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考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型


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考点 49 随机事件的概率、古典概型、几何概型
一、选择题 1. ( 2013 ·四川高考理科·T 9 )节日前夕 ,小李在家门前的树上挂了两串 彩灯 , 这两串彩灯的第一次闪亮

相互独立 , 且都在通电后的 4 秒内任一时刻 等可能发生 ,然后每串彩灯在 4 秒内为间隔闪亮 , 那么这两串彩灯同时通电 后 ,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 A.
1 4

(

) D.
7 8

B.

1 2

C.

3 4

【解题指南】本题考查的是几何概型问题 , 首先明确两串彩灯开始亮是通电 后 4 秒内任一时刻等可能发生 , 第一次闪亮相互独立 ,而满足要求的是两串 彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒 . 【解析】选 C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后 4 秒内任一时 刻等可能发生 , 所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积 , 而要求的是 第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面 积,

根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概 率是
12 3 ? ,故选 C. 16 4

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2.( 2013 ·安徽高考文科·T 5 )若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、 丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 ( A. )

2 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

9 10

【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑,先组合再求概率。 【解析】选 D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率 P 1 =2 ? 当 甲 、 乙 两 人 都 被 录 用 时 的 概 率 P2 =
P=P 1 +P2 = 3 6 9 + = 。 10 10 10

C32 3 C5

2

3 6 = ; 10 10

1 C3 3 ,所以所求概率为 = 3 C5 10

3.( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 3)从 1, 2, 3, 4 中任取 2 个不同的数, 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( A.
1 2



B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【解析】选 B.从 1 , 2, 3, 4 中任取 2 个不同的数有 6 种,取出的 2 个数之 差的绝对值为 2 有 2 种,则概率 P ?
2 1 ? . 6 3

4. ( 2013 ·陕西高考理科·T 5)如图 , 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各 有一个通信基站 , 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域

CBF(该矩形区域内无其他信号来源 , 基站工作正常 ). 若在该矩形区域内随
机地选一地点 , 则该地点无 信号的概率是 .
D F C

(

)

1 E A 2 B

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A. C.

1?

?
4

B. D.

?
2

?1

2?

?
2

? 4

【解题指南】 几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所 占有的面积的比值求出该几何概型的概率 . 【解析】 选 A.由题设可知, 矩形 ABCD 的面积为 2 , 曲边形 DEBF 的面积为 2 ? 故所求概率为
2? 2 ? 1? ? . 2 4

?
2



?

5.( 2013·江西高考文科·T 4 )集合 A={2,3},B={1,2,3}, 从 A,B 中各取任 意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是( A.
2 3

) D.
1 6

B.

1 2

C.

1 3

【解题指南】属于古典概型,列举出所有的结果是关键 . 【解析】选 C.所有的结果为( 2,1 ),( 2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) 共 6 种,满足所求事件的有 2 种,所以所求概率为 1 .
3

6. ( 2013 ·湖南高考文科·T 9) .已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机 取一点 P,使△ APB 的最大边是 AB ”发生的概率为 ,则 A.
1 2
1 2 AD =( AB


7 4

B.

1 4

C.

3 2

D.

【解题指南】本题的关键是找出使△ APB 的最大边是 AB 的临界条件,首先 是确定 AD<AB,然后作出矩形 ABCD ,最后分别以 A、 B 为圆心以 AB 为半径作 圆弧交 CD 于 F、 E,当 EF= CD 时满足题意。 【解析】选 D,如图,
1 2

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在矩形 ABCD 中,以 AB 为半径作圆交 CD 分别于 E,F,当点 P 在线段 EF 上运 动时满足题设要求, 所以 E、 F 为 CD 的四等分点, 设 AB ? 4 , 则 DF ? 3, AF ? AB ? 4 在直角三角形 ADF 中, AD ? AF 2 ? DF 2 ? 7 ,所以 二、填空题 7.(2013 · 浙江高考文科·T12) 从 3 男 3 女 6 名同学中任选 2 名 (每名同学被 选中的机会均相等 ),则 2 名都是女同学的概率等于 【解题指南】根据概率的知识求解 . 【解析】 P ? 【答案】 . 8.( 2013 ·上海高考理科· T8 )盒子中装有编号为 1, 2 , 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率 是 ___________ (结果用最简分数表示) 【解析】 9 个数 5 个奇数, 4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ? 【答案】
13 . 18

AD 7 . ? AB 4

.

