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离散型随机变量的分布列


离散型随机变量的分布列
一、复习引入: 1.随机变量: 如果随机试验的结果可以用一个确定的值来表示, 那么这样的变量叫做随机变量 随 机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示 2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序列举出来,这样的随机变量叫做离 散型随机变量 3.根据某个选手在一段时间的成绩,可以列出下表:
王新敞
奎屯 新疆

>
王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

命中环数 X

0 0

1 0

2 0.01

3 0.01

4 0.02

5 0.02

6 0.06

7 0.09

8 0.28

9 0.29

10 0.22

概率 p

求: (1)该选手命中 10 环的概率 p ? x ? 10? ; (2)没有命中 10 环的概率 p ? x ? 10? ; (3)命中环数超过 7 的概率 p ? x ? 7 ? 。 (4)你还能提出其他的问题吗? 二、讲解新课: 1. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,? xn , ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?n)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ξ

x1 P1

x2 P2

? ?

xn
pn

P

为随机变量 ξ 的概率分布,或称离散型随机变量的分布列. 2. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P ( A) ? 1 ,并且不可能事件的概率 为 0,必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: ⑴ ; (2) ; 三、例题讲解: 例:掷一颗骰子,所掷出的点数为随机变量 X: (1) 求 X 的分布列; (2) 求“点数大于 4”的概率; (3) 求“点数不超过 5”的概率。
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练习
1.一个袋子中有 6 个红球和 4 个白球,它们除了颜色外,其他地方没有差别, 采用无放回的方式从袋中任取 3 个球,取到白球数目用 ξ 表示 。 ( 1 )求离散型随机变量 ξ 的概率分布;( 2 )求 P (ξ≥2 ) (3)指出 ξ 的概率分布是什么样的概率分布?

2.100 件产品中,有 3 件次品,每次取 1 件,有放回地抽取 3 次。 ( 1 )求次品数 ξ 的概率分布; (2)指出 ξ 的概率分布是什么样的概率分布?
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离散型随机变量的二项分布
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在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生, 在 n 次独立重复试 验中这个事件发生的次数 X 是一个随机变量. 如果在一次试验中某事件发生的概率 是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k n ?k Pn ( X ? k ) ? Cn p q ,(k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p ).

于是得到随机变量 X 的概率分布如下:

X P

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

… …

k
k k n?k Cn p q

… …

n
n n 0 Cn p q

称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~ B( n, p )

例:设随机变量 ξ 服从二项分布 B(6,0.5),则 P(ξ =3)=



例:重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ξ ,求 P(ξ >3).

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直方图与频率分布
1、频数:在某个范围内数据出现的次数。 2、频率:某一数据在某个范围出现频率计算方法是频数除以数据的总数(即样本容 量)。 3、极差=最大值-最小值,极差又称为全距。组数=
极差 组距

4、抽样是为了从样本中获取信息,来估计总体的一些性质和特点,但是面对杂乱无 章的数据,我们无法直接看出原始数据包含的更多信息。在例子中我们可以直接获取
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下列信息:①女生身高的最小值 146cm。②女生身高的最大值 169cm。③女生身高在 146cm —169cm 之间。除此之外,很难发现其它有用信息。因此需要借助图表和计算来 分析数据,帮助我们找出规律,把信息转化成直观的易理解的形式。我们就需要学习 用频率分布表、频率分布直方图来分析数据,并对总体作出相应的估计。 例:女生身体健康问题抽样 70 名女生身高数据,画频率分布图。 167 159 160 158 162 158 162 1、求极差 极差=最大值-最小值=169-146=23 2、分组 组数=
23 2 极差 = ?7 ?8 3 3 组距

154 156 156 158 162 160 162

159 166 166 153 159 165 159

166 160 160 158 154 158 157

169 164 164 164 165 163 159

159 160 160 158 166 163 149

156 157 157 163 157 162 164

166 156 156 158 151 161 168

162 157 157 153 146 154 159

158 161 161 157 151 165 153

3、决定分点 [146,149) [158,161) 4、列频率分布表 分组 [146,149) [149,152) [152,155) [155,158) 频数 2 2 6 20 频率 0.028571 0.028571 0.085714 0.285714 频率/组距 0.009524 0.009524 0.028571 0.095238 [149,152) [161,164) [152,155) [164,167) [155,158) [167,170)

