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广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学(理)试题 Word版含答案


佛山市普通高中 2014 届高三教学质量检测(一) 数学理试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要 求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式:① 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ② 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 y ? lg x 的定义域为 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A A. ? 0, ??? B. ?0,1?

?

?

B?
D. ?0,1?

C. ? 0,1?

2 2.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 3 ? ? m ? 1? i 是纯虚数,则实数 m ?

?

?

A.?3

B.?3 或 1

3 或 ?1 C.

1 D.

3.设函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的最小正周期为 T ,最大值为 A ,则 A . T ?? , A? 2 D. T ? 2? , A ? 2 4.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1 所示,其中俯视图是 中心角为 60 ? 的扇形,则该几何体的体积为 A. B. T ? ? , A ? 2 C . T ? 2? , A ? 2

? 3

B.

2? 3

C. ?

D. 2?

2 5.给定命题 p :若 x ? 0 ,则 x ? 0 ;

命题 q :已知非零向量 a, b, 则 “ a ? b ”是“ a ? b = a ? b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是 A. p ? q C. ? ?p ? ? q B.

? ?p ? ? q

图1

D. ? ?p ? ? ? ?q ?
-1-

6.已知函数 f ? x ? ? ? A.[?1, 0)

? x 2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

.若 f (?a) ? f ? a ? ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是 C.??1,1? D.? ?2, 2?

B.?0,1?

7.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 22 ,则输出的 s 的值为 A. 232 B. 211 C. 210 D. 191

8.将 n2 个正整数 1 、 2 、 3 、…、 n2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的 比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n ? 2 时, 数表 b

的所有可能的“特征值”最大值为 A. 3 C. 2 B.

4 3 3 D. 2

图2

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知乙层 中每个个体被抽到的概率都为

1 ,则总体中的个体数为 9

.

10. 不等式 x ? 3 ? 2x ?1 的解集为_________. 11.若 ( x ? 1) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 则a0 ? a2 ? a4 的值为_______. 12.设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

y2 x2 y 2 ? 1的两个焦点, P 是双曲线与椭圆 ? ? 1 的一个公共 24 49 24

点,则 ?PF1 F2 的面积等于_________.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.如果实数 x、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若直线 x ? ky ? 1 ? 0 将可行域分成面积相等的两部 ?x ? 1 ?
分,则实数 k 的值为______. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程 )在极坐标系中,设曲线 C1 : ? cos? ? 1与 C2 : ? ? 4cos? 的交点分别 为 A 、 B ,则 AB ? .
-2-

C

B A

O

D

15.(几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC , 已知 AD ? 3 , AC ? 3 3 ,圆 O 的半径为 5 ,则圆心 O 到 AC 的距离为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (Ⅰ) 求 cos B 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin ? 2x ? B ? ,求 f ?

3 b,B ?C. 2

?? ? ? 的值. ?6?

排球队

篮球队

17.(本题满分 12 分) 佛山某中学高三 (1) 班排球队和篮球队各有 10 名同学 , 现测得排球队 10 人的身高 ( 单 位: cm )分别是: 162 、170 、171 、182 、163 、158 、179 、168 、183 、168 ,篮球队 10 人的身高(单位: cm )分别是: 170 、159 、162 、173 、181 、165 、176 、168 、178 、179 . (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图 4 所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较 小(无需计算); (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过 170 cm 的队员中各抽取一人 做代表,设抽取的两人中身高超过 178 cm 的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 18.(本题满分 14 分) 如图 5 , 矩形 ABCD 中 , AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F 分别为 CD 、 AB 边上的点 , 且
图4

DE ? 3 , BF ? 4 ,将 ?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、EF 、PF ,
其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ)求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值. E

D

. . F

C D A B
图6

P C F B

E

A
图5

19.(本题满分 14 分) 如 图 7 所 示 , 已 知 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 ? ?1,0 ? 、 F2 ?1,0? , 且 F2 到 直 线

x ? 3 y ? 9 ? 0 的距离等于椭圆的短轴长.
-3-

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若圆 P 的圆心为 P ? 0, t ? ( t ? 0 ),且经过 F F2 , Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外, 1、 过 Q 作圆 P 的切线,切点为 M ,当 QM 的最大值为

3 2 时,求 t 的值. 2

y

F1

.

