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高中数学必修1综合复习课件1


必修1复 习

第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用

集合知识结构
集合

含义与表示

基本关系

基本运算

列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集

交集 补集

一、集合的含义与表示
(一)集合的含义 1、集合:把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合 2、元素与集合的关系: ? 或 ? 3、元素的特性:确定性、互异性、无序性

4、常用数集:N 、N、Z、Q、R

?

(二)集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,并
放在{ }内

2、描述法:用文字或公式等描述出元素的特性,
并放在{x| }内

3.图示法

Venn图

二、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素,我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个,则其子集个数为 真子集个数为

2n

2n-1 非空真子集个数为 2n-2

2、集合相等: A ? B, B ? A ? A ? B 3、空集:规定空集是任何集合的子集,是任
何非空集合的真子集

三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A ? B ? {x | x ? A或x ? B}
2、A ? B ? {x | x ? A且x ? B}
A B

3、CU A ? {x | x ? U且x ? A}

全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示

题型示例
考查集合的含义

例1 已知x ?{1, 2, x }, 则x ? 0或2
2

例2

A ? y y ? x ,B ? x y ? x ,
2 2

?

?

?

?

求A ? B.

? A ? [0, ??), B ? R, ? A ? B ? [0, ??).

考查集合之间的关系

例3 设A ? ? x | x ? x ? 6 ? 0? , B ? ? x | mx ? 1 ? 0? ,
2

且A ? B ? A, 求m的值的集合.
解: ? 2, ?3? , A ?A B? ?? A ?当 mA? 时, ? ?0 B ? B B ? ?, 符合题意; 当m ? 0时,B ? ?? ? , B ? A ? m? 1 1 1 1 ?? ? 2, 则m ? ? ;或- ? ?3, m ? . m 2 m 3 1 1 ? m ? 0, 或 ? , 或 2 3
?B? A 转化的思想 ? 1?

考查集合的运算
例4 已知 I ? ?0,1, 2,3, 4? , A ? ?0,1, 2,3? , B= ?2,3? 求CI B ,CA B

例5 设U ? ?1, 2,3, 4,5? , 若A ? B ? ?2? , (CU A) ? B ? ?4? , (CU A) ? (CU B) ? ?1,5? , 求A.
U
3 5

1

A

3 2 4

B

例6 已知集合A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? k ? 0}, (1)若A ? B ? ?, 求k的取值范围 (2)若A ? B ? A, 求k的取值范围
k

-1

k

2

k

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函数知识结构
函数的概念 函数 函数的基本性质 函数的单调性

函数的最值

函数的奇偶性

一、函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的

函数。记作y ? f(x),x ? A

值域与集 在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应, 合B的关 那么就称f:A ? B为从集合A到集合B的一个 系
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的

思考:函数 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数 x,

定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函 数值的集合? f ( x) x ? A? 叫做函数的值域。

(一)函数的定义域 1、具体函数的定义域
例7 求下列函数的定义域

4? x ( x ? 4) 1) f ( x) ? ? x ?1 log 2 ( x ? 1)
3 0

x?0 ?x 2) f ( x) ? ? x?0 ?? x

2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域
?1 ? 2x ?1 ? 3,?1 ? x ? 2,函数的定义域为?x |1 ? x ? 2?.

2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
?0 ? x ? 1 ? 5, ?1 ? x ? 6, ?? ?? ?1 ? x ? 4, ?0 ? x ? 1 ? 5, ??1 ? x ? 4, 函数的定义域为? x |1 ? x ? 4? .

例8 若f ( x) ? lg(ax ? 4ax ? 3)的定义域为R
2

求实数a的取值范围。
当a ? 0时,函数的定义域为R; ?a ? 0, 当? 时,函数的定义域也为R. 2 ?? ? 16a ? 12a ? 0 3 ?函数的定义域为R,a的取值范围是0 ? a ? . 4

(二)二次函数给定区间值域问题
例9 已知函数 y ? 2x2 ? 4x ? 3, 求x ???3,4?时的值域

x ?? ?3, 2?

x ?? 2, 4?

