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专题二+三角函数、平面向量与解三角形


l新高看数学
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专题二

三角函数、平面向量与解三角形
范文武 白永亮

陈新伟




通过分析近三年高考试题,不难发现试

础,故三角与立体几何、解析几何、导数等的 综合考查可以突出三角与向量的工具性作 用;解斜三角形是平面几何研究的主体内 容,高考对考生应用正余弦定理的考查主要 体现在以下两个方面:其一是考查考生是否 能通过对正余弦定理变形技巧的熟练掌握, 实现边角转换;其二是在解斜三角形问题 中,考查考生能否根据题目的条件,实现正 余弦定理的优化选择,得到最佳解答.三角 函数、平面向量和解三角形中的正、余弦定 理相互交织,是高考考查的热点.纵观近几 年的高考试题,命题者在考查的内容以及形 式上不断推陈出新。该专题不仅可以与集 合、函数与方程、不等式等结合命题,而且还 可以结合线性规划、圆锥曲线等知识命题. 本专题知识丰富、灵活,不仅充分体现了严 谨的代数运算,亦充分体现了其几何运算, 这给今后的命题提出了新的挑战.

卷中出现了一些富有时代气息的三角函数 与平面向量的考题.它们形式独特、背景鲜 明、结构新颖,主要考查学生分析问题、解决 问题和处理交汇性问题的能力,高考中涉及 的三角函数与平面向量的考题可以说是精 彩纷呈.主要特点如下:第一,考小题,重基 础,有关三角函数的小题主要考查解析式, 图象与图象的变换,两域(定义域、值域)四 性(单调性、奇偶性、对称性、周期性),简单 的i角恒等变换等.有关向量的小题主要考 查向量的线性运算以及平面向量的数量积 等知识;第二,考大题,难度明显降低,有关 三角函数的大题即解答题,不再单纯地通过 公式变形转换来考查考生的逻辑思维能力, 而是着重考查基础知识、基本技能和基本数 学思想,难度明显降低;第三,考应用,融人 三角形与解析几何中,该类试题既能考查解 三角形、圆锥曲线的有关知识与方法,又能 考查运用三角公式进行恒等变换的技能,深 受命题者的青睐.解该类试题的关键是充分

测试题
1.(2015届江苏省宿迁市一模)平面向
量口与6的夹角为60。,n一(2,0),l
n+26 I一 A.2 B.√3


I一1,则
( )

利用三角形内角和定理,正余弦定理,三角
形的面积公式,向量夹角公式,向量平行与

c.枣

D.2√3

垂直的充要条件,向量的数量积等知识;第 四,考综合,体现三角与向量的工具性作用. 由于近几年高考试题突出能力立意,加强对 应用意识和创新意识的考查,故常常在知识 的交汇处命题,而三角知识是基础中的基
¨
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2.(2015届广东省佛山市一模)已知两

个单位向量e,,P。的夹角为45。,且满足P。上 (知:一P.),则实数A的值为
A.1 ( )

B.厄

c.半D.2


万方数据


3.(2015届湖北省七市(州)3月教科研 协作体联考)已知函数厂(z)一Asin(叫z+9) (A>0,叫>o,一兀<够<7r)的部分图象如图 所示,为了得到g(丁)一√可sin 2z的图象,只 需将厂(T)的图象

( )

’。j_;|。囊I‘

A.÷

B.3

c.要

D.2

6.(2015届北京下海淀区期末测试)在

△ABc中,B一手,则sin A‘sin c的最大值

( )

1≮





…一入一



A.学
c.譬

B.丢

过?x


D.学

7.(2015届山东’省滨州市一模)若函数

k么


(第3题)

,(z)一 ̄/可sin(2z+口)+cos(2z+臼)为奇函

数,且在[一{,o]上为减函数,则目的一个
值为
( )