O

F2

.

x

图7

20.(本题满分 14 分) 数列 ?an ? 、?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、

an ?1 、 bn ?1 成等比数列, n ? 1, 2,3,
(Ⅰ)求 a2 、 b2 的值;

.

(Ⅱ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 ? ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1

?

1 2 ? . an ? 1 7

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ?

1 ln x . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的极值点; (Ⅲ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

?

?

-4-

2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案

1
C

2
A

3
B

4
D

5
D

6
C

7
B

8
D

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

180 9.

10. ??

? 2 ? ,4? ? 3 ?

8 11.

12.24

13.

1 3

14. 2 3

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ) 因为 B ? C ,所以

c ? b ,……………………………………………………………………2 分
又a ? 所以

3 b, 2

3 2 b a 2 ? c2 ? b2 3 cos B ? ? 4 2 ? ,………………………………………………………… 2ac 4 3b
…………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

sin B ? 1 ? cos 2 B ?
分 所以

13 ,……………………………………………………………… 7 4

? ? ?? ? ?? ? f ? ? ? sin ? ? B ? ? sin cos B ? cos sin B ……………………………………… 3 3 ?6? ?3 ?
………10 分

?
……………12 分

3 3 1 13 3 ? 13 ? ? ? ? . …………………………………………… 2 4 2 4 8

17.(本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4 分 (Ⅱ)排球队中超过 170 cm 的有 4 人,超过 178 cm 的有 3 人, 篮球队中超过 170 cm 的有 5 人,超过 178 cm 的有 2 人, 所以 X 的所有可能取值为 0,1,2 则……………………6 分
1 1 1 1 1 1 C1 C3 C1 C 2 ? C3 C3 11 3 , , ? ? P X ? 1 ? ? ? 1 1 1 1 20 C4 C5 20 C 4 C5

排球队

篮球队

3 2 18

1

9 1 0 17
8 8 3 2 16 8 15

0 3 6 8 9
2 5 8 9

P( X ? 0) ?

-5-

1 1 C3 C 6 ,…………………………………………………………………… ? P ? X ? 2? ? 1 2 1 C4 C5 20

…………10 分 所以 X 的分布列为

X
P

0

3 20

1 11 20

2 6 20

所以 X 的数学期望

EX ? 0 ?

3 11 6 23 ? 1? ? 2? ? .……………………………………………12 分 20 20 20 20

18.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 , 在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB ,所以
2 2 2

PF ? BF ………………………………………2 分
在图 1 中,易得 EF ? 6 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,
2 2

在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE ,所以
2 2 2

PF ? EF ………………………………………4 分 又 BF EF ? F , BF ? 平 面 ABED , EF ? 平 面 ABED , 所 以 PF ? 平 面 ABED . ………………6 分
z D A x P D A P C H F
解法二图

E F
解法一图

C y B

E B

( Ⅱ ) 方 法 一 : 以 D 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz 如 图 所 示 , 则

A? 6,0,0? , P 6,8, 2 5 ,

?

?

E ? 0,3,0? , F ? 6,8,0? ,所以
AP ? 0,8, 2 5 , FP ? 0, 0, 2 5 , EF ? ? 6,5,0 ? , …………8 分
设 平 面 PEF 的 法 向 量 为 n ? ? x, y, z ? , 则 ?

?

?

?

?

? ?n ? FP ? 0 ? ?n ? EF ? 0

,即 ?

? ?2 5 ? z ? 0 ,解得 6 x ? 5 y ? 0 ? ?

-6-

5 ? ?x ? ? y 6 ? ? ?z ? 0 令 y ? ?6 ,得

n ? ?5, ?6,0? ,……………………………………………………………………………… 12
分 设直线 AP 与平面 PEF 所成角为 ? ,则 sin ? ? 所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为

AP ? n AP n

?

