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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第2节函数的单调性与最值课件理


第2节 函数的单调性与最值

最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小) 值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象 分析函数的性质.

知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.由增减函数的定义,判断并证明一个函数在某一区间上具有单调性
的步骤有哪些? 提示:取值→作差→变形→判号→定论. 2.若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数,则函数f(x)在区间 C∪D上是增(减)函数吗? 1 提示:不一定.如 f(x)= ,在区间(-≦,0)及(0,+≦)上都是减函数,但在 x

(-≦,0)∪(0,+≦)上不是减函数,如取 x1=-1,x2=1,x1<x2,但 f(x1)>f(x2) 不成立.

3.当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的 单调增区间(减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如:函数y=x3-3x的单调增 区间有两个:(-≦,-1)和(1,+≦),不能写成(-≦,-1)∪(1,+≦). 4.函数一定存在值域,那么它一定存在最值吗? 提示:对一个函数来说,其值域是确定的, 但它不一定有最值,如函数

y=x3.如果函数有最值,其最值一定是值域中的一个元素.

知识梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) , 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) , 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是增函数 是减函数

定 义

图 象 描 述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的

(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或减函数,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值
前提 条件 结论 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (3)对于任意的x∈I, (1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M ; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M . (4)存在x0∈I,使得 f(x0)=M . M为最大值 M为最小值

【重要结论】 1. “对勾函数” y=x+
a (a>0)的增区间为(-∞,- a ]和[ a ,+∞);减区 x

间为[- a ,0)和(0, a ],且对勾函数为奇函数.

2.设任意 x1,x2∈[a,b],且 x1<x2,那么 (1)

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

>0?f(x)在[a,b]上是增函数;

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

<0?

f(x)在[a,b]上是减函数.
(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 3.若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b); 若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).

夯基自测
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( (A)y=3-x (C)y=-x2+4
1 (B)y= x

D

)

(D)y=|x|

解析:结合函数的图象易知选D.

2.函数 y=(2k+1)x+b 在 x∈R 上是减函数,则 k 的取值范围是( (A)(
1 ,+∞) 2

D )

(B)(-∞,

1 ) 2

1 1 (C)(- ,+∞) (D)(-∞,- ) 2 2

解析:由 2k+1<0 得 k<-

1 . 2

3.给出下列命题: ①函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间是(-∞,0]∪(0,+∞). ②若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数; ③函数y=|x|是R上的增函数; ④函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞); ⑤对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)

在D上是增函数.
⑥闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到. 其中正确的是( D )

(A)①②

(B)③④

(C)④⑤

(D)⑤⑥

解析:①错误.函数的单调递增区间应为(-≦,0]和(0,+≦). ②错误.对R上的特殊的-1<3,有f(-1)<f(3),f(x)在R上不一定为增函数. ③错误.函数y=|x|在(-≦,0)上是减函数,在(0,+≦)上是增函数. ④错误.[1,+≦)是单调递增区间的子集. ⑤正确. 若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则x1>x2

时,f(x1)>f(x2);x1<x2时,f(x1)<f(x2).
⑥正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即 最值在端点处取到.

4.函数 f(x)=

2x 在[1,2]上的最大值和最小值分别是 x ?1 2 x 2 ? x ? 1? ? 2 2 解析:f(x)= = =2在[1,2]上是增函数, x ?1 x ?1 x ?1

.

所以 f(x)max=f(2)=

4 ,f(x)min=f(1)=1. 3

答案:

4 ,1 3

5.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则
f(1)= .
?m m = =-2,即 m=-16, 8 8

解析:依题意,知函数图象的对称轴为 x=从而 f(x)=4x2+16x+5, f(1)=4+16+5=25.
答案:25

考点专项突破
考点一 函数单调性的判断
【例 1】 判断函数 f(x)=

在讲练中理解知识

ax (其中 a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x2 ? 1

解:法一 (定义法) 设-1<x1<x2<1,
2 ax1 x2 ? ax1 ? ax2 x12 ? ax2 a ? x2 ? x1 ?? x1 x2 ? 1? ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = = . 2 2 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

因为-1<x1<x2<1,
2 所以 x2-x1>0,x1x2+1>0,( x12 -1)( x 2 -1)>0.

因此当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

(教师备用)法二 (导数法) f′(x)=
a ? x 2 ? 1? ? 2ax 2

?x

2

? 1?

2

=

?a ? x 2 ? 1?

?x

2

? 1?

2

.

又 a>0, 所以 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

反思归纳 判断函数单调性的方法 (1)定义法:取值,作差,变形,定号,判断.

(2)利用复合函数关系:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复
合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数 为减函数,简称“同增异减”. (3)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.