二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法

例10 (1)已知f ( x) ? x ? 4 x ? 3, 求f ( x ? 1)
2

(2)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求f ( x)
2

?x2 ? 3 x?0 ? (3)已知f ( x) ? ? 1 x ? 0 ,求f [ f (?4)] ?x ? 4 x?0 ? ?x ?1 x ? 0 2 (4)已知f ( x) ? x ? 1,g ( x) ? ? x?0 ?2 ? x
求f [ g ( x)]与g[ f ( x)]
(3)1 (4)
2 ? ( x ? 1) ? 1, x ? 0, ? f ( g ( x)) ? ? 2 (2 ? x ) ? 1, x ? 0. ? ? 2 ? ? x ? 2, ? 1 ? x ? 1, g ( f ( x)) ? ? 2 3 ? x , x ? ?1或x ? 1. ? ?

4.映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对 应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的 一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一

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三、函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。

用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元,设x1,x2是区间上任意两个实数,且x1<x2;

(2) 作差, f(x1)-f(x2) ;
(3)变形,通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号, 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (5)下结论.

【例】 写出常见函数的单调区间并指明是增区间还是减区间
a y ? (a ? 0) 的单调区间是 1、函数 x a ? 0时, 单减区间是(??,0),(0, ??)

a ? 0时, 单减区间是(??,0),(0, ??)

2、函数y=ax+b(a≠0)的单调区间是
a ? 0时, 单增区间是(??, ??) a ? 0时, 单减区间是(??, ??)

3、函数y=ax2+bx+c (a≠0)的单调区间是
b b a ? 0时, 单减区间是(??, ? ], 单增区间是[? , ??) 2a 2a b b a ? 0时, 单增区间是(??, ? ], 单减区间是[? , ??) 2a 2a

例11 求函数y ? log 2 ( x -2x)
2

的单调减区间并用定义证明.
函数的定义域为(-?,)( 0 ? 2, +?), 设t ? x 2 ? 2 x , ?当x ? (??, 0)时,t是x的减函数, 又y ? log 2 t是t的增函数, ?当x ? (??, 0)时,y ? log 2 ( x 2 ? 2 x)是减函数; 同理可知,当x ? (2, ??)时,y ? log 2 ( x 2 ? 2 x)是增函数. ?函数y ? log 2 ( x 2 ? 2 x)的减区间是(-?,0).

2x+1, (x≥1)
1. 函数f (x)= 4-x, (x<1) 则f (x)的递减区间为( B )

你知道函 数的最 值吗?

A. [1, +∞)

B. (-∞, 1)

C. (0, +∞) D. (-∞, 0] 2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞) 上是增函数,则实数a的取值范围是( C)
A、a ? 3,B、a ? ?3,C、a ? ?3,D、a ? 5

四、函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 2.偶函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? f ( x) 3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.

注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域区间是否关于原点对称!

奇(偶)函数的一些特征
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0. 2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不 改变单调性. 3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改
变单调性

例12 判断下列函数的奇偶性

(1) f ?x ? ? x ? 1 ? x ? 1

3 (2) f ?x ? ? 2 x

1 (3) f ?x ? ? x ? x
2

(4) f ?x ? ? x , x ? ?? 2,3?

例13 已知f ? x ? 是R上的奇函数, 且当x ? 0时,f ? x ? ? x(1 ? x), ()求 1 f ( x); (2)求x ? 0时,f ( x)表达式 ; (3)求 f ( x).

例14

f ? x ? 是定义在 ? ?11 , ? 上的减函数,

若f ? 2 ? a ? ? f ? 3 ? a ? ? 0, 求a的取值范围

例15 已知f ? x ? 是定义在区间? ?11 , ? 上的 奇函数,在区间? 0, 1? 上是减函数,且 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? 2a ? ? 0, 求实数a的取值范围.


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