?a1+9d=a1d ?9d=a1d -a1

)

3 3 B. 2, 2 3 3 D. 2,- 2

本题主要考查等差数列、等比数列的综合应用,考查考生的运

两式相比化简,得 d6+d3-2=0,所以(d3-1)(d3+2)=0,因为 d≠1,所以 d= 3 3 - 2,代入方程组得 a1= 2. 2. (2014· 珠海模拟)已知数列{an}是首项为 56 的等差数列, Sn 是其前 n 项和, 若 S8 是数列{Sn}中的唯一最大项,则数列{an}的公差 d 的取值范围是________.

[命题立意] [答案] [解析] 7.

本题重点考查等差数列前 n 项和的最值,考查转化思想.

(-8,-7) 由已知,得 a8>0,a9<0,所以 56+7d>0,56+8d<0,所以-8<d<-

教师用书独具——————————————— 已知函数 f(x)=x2+bx 为偶函数,数列{an}满足 an+1=2f(an-1)+1,且 a1= 3,an>1. (1)设 bn=log2(an-1),证明:数列{bn+1}为等比数列; (2)设 cn=nbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)证明:∵函数 f(x)=x2+bx 为偶函数,

∴b=0,∴f(x)=x2, ∴an+1=2(an-1)2+1, ∴an+1-1=2(an-1)2, ∴ bn+1+1 log2?an+1-1?+1 2+2log2?an-1? = = =2, bn+1 log2?an-1?+1 log2?an-1?+1

∴数列{bn+1}是公比为 2 的等比数列. (2)∵a1=3,∴b1=log22=1,∴bn+1=2n, 即 bn=2n-1, ∴cn=n2n-n, 设 An=1×2+2×22+3×23+?+n×2n, ∴2An=1×22+2×23+3×24+?+n×2n+1. ∴-An = 2+2 +2 +?+ 2 - n×2 -2, ∴An=(n-1)2n 1+2.


2

3

n

n+1

2?1-2n? = - n×2n + 1 = 2n + 1 - n×2n + 1 1-2

Bn=1+2+3+4+?+n=

n?n+1? 2 ,

n?n+1? ∴Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2- 2 . 热点三 数列的通项与求和问题

教师用书独具———————————————

(2013· 重庆)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数列,则 S8=________. [答案] [解析] =8×1+ 64 由题意得(1+d)2=1×(1+4d),解得 d=2 或 d=0(舍去),所以 S8

8×?8-1? ×2=64. 2

教师用书独具——————————————— 1 (2012· 上海)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项,2为公比的等比数列, 体积分别记为 V1,V2,?,Vn,?,则n lim (V1+V2+?+Vn)=________. →∞ [命题立意] 中等. 8 [答案] 7 [解析] 设为 an= 1 2 由已知条件可得正方体的棱长组成了一个等比数列,其通项公式可
n-1,则体积形成的数列的通项公式为

本题考查了等比数列的生成数列及数列极限的求解问题,难度

1 ? 1 ? Vn=?2n-1?3= n-1,即数列{Vn} ? ? 8

1 V1 8 8 是首项为 1,公比为8的等比数列,∴lim ( V + V +?+ V ) = = V = 1 2 n 1 n→∞ 1 7 7. 1-8 教师用书独具——————————————— 2Sn 1 (2013· 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, n =an+1-3n2-n 2 -3,n∈N*. (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3)证明:对一切正整数 n,有a +a +?+a <4.
1 2 n

[解析]

2S1 1 2 (1)当 n=1 时, 1 =2a1=a2-3-1-3,解得 a2=4.

1 2 (2)2Sn=nan+1-3n3-n2-3n,① 当 n≥2 时,

1 2 2Sn-1=(n-1)an-3(n-1)3-(n-1)2-3(n-1),② ①-②,得 2an=nan+1-(n-1)an-n2-n, 整理得 nan+1=(n+1)an+n(n+1), 即 an+1 an an+1 an = n +1, - =1. n+1 n+1 n

a2 a1 当 n=1 时, 2 - 1 =2-1=1,
?an? 所以数列? n ?是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ? ?

an 所以 n =n,即 an=n2, 所以数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*. 1 1 1 1 1 (3)证明:因为a =n2< = -n(n≥2), ?n-1?n n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 所以a +a +?+a =12+22+32+?+n2<
1 2 n

1? 1 ?1 1? ?1 1? ? 1 1+4+?2-3?+?3-4?+?+?n-1-n? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 =1+4+2-n 7 1 7 =4-n<4. 1 1.对于一个有限数列{Pn},{Pn}的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为n(S1 +S2+?+Sn), 其中 Sk=P1+P2+?+Pk(1≤k≤n), 若一个 99 项的数列 P1, P2, ?, P99 的蔡查罗和为 1 000, 那么 100 项数列 1, P 1, P2, ?, P99 的蔡查罗和为( A.991 C.993 [答案] [解析] 000 , 所 以 A 一个 99 项的数列 P1,P2,?,P99 的蔡查罗和为 S1+S2+?+S99 =1 99 B.992 D.999 )