A.向左平移孥个单位长度
B.向左平移要个单位长度 c.向右平移冬个单位长度 D.向右平移要个单位长度
4.(201j届山东省菏泽市期末测试)函

A.一号

B.一詈

c.警

D.孚

8.(2015届浙江省温州市一模)若函数

厂(z)一sin∞z(∞>o)在[詈,号]上是单调函
数,则叫应满足的条件是 A.O<叫≤1 B.叫≥1
( )

数厂(z)一sin(2z+臼)+捂cos(2T+臼)

C.O<倒≤l或叫一3 D.O<叫≤3 9.(2015届湖北省孝感市期末测试)已 知函数厂(丁)一sin叫工+cos叫z(cu>o),如果 存在实数z。,使得对任意的实数z,都有

(…<号)的图象关于点(詈,o)对称,则
厂(工)的增区间
( )

A.[詈‰,警‰]妖z B.[一詈‰寺‰]艇z c.[一翟‰,一参‰]艇z D.[一是‰景‰]胀z
5.(2015届北京市朝阳区期末测试)点

厂(z-)≤厂(z)≤,(z。+2 015)成立,则叫的 最小值为
( 2
7c



A‘丽 L丽






一2 015
至 n “‘4 030

r、



10.(2015届安徽省江南十校期末大联 考)已知点A(1,一1),B(4,o),C(2,2),区域

0在△ABc的内部,且满足蕊+2碚+
4茄一o,则△ABc的面积与△A0c的面积
之比是

D是由满足冲一A商+口葡(1≤A≤a,1≤
卢≤6)的点P(工,y)组成的区域,若区域D的 面积为8,则4n+6的最小值为
( )

New University Enlrance Examlnatlon

●5

万方数据

A.5 C.9

B.4√2 D.5+4√2

么BCE一75。,么E一60。,则A,B两点之间的 离为
距2—3


.(其中cos 48.19。取近似值

11.(2015届山东省济宁市一模)已知

{n}一l,I厶1—2万,n?(6一n)一一4,则向量
n与6的夹角为




12.(2015届山东省青岛市一模)已知 函数厂(z)一tan
z+sin z+2


015,若,(m)

=2,则厂(一研)一

13.(2015届湖北省七市(州)联考)已

知向量蕊一(2,m),蔬一(1,订),且向量 蕊在向量葩方向上的投影为1,则I商I—
14.

(第18题)

19.(2015届湖南省常德市一模)在

(2015届山东省泰安市一模)已知

△ABc中,点D满足蔚一罩葡,点E是线


sin a—cos

a一厄,a∈(o,7c),则tan口一
5届福建省宁德市一模)锐角

段AD上的一个动点,若磕一A商+口赢,
则f一(A一1)2+肚2的最小值是 20.(2015届江苏省赣榆区联考)已知 圆心角为120。的扇形AOB的半径为1,C为 弧AB的中点,点E,D分别在半径0B,()A

15.(201

三角形ABC中,“,6,f分别为角A,B,C所 对的边.若2娃sin B一√弘,6+f一5,6f一6,则
n一


上.若cDz+cEz+DE。一譬,则oD+oE
的最大值是

16.(2015届山东省泰安市一模)将y一
sin

2丁的图象向右平移妒单位(妒>O),使得

平移后的图象过点(号,雩),则9的最小值







17.(201j届北京市大兴区期末测试)

(第20题)

在△ABC中,么BAC一120。,AB一2,AC一

21.(2015届北京市海淀区期末测试)

1,商一A茈(o<A<1),设厂(A)=劢?
蔚,则厂(A)的取值范围是


函数厂(z)一c。s(兀z+P)(o<妒<号)的部分
图象如图所示.
-,

18。(20l 5届广东省佛山市一模)如图,

为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察 者找到一个点C,从C点可以观察到点A, B;找到一个点D,从D点可以观察到点A, C;找到一个点E,从E点可以观察到点B, C;并测量得到一些数据:CD一2,CE一2√3,
么D一45。,么ACD一105。,么ACB一48.19。,

丛、

/、






V矗l
(第2l题)

-6

New UniversIly Entrance

Examination

万方数据

(1)写出∞及图中z o的值;

