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8上14.5《一次函数》课案(教师用)


课案(教师用)

一次函数
(新授课) 城南中学 卢杰 【理论支持】 数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的, 函数概念来源于客观实际需要, 也是来 自数学内部发展的需要, 它是以变化与对应的思想为基础的, 它的实质就是运动变化与联系 对应. 使学生了解对于许多客观事物必须从运动变化的角度研究, 许多问题中的各种变量是 相互联系的.借助实际问题情境,由具体到抽象认识函数,由特殊到一般引起认知冲突,符 合学生的认知规律,体现数学的建模思想. 教材分析: 一次函数是义务教育课程标准实验教科书八年级上册内容, 它是在学生了解了正比例函 数后被引出的 ,一次函数定义的学习为学生学习一次函数的图像性质奠定了基础,它在现 在生活中有着广泛的作用, 一次函数的概念蕴含着从特殊到一般的认识规律, 是培养学生思 维能力的重要内容之一. 教法、学法分析: 1.充分以学生为主体进行教学,让学生多实践,经历从特殊到一般的过程,采用“先特 殊化、简单化,再一般化、复杂化”的过程教学. 2.通过问题探究,提高观察、归纳能力、发展抽象思维能力,通过类比正比例函数与 一次函数,加强对知识内在联系的认识. 【教学目标】 1.知识目标:(1)掌握一次函数解析式的特点及意义 (2)理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系 2.能力目标:通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法多样性.根据问题的 信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题,进一步提高分析概括、总结 归纳能力. 3.情感目标:在探索过程中,发展抽象思维能力和概括能力,体验特殊和一般的辩证 关系, 激发学生的求知欲望, 培养学生积极学习数学的态度. 数学活动中充满着探索与创造, 体验数学活动中的成功感,建立自信心. 【重点难点】 重点:一次函数解析式的特点 难点:一次函数与正比例函数关系、依据数量关系确定一次函数关系式 【课时安排】一课时 【教学设计】 课前延伸 1.正比例函数有何特点?它的一般形式是什么? 2.指出下列函数是否是正比例函数?比例系数是多少? (1)y=3x (2)y=

2 x

(3)y=

x 2

(4)S = πr2

〖解析〗1.正比例函数是常数与自变量乘积的形式.它的一般形式是 y=kx(k 是常数, k≠0) 〖答案〗(1)是 比例系数是 3 (2)不是 (3)是 比例系数是

1 2

(4)不是

1

〖设计说明〗巩固学生对正比例函数的理解,为进一步研究一次函数打好坚实基础. 课内探究 一、创设情境,激发求知 问题:某登山队大本营所在地的气温为 5℃,海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃,登山队 员由大本营向上登高 x km 时, 他们所在位置的气温是 y ℃, 试用解析式表示 y 与 x 的关系. 分析:y 随 x 的变化规律是:从大本营向上当海拔增加 x 千米时,气温从 5 ℃减少 6x ℃.因此 y 与 x 的关系为 y=5-6x 这个函数也可以写成 y=-6x+5 思考:这个关系式与正比例函数的解析式相比,有什么不同点呢? 〖设计说明〗通过创设问题情境,引起学生的认知冲突. 二、探索共性,形成概念 1.多媒体展示如下问题,并提问:下列问题中的对应关系可用怎样的函数表示?这些 函数有什么共同点? (1)有人发现,在 20~50℃时蟋蟀每分鸣叫的次数 c 与温度 t(单位:℃)有关,即 c 的值 约是 t 的 7 倍与 35 的差; (2)一种计算成年人标准体重 G(单位:千克)的方法是,以厘米为单位量出身高值 h,再 减去常数 105,所得差是 G 的值; (3)某城市的市内电话的月收费额 y(单位:元)包括:月租费 22 元,拔打电话 x 分的计时 费(按 0.1 元/分收取); (4)把一个长 10cm、宽 5cm 的长方形的长减少 x cm,宽不变,长方形的面积 y(单位:平 方厘米)随 x 的值而变化. 让学生独立思考,有问题的也可以互相讨论,完成以后,由学生发言,师生共同讨论, 教师作总结,给出上面问题中的函数解析式. 〖答案〗上面问题中的函数解析式分别为: (1)C=7t-35 (2)G=h-105 (3)y=0.1x+22 (4)y=-5x+50 2.请大家仔细观察我们得到的 5 个函数解析式,看看它们有什么共同的特点?(鼓励 学生积极发言,引导学生总结出一次函数的含义) 共同特点为:它们的形式与 y=-6x+15 一样,函数的形式都是自变量 x 的 k 倍与一个常 数的和. 如果我们用 b 来表示这个常数的话,这些函数形式就可以写成:y=kx+b(k≠0) 3.揭示课题,整理概念(板书) 一般地, 形如 y=kx+b 、 是常数, (k b k≠0?) 的函数, 叫做一次函数 (?linearfunction) 当 . b=0 时,y=kx+b 就变成为 y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 〖设计说明〗通过对具体问题的探究,建立一次函数的数学模型,培养学生观察归纳和 抽象思维能力. 三、例题剖析,理解定义 1.下列哪些函数是一次函数,哪些又是正比例函数. (1)y = -8x+2 (2)y =3x2-6 (3)y =-0.5x+1 (4)y=

?7 x

(5)m= 2 x ? 6

(6)y=9x

2.已知 y =(m+1)x+2,当 m 满足何条件时,y是 x 的一次函数. 〖答案〗1.一次函数有:(1)、(3)、(6) 正比例函数有:(6) 2.由一次函数的定义可知:m+1≠0 则 m≠-1, 所以当 m≠-1 时,y是 x