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[158,161) [161,164) [164,167) [167,170) 5、绘制频率分布直方图

16 13 9 2

0.228571 0.185714 0.128571 0.028571

0.07619 0.061905 0.042857 0.009524

女生身高频率直方图
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

14 9)

15 2)

15 5)

15 8)

16 1)

16 4)

16 7) 64 , [1

46 ,

49 ,

52 ,

55 ,

58 ,

61 ,

[1

[1

[1

[1

[1

[1

身高(cm)

总体、样本及抽样方法
1.总体:被研究的对象的全体。组成总体的每个对象叫做个体。 2.样本:从总体中抽取一部分个体,形成一个样本。样本中所包含的个体的数目叫做样

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[1

67 ,

17 0)

频率/组距

本容量。 3.抽样方法:用样本估计总体时,为了使样本尽量客观公正地反映总体,抽取的样本必 须具有代表性,应遵循总体中的每一个个体有同等的机会被抽出的原则。在抽取样本时 要针对问题选择适当的抽样方法 (1)简单随机抽样:抽签法、随机数表法等。 (2)系统抽样:当总体中个体数较多,且每个个体被抽到的概率相等时,经常采用系统 抽象方法。将总体中的个体进行编号并将总体分成均等的几部分,按照简单随机抽样抽 取第一个样本,然后按照相同的“间隔”抽取其他样本。 (3)分层抽样:当总体是由有明显属性特征的若干部分组成时,可将总体按其属性特征 分成若干部分(分层),然后按各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫做分层抽样。 对每一层进行抽样使,可采用简单随机抽样或系统抽样。

例:一个单位有 500 名职工,其中不到 35 岁的有 125 人,35-49 岁的有 280 人,50 岁 以上的有 95 人,为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取 100 名职 工为样本,应采用什么抽样方法进行抽取?

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例:对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本,若每个零件被抽取到的概率为 0.25,则 N 为多少?

练习: 1.某中学有学生 500 人,一年级 200 人,二年级 160 人,三年级 140 人,用分层抽样法 从中抽取 50 人,则各年级分别抽取的人数为多少?

2.红星中学共有学生 800 人,一年级 300 人,二年级 260 人,三年级 240 人。现要了解 全校的健康状况,从中抽取 200 人参加体检,应采用什么抽样方法进行抽取?

均值与标准差
均值显示数据的集中趋势,标准差显示数据的离散程度。 1. n 个数的算术平均数,简称均值,记作 x 。
x=
-

1 ( x1 + x2 + x3 + n

+ xn ) =

1 n ? xi n i =1
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x =x1 ?

-

f1 f x2 ? 2 n n

x3 ?

f3 n

+ xn ?

fn n

?
2

n

i =1

xi

fi n

2. 标准差
骣 1 轾 犏 x1 - x 方差: S = 琪 n- 1犏 桫 臌
2 2

骣 +琪 x2 - x 桫

骣 +…+ 琪 xn - x 桫
2

2

骣 x1 - x 琪 桫 标准差: S =

2

骣 - 2 骣 +琪 x2 - x +…+ 琪 xn - x 桫 桫 n- 1

标准差可以用来用来衡量一组数据的波动大小,标准差越小,说明这组数据波动 越小,反映事物的稳定性越好。

例:计算下列 10 个学生的数学成绩分数的均值与标准差。 83 86 85 89 80 84 85 89 79 80

练习: 1.样本数据:95,96,97,98,99 的标准差是什么?

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2.甲、乙二人在相同条件下各射击 5 次,各次命中的环数如下: 甲:7 乙:9 8 5 6 7 8 6 6 8 ( ) D.无法比较稳定性

则就二人射击的技术状况来看 A.甲比乙稳定

B.乙比甲稳定 C.甲乙一样稳定

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3.为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参赛,对他们的射击水平进行了测验, 两人在相同条件下各射击 10 次,所得环数如下: 甲:7 乙:9 8 5 6 7 8 6 5 8 7 8 9 6 10 6 7 4

7 7

应选谁参加比赛,为什么?

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