S1 + S2 + ? + S99 = 99 000 , 100 项 数 列 的 蔡 查 罗 和 为

1×100+S1+S2+?+S99 = 100

1+990=991,故选 A. 1? ? 2. 在数列{an}中, a1=1, an+1=an+log2?1+n?, 则 a2 014 的取值范围是( ? ? A.(10,11) B.(11,12) )

C.(12,13) D.(13,14) [命题立意] 本题主要考查非等差、等比数列的通项的求法,重点考查考生

利用叠加法和累乘法综合分析问题的能力. [答案] [解析] B n+1 2 3 an+1=an+log2 n ,所以 a2=a1+log21,a3=a2+log22,?,a2 014

2 014 2 3 2 013 2 014 =a2 013+log22 013, 两边分别相加, 得 a2 014=a1+log21×2×?×2 012×2 013= 1+log2 2 014.因为 210<2 014<211,所以 10<log2 2 014<11,所以 11<a2 014<12. 教师用书独具——————————————— (2014· 成都外国语学校月考)设等差数列{an}满足: sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6 =1,公差 d∈(-1,0),若当且仅当 n=9 sin?a4+a5? 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取最大值,则首项 a1 的取值范围为( 4 3 A.3π<a1<2π 1 1 C.3π<a1<2π [解析] 2 3 B.3π<a1<2π 4 D.3π<a1<2π )

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6 因为 = sin?a4+a5?

sin2a3?1-sin2a6?-cos2a3?1-cos2a6? sin?a4+a5? sin2a3· cos2a6-cos2a3· sin2a6 = sin?a4+a5? = = ?sin a3· cos a6-cos a3· sin a6?· ?sin a3· cos a6+cos a3· sin a6? sin?a4+a5? sin?a3-a6?· sin?a3+a6? =1,所以 sin (a3-a6)=1,即 sin (-3d)=1,又 0< sin?a4+a5?

π π -3d<3,所以-3d=2,故 d=-6,因为若当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n

?a9>0, ?a1+8d>0, 项和 Sn 取最大值,所以? 即? ?a10<0, ?a1+9d<0, 4 ? ?a1-3π>0, 即? 3 ? ?a1-2π<0, 4 3 所以3π<a1<2π. [答案] A

教师用书独具——————————————— (2014· 课标调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 首项为 1 的等比数列{bn} 的公比为 q,S2=a3=b3,且 a1,a3,b4 成等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若 2Sn-nan=b+loga(2Tn+1)对一切正整数 n 成立,求实数 a,b 的值. [命题立意] 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式、 前 n 项和公式,

利用待定系数法求 a,b 的值,考查考生的灵活运用能力. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d.

由 S2=a3,得 2a1+d=a1+2d,故有 a1=d. 由 a3=b3,得 a1+2d=b1q2,故有 3a1=q2.① 由 a1,a3,b4 成等比数列得,a2 b4,故有 9a1=q3.② 3=a1· 由①②解得 a1=3,q=3. 所以 an=3+(n-1)· 3=3n,bn=3n-1. 1×?1-3n? n?n-1? ? ? ?-n· (2)2Sn -nan = 2×?3n+ 3n= 3n,2Tn +1 = 2× + 1= 2 ×3? 1-3 ? 3n. 若 2Sn-nan=b+loga(2Tn+1)对一切正整数 n 成立,则 3 3n=b+nloga3,loga3=3,a= 3,b=0. 热点四 一元二次不等式的解法

?x+2,x≤0, 1.(2013· 浙江模拟)已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解 ?-x+2,x>0,

集是(

) B.[-2,2] D.[-1,2]

A.[-1,1] C.[-2,1] [答案]A [解析]

?x≤0, 由? 得-1≤x≤0; 2 ?x+2≥x ,

?x>0, 由? 得 0<x≤1, 2 ?-x+2≥x , 故不等式的解集是{x|-1≤x≤1}. 2.(2013· 湖州模拟)若不等式 x2-kx+k-1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是________. [答案] [解析] (-∞,2] 不等式可化为 x2-1>k(x-1),由于 x∈(1,2),所以 x-1>0,于是 x

+1>k,当 x∈(1,2)时,x+1∈(2,3),因此 k 的取值范围是 k≤2. 热点五 平面区域与线性规划问题

?y≥1, 1.(2013· 武汉模拟)已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ?x+y≤m,
y 的最小值为-1,则实数 m 等于( A.7 C.4 B.5 D.3 )

如果目标函数 z=x-

[答案] [解析] 最小值.