(1)请写出上表的z,,z:,z。,并直接写 出函数的解析式;

(2)设g(z)一,(z)+厂(z+÷),求函 数g(z)在区间[一丢,÷]上的最大值和最
小值. 22.(2015届广东省中山市七校联考)

(2)设g(z)一 ̄/手厂(z)+厂(T一1),当
z∈[o,4]时,求g(z)的单调增区间. 25.(2015届福建省漳州八校3月联 考)已知m一(1,一√3),n一(sin 定义函数厂(z)一m?n. (1)求函数厂(z)的单调递增区间; (2)已知△ABC中,三边n,6,f所对的
2z,cos 2z),

已知函数厂(z)一2sin(÷z+妒)(工∈R,o<9
<号)的图象过点M(号,压).
(1)求9的值;

角分别为A,B,c,厂(今)一o.
①若ncos
的大小;
B+6cos A—csin

(2)设邢∈[o'蛩们a+兀)一嚣,
厂(3卢+警)一一号,求sin(a—p的值.
23.(2015届山东省齐鲁名校教科研协

C,求角B

②记g(A)一I商+A葡I,若I商I— I赢I一3,试求g(A)的最小值.
26.(2015届湖南省长沙市期末测试)

作体第一次调考)设向量n一(sin詈z,

在△ABC中,角A,B,C对应边分别是日,6,
f.f一2,sin2A+sin2B—sin2C—sin Asin B.

c。s号z),6一(sin号工,捂sin号z),z∈R,函
数厂(z)一n?(口+26). (1)求厂(z)在[o,1]上的最大值和最 小值;

(1)若sin △ABC面积;

C+sin(B—A)一2sin

2A,求

(2)求AB边上的中线长的取值范围.
27.(2015届江苏省南通市第二次调

(2)将函数y2厂(z)的图象向左平移言
个单位后,再将得到的图象上的横坐标伸长 到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y— g(z)的图象,计算g(1)+g(2)+g(3)+…
+g(2 015).

研)在平面直角坐标系zoy中,已知向量 口一(1,0),6一(O,2).设向量工一n+(1一
cos

e)6,y一一玩+南,其中o<臼<兀.


sln

6『

。’’

(1)若五一4,臼一要,求x?y的值;
(2)若x∥y,求实数是的最大值,并求 取最大值时口的值.


24.(2015届上海市十三校第一次联 考)某同学用“五点法”画函数厂(z)一

Asin(一+P)(础>o,19I<号)在某一个周期
的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
工 T1
___——

参考答案




10
工2 T3



_。一

1.D. 6.D.

2.B.

3.B.

4.C.

5.A.

∞ZTo






3丌
7r



2 7c

7.C.

8.C.

9.B.

10.C. Asin(cuz—卜o)


解析:如图,延长AB至N,延
AN





一蕊



长AC至M,使得I

l一口【AB l,l AMl—
Entrance Examination

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●7

万方数据

I靳靠督数学

b\AC\,怍CH//AN,BF//AM,NG//AM, MG∥AN,则四边形ABEC,ANGM,EHGF 均为平行四边形.由题意知,点P(z,y)组成 的区域D为图中阴影部分,即四边形

当7cz+詈一譬,即z一告时,g(T)取得最小
0 j 0

值一雩.
22?(1)P一詈;

EHGF.因盔一(3,1),砬一(1,3),葡= (一2,2),故f商f一√而,i赢f=/而,
I蔚|一2抠,由余弦定理得cos么cAB=

(2)因厂(3a+丌)一2sin(a+号)一2c。s



善,则。in么cAB一拿.故四边形EHGF的
面积为(n—1)以万×(6—1)/而×善一8,即

一饕,

故c。s

a一丧,又厂(sp+擎)一 p一一詈,故sin卢一詈,

2sin(p+兀)一~2sin

丢+吉一1,故4乜+6一(4口+6)(丢+专)一 因口,p∈[o,号],所以,c。s卢一 ̄/丁二i孑万一
5+拿+警≥9,当且仅当n一要,6:3时等
Ⅱ D Z

√嚼一÷,sin口一篝.所以,sin(d一卢)
=sin口c。s

号成立,故4n+6的最小值为9. J9一c。s

asin卢一警×詈一熹×詈

一塑

65’

23.(1)厂(z)一2sin(丌z一詈)+2,因
(第10题)

z∈[o,1],故~詈≤丌T一詈≤警,所以当丌z
一詈一詈,即z一÷时,[/(z)]。。。一4;当丌z
U 厶 。

11.掣.