8 1281 48 . ? 427 84 ? 61

8 1281 . ………………………………………………14 分 427 方法二:过点 A 作 AH ? EF 于 H , 由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,而 AH ? 平面 ABED 所以 PF ? AH ,又 EF PF ? F , EF ? 平面 PEF , PF ? 平面 PEF , 所以 AH ? 平面 PEF , 所以 ?APH 为直线 AP 与平面 PEF 所成的
角. ………………………………………………………9 分 在 Rt?APF 中, AP ? 分 在 ?AEF 中,由等面积公式得

AF 2 ? PF 2 ? 64 ? 20 ? 2 21

…………………………………………11

AH ?

AF ? AD 48 ? …………………………………………………13 分 EF 61

在 Rt?APH 中, sin ?APH ?

AH 16 3 8 1281 ? ? ? AP 427 61 2 21

所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为

8 1281 . ………………………………………………14 分 427

19.(本题满分 14 分) 【 解析 】 ( Ⅰ ) 设椭圆的方程为

1? 9 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), 依题意 , 2b ? ? 4 ,所以 2 a b 2

b ? 2 …………2 分
又 c ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 5 ,所以椭圆 C 的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………5 分 5 4
-7-

(Ⅱ) 设 Q ? x, y ? (其中

x2 y 2 ? ? 1 ), ……………………………………………………………………6 分 5 4 圆 P 的方程为
x 2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 , ……………………………………………………………………… 7
2

分 因为 PM ? QM , 所以

QM ?
………9 分

PQ ? t 2 ? 1 ? x 2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 ? ?
2 2

1 2 ? y ? 4t ? ? 4 ? 4t 2 …………… 4

当 ?4t ? ?2 即 t ? 且 QM 去).

1 时,当 y ? ?2 时, QM 取得最大值, 2

max

? 4t ? 3 ?

3 1 3 2 ,解得 t ? ? (舍 8 2 2

………………………………………………11 分

当 ?4t ? ?2 即 0 ? t ? 且 QM

1 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, 2

max

? 4 ? 4t 2 ?

1 1 3 2 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? ,所以 2 8 2

t?

2 .………………………………13 分 4
综上,当 t ?

2 时, QM 的最大值为 4

3 2 . ……………………………………………………………14 分 2
20.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 . …………………………………………………1 分
2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?
2 a2 ? 36 . b1

…………………………………………………………………2 分 (Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①. ………………………………………3 分
2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an?1 ? bnbn?1 …②. …………………………………4 分 于是当 n ? 2 时, an ? bn?1bn …③.
-8-

…………………………………………………………………5 分 将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn?1 ? bn?1 ,因此数列 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? .
2

? b ? 是首项为 4,公差为 2
n

…………………………………………………6 分 由③式,可得当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? .
2

…………………………………7 分 当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有

an ? 4n ? n ? 1? .…………………………8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为

1 1 1 1 2 ? ? ?L ? 2 ? .…………………………9 分 7 23 47 4n ? 4n ? 1 7 2? 1 1 ? ? ? ? 方法一:首先证明 2 1 ? ( n ? 2 ). 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ?

因为
1 2? 1 1 ? 1 2 ? ? ? ? 2 ? 7n 2 ? 7n ? 8n 2 ? 8n ? 2 ?? 2 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n
2

? n2 ? n ? 2 ? 0 ? ? n ? 1?? n ? 2? ? 0 ,

所以当 n ? 2 时,
1 1 1 1 2 ?? 1 1 ? 1 ?? 1 2 1 2 ?1 ? ?L ? 2 ? ? ? ? ? ?L ? ? ? ? ? ? ? ? . 7 23 4n ? 4n ? 1 7 7 ? 2 3 n n ? 1 ?? ? ? ?? ? 7 7 2 7

…12 分

当 n ? 1 时, 1 ? 2 .
7 7

……………………………………………………………… ……13 分 综上所述,对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ……………………………14 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7
方法二:



1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 4 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
2

当 n ? 3 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1
1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 4 ?? 5 9 ? ? 7 11 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? ?