B 画出可行域如图中阴影部分,由题意知,当(x,y)在点 A 处时取得

?y=2x-1, 由? 得 ?y=-x+m, ?m+1 2m-1? A? , 3 ?. ? 3 ? m+1 2m-1 因此 3 - 3 =-1,所以 m=5.

2.(2013· 广东)给定区域

?x+4y≥4, D:?x+y≤4, ?x≥0,

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0

∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定 ________条不同的直线.

[思路分析]

T 实际是由 z=x+y 在区域 D 上取得最值时的最优整数解构成

的集合.画出二元一次不等式组表示的平面区域 D,结合图形,确定目标函数 z =x+y 取得最值时的最优整数解,再确定最优整数解确定的不同直线的条数即 可. [答案] [解析] 6 画出平面区域 D(图中阴影部分),z=x+y 取得最小值时的最优整

数解为 (0,1) ,取得最大值时的最优整数解为 (0,4) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (4,0).点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以 构成一条直线,共有 5 条,又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都在直线 x +y=4 上,故 T 中的点共确定 6 条不同的直线. [命题立意] 知识:本题考查了集合、直线方程、二元一次不等式组表示的

平面区域和线性规划知识. 能力:解决线性规划问题常用图解法,考查了数形结合思想,同时还考查了 考生对数据的处理能力. 试题难度:较大.

热点六

基本不等式的应用 b a a b + 与 q= + 的大小关系是 1+a 1+b 1+a 1+b ( )

1.已知 a>-1 且 b>-1,则 p=

A.p>q C.p≥q [命题意图]

B.p<q D.p≤q 本题主要考查利用差值比较法对两个式子的大小进行比较,意

在考查考生对不等式的性质的掌握情况,考查考生的运算求解能力、推理论证能 力. [答案] C [解析] b-a a-b ?a-b?2 p-q= + = ≥0,所以 p≥q. 1+a 1+b ?1+a??1+b?

1? ? 2.(2013· 郑州模拟)已知角 α 的终边上有一点 P?t,t2+4?(t>0),则 tan α 的最 ? ? 小值为( 1 A.2 C. 2 [答案] B 1 1 依题意 tan α= t =t+4t,由于 t>0,所以 t+4t≥2 1 t2+4 1 t· 4t=1,当 ) B.1 D.2

[解析]

1 1 且仅当 t=4t,即 t=2时,tan α 取最小值 1. 3.(2013· 温州模拟)已知实数 a 满足 ab2>a>ab,则实数 b 的取值范围为 ________. [命题意图] 本题主要考查不等式的性质和解不等式,考查利用分类讨论思

想,运用不等式的基本性质进行求解的能力. [答案] [解析] ∞,-1). 热点七 归纳推理与类比推理 (-∞,-1) 若 a<0,则 b2<1<b,产生矛盾,所以 a>0,则 b2>1>b,解得 b∈(-

1. (2013· 太原联考)设 V 是全体平面向量构成的集合, 若映射 f: V→R 满足:

对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R,均有 f(λa+(1 -λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射 的序号) [答案] [解析] ①③ 性质 P 其实是一种“类线性运算”性质,故①③符合要求;②不符

合要求.事实上,令 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 λa+(1-λ)b=(λx1+x2-λx2,λy1 +y2-λy2), 对①,f[λa+(1-λ)b] =(λx1+x2-λx2)-(λy1+y2-λy2) =λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2). 又 f(a)=x1-y1,f(b)=x2-y2, ∴λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2) =λf(a)+(1-λ)f(b)成立. 对③,f(λa+(1-λ)b)=(λx1+x2-λx2)+(λy1+y2-λy2)+1=λx1+λy1+λ-λ+ x2 - λx2 + y2 - λy2 + 1 = λ(x1 + y1 + 1) + (1 - λ)(x2 + y2 + 1) = λf(a) + (1 - λ)f(b) 也成 立.而②显然不具有此性质. 2.观察下列式子的规律: 1×2 12 = , 1×3 2×3 2×3 12 22 + = , 1×3 3×5 2×5 3×4 12 22 32 + + = . 1×3 3×5 5×7 2×7 由此归纳,第 4 个等式应为__________________________. [命题意图] 本题考查考生观察、探索规律并解决问题的能力.

4×5 12 22 32 42 [答案] + + + = 1×3 3×5 5×7 7×9 2×9 [解析] 通过观察,得到等式左边式子个数在增加,分子为 12,22,32,每个分 12 + 1×3

式分母为两个相邻奇数之积:1×3,3×5,5×7.所以猜想第 4 个等式应为 4×5 22 32 42 + + = . 3×5 5×7 7×9 2×9


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