、竹

12.4 028.

13.2.

14.一1.

一罢一一罢,即z—o时,[厂(T)]mm一1.
。 。

15.仃.16.要.17.(一5,2).
r)

(2)g(工)一2sin詈T+2,丁一4,故g(1)
18? ̄/10?



19。高’

20‘亏‘

+g(2)+g(3)+g(4)一4+2+o+2—8,所
以,g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2 015)一
503×8+4+2+0—4 030.

21.(1)妒一詈,z。=号. (2)厂(z)+厂(z+÷)一c。s(兀z+詈) ÷],所以~詈≤兀z+号≤警.所以当丌z+

24.c,,z。一~号,z。一号,z。一—};
(2)g(z)一2 ̄/手sin(号丁+詈),令一号

一sin丌z一√jk。s(丌z+詈),因为z∈[一丢, 厂(z)一√虱in(号z+詈). 号一o,即z一一号时,g(z)取得最大值捂; +2是兀≤号z+詈≤号+2五兀.是∈z,故一号+
4B
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万方数据

4是≤z≤詈+4是,又z∈[。,4],所以,g(z)的

+蔬),所以l面l 2一丢(蔬+蔬)2
…一。“ ————r—一 一丘掣,又口z+6z

单调增区间为[。,号],[导,4].
25.厂(z)一m?n一2sin(2z一号).
(1)函数,(z)的单调递增区间为

n2+62+2出。s号



一日6=4,血2+62一n6≥n6,且p

CDl。=

生±子堂≤3,故l

cD

I∈(o,万].所以AB边

[一参‰壹‰]妖z.
(2)由厂(会)一。得A一号.
①由正弦定理知口cos
fsin

上的中线长的取值范围为(o,捂]. 27.(1)当是一4,口=要时,工=(1,2一


B+6cos A—

厢),y=(一4,4),则x?y一1×(一4)+(2一

Cjsin Acos

B+sin Bcos

A—sin2C,故

再)×4—4—4厄
(2)依题意,x一(1,2—2cos口),y=

sin(A+B)一sin2C,因A+B一7c—C,sin C≠

o,故sin

c一1,c一号,B一兀一(A+c)一詈.

.厅雨再i茕矿:、厅再可再百丽一

②g(A)=l商+A前I一

(一点,五毛),因为x∥.),,所以五毛一一是(2—
2cos口),整理得,÷一sin 8(cos口一1)<o,令


√下i焉,故当A一一号时,g

厂(口)一sin臼(cos口一1),则厂(口)一cos口(cos口一
cA,一 1)+sin口(一sin口)一2 cos2曰一cos口一1一

l蕊+A窟l的最小值为挲.
26.由题意知口2+62一f2一口6,cos
C一

(2cos臼+1)(cos口一1).令厂7(口)一o,得cos口

一一专或c。s口一1,又o<8<“,故日=警.如

丢,故c一号.
(1)由sin C+sin(B—A)一2sin 2A≥
sin Bcos A一2sin Acos

表,故当口一孥时,[厂(口)]…一一鼍竽,此时
A,若cos A=O,则A

实数是取最大值一竽.


一号,s△加。一号万;若c。s A≠o,则6—2以, 结合口2+62一c2一日6得口2一号,s△ABc一

(o,孥)

27c 3

(孥),丌
J-

/(口)



雩扛扣;
(2)设AB边的中点为D,商一妻(蕊

厂(曰)



极,J、值一学



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●9

万方数据


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