C32 3 1 ? ? . 2 C6 15 5

1 5

C52 13 ? . C92 18

9.( 2013 ·上海高考文科· T11 )盒子中装有编号为 1 , 2, 3, 4 , 5, 6 , 7 的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示) . 【解析】考查排列组合;概率计算策略:正难则反。

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2 从4个奇数和 3个偶数共 7个数中任取 2个,共有 C7 ? 21个
2 2个数之积为奇数? 2个数分别为奇数,共有 C4 ? 6个.
2 C4 6 5 ? 1? ? 2 21 7 C7

所以2个数之积为偶数的概率 P ? 1?

【答案】

5 . 7

10. (2013 · 江苏高考数学科· T7) 现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m,n(m ≤ 7,n≤ 9)可以任意选取 ,则 m,n 都取到奇数的概率为 .

【解题指南】先计算所有的结果数再计算事件所含结果数 ,利用古典概型概 率公式求得 . 【解析】 所有的情况数为 7×9=63, 都取到奇数的情况数为 4×5=20, 所以 m,n 都取到奇数的概率为 【答案】
20 . 63 20 . 63

11.( 2013·福建高考理科·T 11 )利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数
a ,则事件“ 3 a -1>0”的概率为 _______

【解题指南】对于几何概型,一个变量是长度,两个变量是面积。
1 1 2 【解析】设事件 A :“ 3a ? 1 ? 0 ”,则 a ? ( ,1],所以 P( A) ? 3 ? 3 1 3 1?

【答案】 . 12. ( 2013 · 福建高考文科· T 14 ) 利用计算机产生 0 ? 1之间的均匀随机数a, 则事件 “ 3a-1<0 ”发生的概率为 .

2 3

【解题指南】对于几何概型,一个变量是长度,两个变量是面积。
1 ?0 1 1 【解析】设事件 A :“ 3a ? 1 ? 0 ”,则 a ? [0, ),所以 P( A) ? 3 ? 3 1 3

【答案】 . 13. ( 2013 ·湖北高考文科·T 15 )在区间 [? 2, 4]上随机地取一个数 x,若 x

1 3

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满足 | x | ? m 的概率为 5 ,则 m ?
6

.

【解题指南】解绝对值不等式 ,根据几何概型利用区间长度之比求解 . 【解析】由 | x |≤ m,得 -m≤ x ≤ m ,当 m≤ 2 时 ,由题意 舍去 ;当 2<m<4 时 ,由题意得 【答案】 3. 14. ( 2013 ·山东高考理科·T 14 )在区间 [-3,3] 上随机取一个数 x ,使 得 |x+1 |- |x-2 |≥ 1 成立的概率为 __________. 【解题指南】 可先定义新函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,然后根据分段函数的特点 将问题转化为几何概型问题 .
??3, ? 3 ? x ? ?1 ? 【解析】设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,则 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ?? 2 x ? 1, ? 1 ? x ? 2 .由 2 x ? 1 ? 1 , ?3, 2 ? x ? 3 ?
m ? ( ? 2) 5 ? , 解得 m=3. 6 6 2m 5 ? , m=2.5 矛盾 , 6 6

解 得 1 ? x ? 2 , 即 当 1 ? x ? 3 时 , f ( x )? 1 .由几何概型公式得所求概率为
3 ?1 2 1 ? ? . 3 ? (?3) 6 3

【答案】 . 15.(2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科· T14) 从 n 个正整数 1,2,? ,n 中任意取 出两个不同的数 , 若取出的两数之和等于 5 的概率为
1 ,则 n= 14

1 3

.