【即时训练】 判断函数 f(x)=x+

a (a>0)在(0,+∞)上的单调性. x

解:法一 (定义法) 设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=(x1+
a x ?x a )-(x2+ )= 1 2 (x1x2-a). x1 x1 x2 x2

当 0<x1<x2≤ a 时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(0, a ]上是减函数; 当 a <x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在( a ,+≦)上是增函数.

(教师备用)法二 (导数法) 因为 f(x)=x+
a a ,所以 f′(x)=1- 2 . x x a 2 >0, 即 x >a,解得 x> a . 2 x a 2 <0, 即 x <a,解得 0<x< a . 2 x

由 f′(x)>0 得 1由 f′(x)<0 得 1-

所以 f(x)在(0, a ]上为减函数,在( a ,+≦)上为增函数.

考点二 求函数的单调区间

【例 2】 (1)函数 y=|x|(1-x)在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是( (A)(-∞,0) (C)[0,+∞)
1 (B)[0, ] 2

)

2 ? ? 1? 1 ?? ? x ? ? ? , x ? 0, 2 ? x 1 ? x , x ? 0, ? ? ? ? x ? x , x ? 0, 2? 4 ? ? ? ? 解析:(1)y=|x|(1-x)= ? =? 2 =? 2 ? 1? 1 ? x ? x, x ? 0 ?? ?? x ?1 ? x ? , x ? 0 ? ?? x ? 2 ? ? 4 , x ? 0. ? ??

(D)(

1 ,+∞) 2

画出函数的草图,如图. 由图易知原函数在[0,
1 ]上单调递增.故选 B. 2

(2)已知函数 f(x)= log 1 (x2-2x-3),则使 f(x)为减函数的区间是(
2

)

(A)(3,6) (B)(-1,0) (C)(1,2) (D)(-3,-1)
解析:(2)令 u=x2-2x-3>0,解得 x>3 或 x<-1. 又 u=x -2x-3 在(3,+≦)上单调递增,y= log 1 u 在(0,+≦)上单调递减,
2
2

所以函数 f(x)= log 1 (x2-2x-3)在(3,+≦)上单调递减.
2

故选 A.

反思归纳 再求单调区间.

求函数单调区间的常见方法:

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.

【即时训练】 (1)函数f(x)=|x-2|(x-4)的单调减区间是( (A)[1,2] (C)[0,2] (B)[-1,0] (D)[2,3]

)

2 ? ? x ? 6 x ? 8, x ? 2, 解析:(1)f(x)=|x-2|(x-4)= ? 2 ? ?? x ? 6 x ? 8, x ? 2.

结合函数图象知. 当 x∈[2,3]时,函数 f(x)递减.故选 D.

?1? (2)函数 y= ? ? ?3?

2 x 2 ? 3 x ?1

的单调递增区间为(
3 (B)(-∞, ] 4

)

(A)(1,+∞) (C)(
1 ,+∞) 2

(D)[

3 ,+∞) 4

解析:(2)令 u=2x2-3x+1=2(xu=2(x-

3 2 1 )- . 4 8

3 2 1 3 1 u ) - 在(-≦, ]上递减,函数 y=( ) 在 R 上递减. 4 8 4 3
2 x 2 ? 3 x ?1

?1? 所以 y= ? ? ?3?

在(-≦,

3 ]上递增.故选 B. 4

考点三

函数单调性的应用

考查角度 1:求函数的值域或最值.
?1 ? , x ? 1, 【例 3】 函数 f(x)= ? x 的最大值为 ?? x 2 ? 2, x ? 1 ?

.

解析:当 x≥1 时,函数 f(x)=

1 为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值, x
2

为 f(1)=1;当 x<1 时,易知函数 f(x)=-x +2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
答案:2

反思归纳

利用单调性求最值,一般先确定函数的单调性,然后再

由单调性求出最值.

考查角度 2:比较函数值的大小. 【例 4】 已知函数 f(x)=log2x+
1 ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1? x

)

(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0

解析:因为函数 f(x)=log2x+

1 在(1,+≦)上为增函数,且 f(2)=0, 1? x

所以当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+≦)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0.故选 B.

反思归纳

比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区

间内,然后利用函数的单调性求解.

考查角度3:利用函数的单调性解决不等式问题. 高考扫描:2014高考新课标全国卷Ⅱ,2015高考新课标全国卷Ⅱ 【例5】 (2014高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调 递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是 解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示. 因为f(x-1)>0, 所以|x-1|<2, 所以-2<x-1<2, 所以-1<x<3. .

答案:(-1,3)

反思归纳

在求解与抽象函数有关的不等式时,一般是利用函数

的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特 别注意函数的定义域.

