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编号37学案2.5.1平面几何中的向量方法


长子实验中学数学(必修 4)导学案

适用年级:高一

主备人:李小燕

审核人:田鹏真

2.5.1 平面几何中的向量方法
学时:1 学时 姓名: 班级:

【学习目标】 1. 能运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2. 能运用向量的有关知识解决简单的几何问题. 【问题情境】 平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算, 及数量积表示出来. 因此,可以用向量来解决平面几何中的一些问题,那么平面几何中的哪些 问题可以用平面向量来解决呢? 【问题导学】 问题 1.向量运算与几何中的结论“若 a ? b ,则 a ? b ,且 a, b 所在直线平行或重合”相类比, 你有什么体会?试举出几个具有线性运算的几何实例.

例 1.利用向量证明:平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍. 已知:如图,平行四边形 ABCD. 求证: AC ? BD ? 2( AB ? AD ) .
2 2 2 2

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲” : (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 变式训练: 在 ?ABC 中, D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点, BF 与 CD 交于点 O, 设 AB ? a ,AC ? b . (1)证明:A、O、E 三点共线; (2)用向量 a, b 表示向量 AO .

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长子实验中学数学(必修 4)导学案

适用年级:高一

主备人:李小燕

审核人:田鹏真

例 2.如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗?

【达标检测】 基础巩固: 1.在 ?ABC 中,若 (CA ? CB) ? (CA ? CB) =0,则 ?ABC 的形状为 ( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 2.已知 ?ABC 两边的向量 AB ? e1 , AC ? e2 , M 是 BC 边的中点,则向量 AM 用 e 1 、 e2 表示 为__________________. 3.已知 OP1 ? OP2 ? OP3 ? 0 ,OP1 ? OP2 ? OP3 ? 1 ,则 OP 1 与 OP 2 的夹角是______.

能力提升: 4.已知向量 OA =( 1,?3 ) , OB =( 2 ,?1 ) , OC =( m ? 1, m ? 2 ),若点A、B、C能构成三角 形,则实数 m 应满足的条件是________.

5.在□ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.

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