【解题指南】 表示出两数之和等于 5 的概率 ,并建立方程 ,利用组合数的计算 公式 ,解方程求得 n. 【解析】 从 n 个正整数 1,2,? ,n 中任意取出两个不同的数 ,所有的取法有 Cn2 种 ,而取出的两数之和等于 5 的取法只有两种 , 即 (1,4),(2,3), 所以其概率 为
2 1 2 ? , 即 n -n-56=0,所以 n=8. 2 Cn 14

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【答案】 8. 16. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 13 )从 1, 2,3, 4,5 中任意取出两个不 同的数,其和为 5 的概率是 _______. 【解题指南】列举基本事件总数,从中找出和为 5 的情况,两者作比即可得 概率 . 【解析】从 5 个正整数中任意取出两个不同的数,有 10 种,若取出的两数之 和等于 5,则有 (1, 4), (2, 3) ,共有 2 个,所以取出的两数之和等于 5 的概率为
2 1 ? 。 10 5

【答案】 . 三、解答题 17. ( 2013 ·辽宁高考文科·T 19 ) 现有 6 道题,其中其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解 答. 试求: (?) 所取的 2 道题都是甲类题的概率;
(?? ) 所取的 2 道题不是同一类题的概率;

1 5

【解题指南】利用列举法,弄清楚基本事件总数和所求的事件 A 包含的基本 事件数,利用古典概型的公式计算概率
(?) 将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4 , 【解析】 2 道乙类题依次编号为 5,6. 任

取 2 道题的基本事件为 ?1,2?, ?1,3?, ?1,4?, ?1,5?, ?1,6?, ?2,3?, ?2,4?, ?2,5?, ?2,6?, 并且这些基本事件的出现是等可能 ?3,4?, ?3,5?, ?3,6?, ?4,5?, ?4,6?, ?5,6? 共有 15 个; 的,记事件 A ? “张同学所取的2道题都是甲类题”;则A包含的基本事件 有 ?1,2?, ?1,3?, ?1,4?, ?2,3?, ?2,4?, ?3,4? 共6个,所以 P( A) ?
6 2 ? . 15 5

(?? ) 基本事件同 (?) .记事件 B ? “张同学所取的2道题不是同一类题”,

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则B包含的基本事件有 ?1,5?, ?1, 6?, ?2,5?, ?2, 6?, ?3,5?, ?3, 6?, ?4,5?, ?4, 6? 共8个, 所以 P( B) ?
8 . 15

18.(2013 ·天津高考文科· T15) 某产品的三个质量指标分别为 x,y,z, 用综 合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级 . 若 S≤ 4,则该产品为一等品 .现从一批该 产品中 ,随机抽取 10 件产品作为样本 , 其质量指标列表如下 : 产品编号 质量指标 (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) (x, y, z ) 产品编号 质量指标 (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (x, y, z ) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 . (2)在该样品的一等品中 ,随机抽取 2 件产品 , ①用产品编号列出所有可能的结果 ; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中 ,每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求 事件 B 发生的概率 . 【解题指南】 (1) 先计算表格中各样本的综合指标 , 再计算其中一等品所占比 例来估计该批产品的一等品率 . (2)逐一列举 ,找出符合条件的结果 , 利用古典概型计算概率 . 【解析】 (1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表 产品编号 S
A1
A2

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

4

4

6

3

4

5

4

5

3

5

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其中 S≤ 4 的有 A 1,A2,A4,A5,A7,A9, 共 6 件 ,故该样本的一等品率为 而可估计该批产品的一等品率为 0.6.

6 =0.6,从 10

(2) ① 在 该 样 本 的 一 等 品 中 , 随 机 抽 取 2 件 产 品 的 所 有 可 能 结 果 为 (A1,A2),(A 1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A 1,A9),(A2,A4),(A 2,A5),(A2,A7),(A 2,A9),( A4,A5),(A4,A7),(A 4,A9),(A5,A7),(A 5,A9),(A7,A9),共 15 种 . ②在该样本的一等品中 ,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A 5,A7,则 事件 B 发生的所有可能结果为 (A1,A2),(A 1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A 2,A7),(A5,A7),共 6 种 . 所以 P( B) ?
6 2 ? . 15 5

19. ( 2013 ·湖南高考文科·T 18 )某人在如图所示的直角边长为 4 米的三 角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了 一株相同品种的作物。 根据历年的种植经验, 一株该种作物的年收货量 Y (单 位: kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。

(Ⅰ)完成下表 , 并求所种作物的平均年收获量 ;