考查角度 4:利用函数的单调性求参数值(或范围).
? ?? 3a ? 1? x ? 4a, x ? 1, 【例 6】 已知函数 f(x)= ? 满足对任意的实数 x1≠x2 都有 log x , x ? 1 ? ? a

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

<0 成立,则实数 a 的取值范围为(
1 (B)(0, ) 3

)

(A)(0,1) (C)[
1 1 , ) 7 3

(D)[

1 ,1) 7

解析:依题意,函数 f(x)为 R 上的单调递减函数,
?3a ? 1 ? 0, ? 所以 ?0 ? a ? 1, ? 3a ? 1 ? 1 ? 4a ? log 1, ? a ??

解得

1 1 ≤a< .故选 C. 7 3

反思归纳

利用单调性求参数.①视参数为已知数,依据函数的

图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参 数;②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任 意子集上也是单调的.

考点四

确定函数的最值(值域)
1 1 1 1 - 在[ ,2]上的值域是[ ,2],则实数 a a x 2 2

【例 7】 (1)若函数 f(x)= 的值为 ;

(2)函数 y= x -x(x≥0)的最大值为 ; 1 1 解析:(1)因为函数 f(x)在区间[ ,2]上是增函数,值域为[ ,2], 2 2

1 ?1 ? 2 ? , ? 1 1 2 ?a 2 所以 f( )= ,f(2)=2,即 ? 解得 a= . 2 2 5 ? 1 ? 1 ? 2, ? ?a 2 2 1 1 ? ? 1 2 (2)令 t= x 则 t≥0,所以 y=t-t =- ? t ? ? + , 结合图象知,当 t= , 2 ? 2? 4

即 x=

1 1 时,ymax= . 4 4 2 1 答案:(1) (2) 5 4

x2 ? 8 (3)函数 f(x)= (x>1)的最小值为 x ?1

.

解析:(3)法一 基本不等式法:
x2 ? 8 f(x)= = x ?1

? x ? 1?

2

? 2 ? x ? 1? ? 9 x ?1

=(x-1)+

9 +2≥ x ?1

2

? x ? 1? ?

9 +2=8, x ?1
9 ,即 x=4 时,f(x)min=8. x ?1

当且仅当 x-1=

(教师备用)法二 导数法:f



? x ? 4 ?? x ? 2 ? (x)= , 2 ? x ? 1?

令 f′(x)=0,得 x=4 或 x=-2(舍去). 当 1<x<4 时,f′(x)<0,f(x)在(1,4)上递减; 当 x>4 时,f′(x)>0,f(x)在(4,+≦)上递增, 所以 f(x)在 x=4 处达到最小值, 即 f(x)min=f(4)=8.
答案:(3)8

反思归纳 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型 (1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域). (2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点, 求出最值(值域). (3)基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次的函数结构 以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具 备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域). (4)导数法:若f(x)是三次、分式以及含ex,ln x,sin x,cos x结构的函数 且f′(x)可求,可用导数法求函数的最值(值域).

(5)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某
种,再求解. 用换元法时,一定要注意新“元”的范围.

? ? f ? x?, f ? x? ? k, 【例 1】 设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 k,fk(x)= ? ? ?k , f ? x ? ? k .

备选例题

取函数 f(x)=2 ,当 k= (A)(-∞,0) (C)(-∞,-1)

-|x|

1 时,函数 fk(x)的单调递增区间为( 2

)

(B)(0,+∞)

(D)(1,+∞) 1 1 解析:由 f(x)> ,得-1<x<1,由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 2
? 2 ? x , x ? 1, ? ?1 所以 f 1 (x)= ? , ?1 ? x ? 1, ?2 2 x ? ? 2 , x ? ?1.

其函数图象如图所示. 故函数 f 1 (x)的单调递增区间为(-≦,-1).故选 C.
2

【例2】 若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)<f(m2)的实数m的取值范 围是 . 解析:因为f(x)为R上的增函数,且f(2-m)<f(m2),

所以2-m<m2,
所以m2+m-2>0, 解得m>1或m<-2,

即实数m的取值范围是(-≦,-2)∪(1,+≦).
答案: (-∞,-2)∪(1,+∞)

易混易错辨析

用心练就一双慧眼
分段函数的单调性问题

?a x , x ? 1, ? 【典例】 (2016 金华模拟)f(x)= ?? 是 R 上的单调递增函 a? ?? 4 ? 2 ? x ? 2, x ? 1 ? ??

数,则实数 a 的取值范围是( (A)(1,+∞) (C)(4,8) (B)[4,8) (D)(1,8)

)

解析:因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,
? ?a ? 1, ? a ? 所以 ?4 ? ? 0, 2 ? ?? a? 1 4 ? ?? ? ?1 ? 2 ? a , 2? ??

解得 4≤a<8.故选 B.

易错提醒:解答此类题目易忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大

小比较而导致实数a的范围扩大.


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