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三角函数大题类型归纳总结经典


第二讲:三角函数大题类型几点

第二讲:三角函数大题类型归纳经典
1.根据解析式研究函数性质 例 1【2012 高考真题北京理 15】(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

【相关高考 1】【2012 高考真题天津理 15】(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1, x ? R. 3 3
(答案:T= ? ) (最大值: 2 ;最小值:—1)

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

【相关高考 2】【2012 高考真题安徽理 16】)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 。 2 4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; 答案: (I)T= ?

? ?1 sin 2 x, x ? ( ?? , ? ) ? ?2 2 (II) g ? x ? ? ? ?? 1 sin 2 x, x ? (? ? , 0) ? ? 2 2

(II)设函数 g ( x) 对任意 x ? R ,有 g (x ?

?

? 1 ) ? g (x) ,且当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 2 2 2

[?? ,0] 上的解析式。

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2.根据函数性质确定函数解析式 例 2【2012 高考真题四川理 18】(本小题满分 12 分)

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图 2 象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域;
函数 f ( x) ? 6cos 2 (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

?x

8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 5 3 3

【相关高考 1】【2012 高考真题陕西理 16】(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?

6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为
答案:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ) ? ?

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
6

? , 2

) ? 1。

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

?
3



【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值. 答案:(Ⅰ) y ? 4(sin x ? 4sin(

2? ? x) ? 2 3 3

( 0? x ?

?
3

) (Ⅱ) 最大值: 6 3

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3.三角函数求值 例 3【2012 高考真题广东理 16】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( ?x ? (1)求ω 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?

6

) ,(其中ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π .

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(α +β )的值. 2 3 5 6 17

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ? 【相关高考 1】(重庆文)已知函数 f(x)= .(Ⅰ)求 f(x)的定义域;(Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 ? sin( x ? ) 2

? ? ? 3 (答案:(Ⅰ) ? x ? R x ? k? ? , k ? z ? ;(Ⅱ) f cos a ? , 求f(a)。 5 2 ? ?

?? ? ?

14 ) 5

【相关高考 2】(重庆理)设 f ( x ) = 6 cos x ? 3 sin 2 x (1)求 f( x )的最大值及最小正周期;(2)若锐角 ? 满足
2

4 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. (答案:(Ⅰ)最大值: 2 3 ? 3 5

T ? ? (Ⅱ) 3 )

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4.三角形中的函数求值 例 4【2012 高考真题新课标理 17】(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

【相关高考 1】【2012 高考真题浙江理 18】(本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,
2 c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.(答案:(Ⅰ) 5 (Ⅱ)

5 2



【相关高考 2】【2012 高考真题辽宁理 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。(答案:(Ⅰ)

1 3 (Ⅱ) 2 4

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5.三角与平面向量

??? ? ???? ??? ? ??? ? 例 5【2012 高考江苏 15】(14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

例 6【2012 高考真题湖北理 17】(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x) , b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R) 的图象关
1 于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
3π π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4

6.三角函数与不等式 例 7(湖北)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ?

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

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7.三角函数与极值 例 8(安徽)设函数 f ?x ? ? ? cos2 x ? 4t sin

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

其中 t ≤1,将 f ? x ? 的最小值记为 g(t). (Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

三角函数易错题解析 例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、 答案:C A, B, C 是 ? ABC 的三个内角, 且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则 ? ABC 是 (
2

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? ),则角 ? 的最小值为( , cos 3 3 11? D、 6

)。

例题 2



A、钝角三角形 答案:A

B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

例题 3 已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan? , tan ? ,
2

且? 、 ? ? ? ? 答案:-2

? ?? ? ? ?? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?

例题 4 函数 f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。 答案:a=

1 2

b=

5 2
sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x
?

例题 5 函数 f(x)=

答案: ? ? 2 ? 1, 2 ? 1?

?

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第二讲:三角函数大题类型几点

例题 6 若 2sin2α ? sin ? ? 3 sin ? , 则 sin ? ? sin ? 的取值范围是
2 2 2

答案: ? ?4, 2?

例题 7 已知 ?? ? ? ? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。 答案: ? ?5, 7 ?

例题 8 求函数 f ( x) ? 答案:

? 2

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

例题 9 求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos( ? x) ? 3 的值域

?

4

答案: ? 2 ? 2 2,5 ?

?

?

例题 10 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数, 其图像关于点 M ( ? ,0) 对称, 且在区 间[0,

2 ? ? ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。答案: ? ? , ? ? 3 2 2

3 4

三角函数及三角形高考题

1.(2011 年北京高考 9)在 ?ABC 中,若 答案:

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

5 2 3

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin Acos A ?cos B ?
2

1 (A)- 2
答案:D

1 (B) 2

(C) -1

(D) 1

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? 3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的
图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 (A) 3
答案:C

(B) 3

(C) 6

(D) 9

4.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,则 y=_______.

答案: -8

f ( x) ? f ( ) ? f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) 6 对 x ? R 恒成立,且 5 .( 2011 年安徽高考 9 )已知函数 ,其中 为实数,若

?

f ( ) ? f (? ) 2 ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

? ?? ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 3 6? (A) ?

?? ? k? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 2? (B) ?
? ? ? k? ? , k? ? ( k ? Z ) ? 2 ? (D) ?

? 2? ? ? k ? ? , k ? ? (k ? Z ) ? ? 6 3 ? ? (C)
答案:C

2 2 2 6.(2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

(0, ] (A) 6 答案:C

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] (C) 3

?

[ ,? ) (D) 3

?

f ( x) ? 4cos x sin( x ? ) ? 1. 6 7.(2011 年北京高考 17)已知函数
? ? ?? ?? , ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。
答案:(Ⅰ) T ? ? (Ⅱ)1 ,

?

?3

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8. (2011 年山东高考 17) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos A ? 2cos C 2c ? a ? cos B b ,

sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。
答案:(Ⅰ)2 (Ⅱ)

15 4

9. (2011 年全国卷高考 18) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B . (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

答案:(Ⅰ)

? 4

(Ⅱ) a ? 1 ?

3c ,?

6

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10.(2011 年湖南高考 17)在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. (I)求角 C 的大小;(II)求
答案:(Ⅰ)

?

? (II)最大值 2 , 4

A?

?
3

,B ?

5? 12

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R . 11.(2011 年广东高考 16)已知函数
f(
(1)求 答案:(Ⅰ)

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.

2 (II)

16 65

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12.(2011 年广东高考 18)已知函数

f ( x) ? sin( x ?

7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. cos(? ? ? ) ? 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 5 , 5, 2 .求证:

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知
[ f (? )]2 ? 2 ? 0 .

答案:(Ⅰ) 2? , ?2

13.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若 答案:(Ⅰ) A ?

?
6

) ? 2 cos A,
(II)

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

?
3

1 3

b 14.(2011 高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a。(I)求 a ;(II)
若 c2=b2+ 3 a2,求 B。 答案:(Ⅰ)

2 (II)

? 4

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1 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 15. (2011 年湖北高考 17)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知
) 的值。 (I) 求 ?ABC 的周长;(II)求 cos(A?C
答案:(Ⅰ) 5(II)

11 16

16. (2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 答案:(Ⅰ)

cos 2C ? ?

1 4

10 (II) b ? 2 6, c ? 4 4

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