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Y 频数

51

48 4

45

42

(Ⅱ )在所种作物中随机选取一株 , 求它的年收获量至少为 48kg 的概率 . 【解题指南】 本题先要确定共种植 15 株作物 ,然后弄懂哪些株之间的距离等 于 1 米 ,哪些超过 1 米 ,关键是弄懂“相近”即直线距离不超过 1 米的含义 . 【解析】(Ⅰ)由图可知所种作物总株数为 15.其中“相近”作物株数为 1 的作物有 2 株,“相近”作物株数为 2 的作物有 4 株,“相近”作物株数为 3 的作物有 6 株,“相近”作物株数为 4 的作物有 3 株,列表如下 Y 频数 所种作物的平均收获量为 51 2 48 4 45 6 42 3

51 ? 2 ? 48 ? 4 ? 45 ? 6 ? 42 ? 3 ? 46 15

(Ⅱ )由 (Ⅰ) 知年收获量至少为 48kg 的有 6 株, 故从 15 株中随机选取一株, 它的年收获量至少为 48kg 的概率为
6 2 ? 。 15 5

20.( 2013 ·江西高考文科·T 16 )小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还 是去下棋 .游戏规则为以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A 4,A5,A6(如图)这 6 个点 中任取两点分别为终点得到两个向量, 记住这两个向量的数量积为 X, 若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋 .

(1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不 去唱歌的概率. .

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【解题指南】 (1) 写出六个向量中取两个向量的所有情况,便知对应的数量 积情况;( 2)找出所求事件包含的结果代入古典概型概率公式 . 【解析】 (1)X 的所有可能取值为 -2, -1,0,1. (2)数量积为 -2 的有 OA2 ? OA5 ,共 1 种; 数量积为 -1 的有 OA1 ? OA5 , OA1 ? OA6 , OA2 ? OA4 , OA2 ? OA6 , OA3 ? OA4 , OA3 ? OA5 ,共 6 种; 数量积为 0 的有 OA1 ? OA3 , OA1 ? OA4 , OA3 ? OA6 , OA4 ? OA6 共 4 种; 数量积为 1 的有 OA1 ? OA2 , OA2 ? OA3 , OA4 ? OA5 , OA5 ? OA6 共 4 种 . 故所有可能的情况共有 15 种 .所以小波去下棋的概率为 P1 ? 的概率为 P2 ?
4 , 15 4 11 ? . 15 15 7 ;小波去唱歌 15
???? ? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ???? ? ????? ???? ? ????? ????? ????? ????? ????? ???? ? ????? ???? ? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ?????

小波不去唱歌的概率为 P ? 1 ?

21.( 2013 ·安徽高考理科·T 21 )某高校数学系计划在周六和周日各举行 一次主题不同的心理测试活动 , 分别由李老师和张老师负责 , 已知该系共有
n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数)。假

设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学 生,且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的 学生人数为 x ( 1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; ( 2)求使 P( X = m) 取得最大值的整数 m 。 【解题指南】( 1 )利用对立事件的概率计算;( 2 )根据 P(X=m)的关系式, 利用不等式求解。 【解析】( 1)因为事件 A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B:“学 生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以 A与B 相互独立,由于

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k-1 Cn k k k 2 2 kn - k2 -1 = P(A)=P(B)= C k = n , 故P( A) = P( B) = 1 - n ,因此 P =1-(1- ) 。 n n2 n

( 2)当 k=n 时,m 只能取 n ,有 P(X=m)=P(X=n )=1,,当 k<n 时,整数 m 满 足 k #m t ,其中 t 是 2k 和 n 中的较小者,由于“李老师和张老师各自独立、 随机地发活动通知信息给 k 位同学”所包含的基本事件总数为 (Cnk )2 ,当 X=m 时, 同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为 2k-m,仅收到李老师 或仅收到张老师转发信息的学生人数均为 m-k ,由乘法计数原理知:事件 {X=m} 所包含基本事件数为 Cnk Ck2k - mCnm--kk = Cnk Ckm- k Cnm--kk , 此时 P (X=m) =
k 2 k- m m - k m - k Cn C k C n-- kk C km Cn - k , = k 2 k (Cn ) Cn