2

的一次函数. 〖设计说明〗通过对例题的分析,理解一次函数的概念,实现学以致用的效果,体现交 流合作的优势. 四、运用新知,深化理解 1.下列函数哪些是一次函数,哪些又是正比例函数? (1)y=-8x (2)y=

?8 x

(3)y=5x2+6

(4)y=-0.5x-1

2.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动,其速度每秒增加 2 米/秒. (1)求小球速度 v(单位:米)随时间 t (单位:秒)变化的函数关系式,它是一次 函数吗? (2)求第 2.5 秒时小球的速度. 3.汽车油箱中原有汽油 50 升,如果行驶中每小时用油 5 升,求油箱中的汽油 y(单位: 升)随行驶时间 x(单位:时)变化的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.y 是 x 的一次 函数吗? 〖答案〗1.一次函数有:(1)、(4) 正比例函数有: (1) 2.(1) v=2t 它是一次函数 (2) 当 t=2.5 时 v=2×2.5=5(米/秒) 答: 第 2.5 秒时小球的速度为 5 米/秒. 3. y=-5x﹢50 (0≤x≤10) y 是 x 的一次函数 〖设计说明〗 检查学生对所学知识的掌握情况以及对一次函数与正比例函数的关系的理 解,使学生初步体会知识的运用. 五、巩固练习,自主探究 1.下列函数:①y=x-2 ②y= ? 数的有几个? A.1 个

2 x

③y=-x2+(x+1)(x-2) ④y= ? ) D.0 个

x 其中是一次函 2

B.2 个

( C.3 个

2. 已知│a+1│+(b-2)2=0, 则函数 y=(b+3)x-a+b2-8b+16 是什么函数?当 x=-

1 5

时函数值 y 是多少? 3.某影碟出租店开设两种租碟方式:一种是零星租碟,每张收费 1 元;另一种是会员卡租 碟,办卡费每月 12 元,租碟费每张 0.4 元 . 小彬经常来该店租碟,若每月租碟数量为 x 张. (1)写出零星租碟方式应付金额 y1(元)与租碟数量 x(张)之间的函数关系式: (2)写出会员卡租碟方式应付金额 y2(元 )与租碟数量 x(张)之间的函数关系式: (3)小彬选取哪种租碟方式更合算? 〖答案〗1. C 2. 3 3.(1) y1 =x (2) y2 =0.4x﹢12 (3)当租碟数量不足 20 张时,选择第一种租碟方式合算;当租碟数量为 20 张时,两种租 碟方式应付金额相同;当租碟数量超过 20 张时,选择第二种租碟方式合算. 〖设计说明〗加强学生对所学知识的理解, 让学生在学习新知的同时,利用新知解决 实际生活问题,体现了数学来源于生活应用于生活. 六、归纳小结,课堂作业 1.一次函数有何特点?它的一般形式是什么? 2.一次函数与正比例函数的关系 3.课本 120 页第 3 题

3

〖答案〗1.一次函数是自变量 x 的 k(常数)倍与一个常数的和.它的一般形式为:y=kx ﹢b(k,b 是常数,k≠0) 2.正比例函数是一次函数的一种特殊情形(当 b=0 时,y=kx﹢b 即 y=kx) 〖设计说明〗 检查学生对一次函数及一般形式的理解, 是否掌握了一次函数与正比例函 数的关系,培养学生的反思能力. 课后提升 1.下列式子中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?若不是一次函数,请说明理由. (1)y =-6x; (5) c ? (2) y ?

?8 ; x

(3) y ? 0.3 ? 2 x ; (4)y=x;
2

t ? 12 ; (6) y ? 3x ? 6 ; (7) c=4π; 7
(10)y=kx
m

(8)6x+8;

(9)y+x=6 2. y ? (m ? 1) x

? 2 ,当 m=
2

,y 是 x 的一次函数. ,y 是 x 的正比例函数.

3. y ? (m ? 1) x ? m ? 1 ,当 m=

4. 已知 y 与 4x-1 成正比例, 且当 x=3 时, y=6, 写出 y 与 x 的函数关系式 . 5.已知 y 与 x-3 成正比例,当 x=4 时,y=3. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)y 与 x 之间是什么函数关系; (3)求 x=2.5 时,y 的值. ∣ ∣ 6.已知函数 y=(m﹢2)x m -1 +(n-2),当 m 且n 时,它是一次函数; 当m 且n 时它是正比例函数. 7.学校里现有粉笔 15000 盒,如果每个星期领出 60 盒子,求仓库内余下的粉笔 Q 与 星期数 t 之间的函数关系式 . 8.梯形的上底长为 4,下底长为 7,一腰长为 12.请写出梯形的周长 y 与另一腰长 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围. 〖答案〗1.一次函数有:(1)、(4)、(5)、(6)、(9) 正比例函数有:(1)、(4) 2.m=1 3. m=-1 4.y=

24 6 x11 11

5.(1)y=3x-9 (2)y 是 x 的一次函数 (3)-1.5 6.m=2 且 n≠2;m=2 且 n=2 7.Q=-60t﹢15000 8.y=x﹢23 (9<x<15) 〖设计说明〗加强学生对一次函数的含义的理解,领悟一次函数与正比例函数的关系, 培养学生的分析能力和解决问题的能力. 把所学知识与实际生活结合起来, 培养学生的建模 能力.

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