当 k ? m t 时, P(X=m) ? P( X m +1)
m- k m+1- k m+1- k Ckm- k Cn Cn Cn- k -k [

(m - k +1)2 ? (n m)(2k - m) 郏 m

2 (k+1) 2k , n +2

假 如 k? 2 k
k ? 2k

2 (k+1) < n +2

2 t 立 , 则 当 (k+1) 成 能 被

n+2

整 除 时 ,

2 2 2 2 (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) < 2k +1 t ,故 P( X=m )在 m=2k 和 m=2k +1 处 n +2 n +2 n +2 n +2

2 (k +1 ) 取得最大值;当 不能被 n+2 整除时, P( X = m)在m=2k - [

2 (k+1) ] 处达最大 n +2

值。(注: [x]表示不超过 x 的最大整数) 下面证明 k ? 2 k
2 (k+1) < t。 n +2

因为 1 ? k n ,所以 2k 而 2k -

2 (k+1) kn-k2 - 1 -k = n +2 n +2

k(k +1)-k 2 - 1 k - 1 = n +2 n +2

0,

2 (k +1)2 (k +1)2 (k +1)2 (n - k +1 ) < n ,显然 2k < 2k , - n=< 0 ,故 2k n +2 n +2 n +2 n +2
2 (k+1) < t。 n +2

因此 k ? 2 k

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22.( 2013 ·北京高考文科·T 16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量 指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一 天到达该市,并停留 2 天。

( 1)求此人到达当日空气质量优良的概率 ( 2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率。 ( 3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要 求证明) 【解题指南】 (1)(2) 都是古典概型的概率计算问题 ,先列出基本事件空间所 包含的基本事件及基本事件总数 , 再求出对应事件所包含的基本事件及基本 事件总数 ,再求概率 .(3)从图中找出哪三天的波动最大 ,则方差也就最大 . 【解析】 ( 1)此人到达的时间从 1 日到 13 日,共有 13 种情况。事件 A=“此 人到达当日空气质量优良” ={ 1 ,2,3,7 ,12,13 },包含基本事件数 6。 所以 P( A) ?
6 ; 13

( 2)此人在该市停留两天期间的空气质量所有可能情况有: (86,25) , ( 25, 57),( 57 , 143 ),( 143, 220 ),( 220.160),( 160, 40),( 40, 217),( 217,160 ),( 160,121 ),( 121,158 ),( 158,86),( 86, 79),( 79, 37)共有 13 种可能。 其中只有 1 天重度污染的有:( 143 ,220),( 220 ,160),( 40,217),

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( 217, 160)共 4 种可能。所以 P ? ( 3) 5, 6, 7 三天。

4 。 13

23.( 2013 ·广东高考理科·T 17 )某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名, 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数 .

( 1)根据茎叶图计算样本均值; ( 2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该 车间 12 名工人中有几名优秀工人? ( 3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率 . 【解题指南】本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典 概型等知识,除应用频率估算概率外,还特别要注意基本公式的应用 .
17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 ; 6 2 1 ( 2)样本中优秀工人为 2 名,频率为 ? ,由此估计该车间 12 名工人中 6 3 1 有 12 ? ? 4 名优秀工人; 3

【解析】( 1)样本均值 x ?

( 3)由于 12 名工人中有 4 名优秀工人,任取 2 人恰有 1 名优秀工人的概率
p?
1 1 C8 C4 16 ? . 2 C12 33

24.( 2013·广东高考文科·T 17 )从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量 (单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) 频数(个) 5 10 20
[95,100)

15

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(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中 重量在 [80, 85) 的 有几个? (3) 在( 2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中 各有 1 个的概率. 【解题指南】本题考查统计中的频率分布、分层抽样、古典概型等知识 . 【解析】( 1)苹果的重量在 ?90,95? 的频率为 ( 2)重量在 ?80,85? 的有 4 ?
5 =1个; 5+15 20 =0.4 ; 50

( 3)设这 4 个苹果中重量在 ?80,85? 的为 1, ?95,100? 的为 2、 3、 4,从中任取 两个,可能的情况有:( 1,2)( 1,3)( 1,4)( 2,3)( 2,4)( 3,4) 共 6 种;设任取 2 个,重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有 1 个的事件为 A,则事 件 A 包含有( 1, 2 )( 1, 3)( 1 , 4 )共 3 种,所以 P(A) ? ? . 25. ( 2013 ·山东高考文科·T 17 )某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他 们的身高(单位 : 米)以及体重指标(单位 :千克 /米 2 ),如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9
3 6 1 2

(Ⅰ )从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人, 求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ )从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重 指标都在 [18.5, 23.9)中的概率 【解题指南】(Ⅰ)本题考查古典概型,要将“身高低于 1.80 的同学中任 选 2 人”都列出,然后找“ 2 人身高都在 1.78 以下”所含的基本事件的个

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数,由古典概型概率公式求得结果 .( II)要将基本事件都列出,然后找“ 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5, 23.9) 中”所含的基本事件的 个数,由古典概型概率公式求得结果 . 【解析】( I)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成 的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D), 共 6 个 .由于每个 人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的 .选到的 2 人身 高都在 1.78 以下的事件有: (A,B),(A,C),(B,C), 共 3 个 . 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P= ? . ( II)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: ( A,B ), (A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E), 共 10 个 . 由于每个人被选到的机会均等,因此这些事件出现是等可能的 .选到的 2 人 身高都在 1.70 以上且体重都在( 18.5,23.9 )中的事件有: ( C,D),( C,E), ( D,E) ,共 3 个 .因此选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重都在 ( 18.5,23.9 ) 中的概率为 P1 ?
3 . 10

3 6

1 2

26. ( 2013 ·陕西高考文科·T 19 )有 7 位歌手 (1 至 7 号 )参加一场歌唱比 赛 , 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次 , 根据年龄将大众评委分为 5 组 , 各组的人数如下 : 组别 A

B

C

D

E

人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持情况 , 现用分层抽样方法从各组中 抽取若干评委 , 其中从 B 组中抽取了 6 人 . 请将其余各组抽取的人数填入下 表.

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组别 人数 抽取人数

A

B

C

D

E

50 100 150 150 50 6

(Ⅱ) 在 (Ⅰ )中 , 若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手 ,现从这 两组被抽到的评委中分别任选 1 人 ,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 . 【解题指南】按相同的比例从不同的组中抽取人数 ; 相互独立同时发生的概 率公式 P(AB)=P(A)P(B), 代入可求解 . 【解析】 (Ⅰ )从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 150 人 中抽取 9 人 . 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 , B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率为 , 现从抽样评委 A 组 3 人 ,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌 手的概率 P ? ? ? . 所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的 概率为 . 27. ( 2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T 19 )经销商经销某种农产品,在一 个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300
2 9 2 2 3 6 2 9 2 6 2 3

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元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所 示。

经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品。以 X (单位:t ,100 ? X ? 150 ) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度 内经销该农产品的利润。 ( 1)将 T 表示为 X 的函数; ( 2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; 【解题指南】( 1 )依题意,可求得 T 关于 x 的分段函数 ; (2)由频率分布直方图可知, 知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120 ? X ? 150. 用 频率估计概率,可得概率的估计值; 【解析】( 1)当 X ? [100,130) 时, T ? 500X ? 300 , X ? 39000 ? 130? X ? ? ? 800 当 X ??130,150? 时,
T ? 500? 130? 65000.

所以

? X ? 130, ?800X ? 39000,100 T ?? ? X ? 150. ?65000,130

( 2)由( 1)知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120 ? X ? 150. 由直方图知需求量 X ??120,150? 的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. 28. ( 2013 ·大纲版全国卷高考文科·T 20)甲、乙、丙三人进行羽毛球练 习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局

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当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 , 各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当裁判 . ( I)求第 4 局甲当裁判的概率; ( II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判的概率 . 【解析】( I)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”,
A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”,
A 表示事件“第

1 2

4 局甲当裁判” .
1 4

则 A ? A1 ? A2 . P( A) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? . ( II)记 B1 表示事件“第 1 局比赛结果为乙胜”,
B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时,结果为乙胜”,

B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙胜”,
B 表示事件“前

4 局中乙恰好当一次裁判” .

则 B ? B1 ? B3 ? B1 ? B2 B3 ? B1 B2
P(B) ? P(B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 )
? P(B1 ? B3 ) ? P(B1 ? B2 ? B3 ) ? P(B1 ? B2 )

? P(B1 )P(B3 ) ? P(B1 )P(B2 )P(B3 ) ? P(B1 )P(B2 )
? 1 1 1 ? ? 4 8 4 5 ? . 8

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