?

-9-

?

1 1 1?1 1? 1 1 1 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? . 7 23 4 ? 5 7 ? 7 14 14 7

……………………………………………………12 分 当 n ? 1 时,

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7

…………………………………………13 分 综上所述,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ……………………………14 分 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7
方法三:

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?. 4n2 ? 4n ? 1 4n2 ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

当 n ? 4 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1
? 1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 47 2 ?? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? . 7 23 47 14 7 ……………………………………………………12 分

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? ;当 n ? 3 时, 7 7 7 23 7 7 7 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? . 7 23 47 7 14 14 7 综上所述,对一切正整数 n ,有
当 n ? 1 时,

……13 分

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? ……………………………14 分 21.(本题满分 14 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7
分) 【解析】 f ? x ? 的定义域为

? 0, ?? ? .……………………………………………………………………………1 分
(Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? ln x ,此时 f ?1? ? 2 . 因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

1 2

1 5 5 ,所以 f ? ?1? ? ,所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 2x 2 2 1 2

5 x ? 2 y ? 1 ? 0 . …3 分
(Ⅱ)由于 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , x ? ? 0, ?? ? . ⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

1 2

1 4 x 2 ? 2ax ? 1 ? , 2x 2x

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) , 4 4

且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
- 10 -

所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ??? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为

x?

?a ? a 2 ? 4 . …5 分 4

1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ?a ? ? 2 ⑵ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? . ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ?a ? 2 ?
① 当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ?

4 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 2x

x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? ? ?a (舍去). 4 4
2 ?a ? a 2 ? 4 ? ?a ,即 a ? ? ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?a, ?? ? 上单调递增; 2 4

若 若

2 ?a ? a 2 ? 4 ? a? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? ? ?a , 即? 2 4

时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ? ?a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ??? 上单调递 增. ……………………………………7 分 ② 当 0 ? x ? ? a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ?

1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 ? . 2x 2x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a 2 ? 16 , 若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减; 若 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x4 ? 且 4 4

0 ? x3 ? x4 ? ?a ,
当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?x 4 , ? a ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ?a ? 上单调递 减. ………………9 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ?

?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 4

x?

?a ? a 2 ? 4 ; 4
2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 2

当 ?2 ? a ? ? 当a ? ?

2 时, f ? x ? 的极小值点为 2

x?

?a ? a 2 ? 4 .…………………………………………………10 分 4

(Ⅲ)函数 f ? x ? 的定义域为 x ? ? 0, ?? ? .由 f ? x ? ? 0 ,可得 x ? a ?
- 11 -

ln x …(*) 2x

(ⅰ)当 x ? ? 0,1? 时, (ⅱ)当 x ? 1 时,

ln x ? 0 , x ? a ? 0 ,不等式(*)恒成立; 2x

ln x ? 0 ,即 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 ; 2x ln x ln x (ⅲ)当 x ? 1 时,不等式(*)恒成立等价于 a ? ? x ? 恒成立或 a ? ? x ? 恒成立. 2x 2x ? x 2 ? 1 ? ln x ln x 令 g ? x? ? ?x ? ,则 g ? ? x ? ? .令 ? ? x ? ? ? x2 ? 1 ? ln x ,则 2x2 2x
1 1 ? 2x2 ? ? ? x ? ? ?2 x ? ? ?0, x x
而 ? ?1? ? ?12 ? 1 ? ln1 ? ?2 ? 0 ,所以 ? ? x ? ? ? x2 ? 1 ? ln x ? 0 ,即

g?? x? ?

? x 2 ? 1 ? ln x ? 0, 2 x2

因此 g ? x ? ? ? x ? 所以 a ? ? x ?

ln x 在 ?1, ?? ? 上是减函数,所以 g ? x ? 在 x ? ?1, ??? 上无最小值, 2x

ln x 不可能恒成立. 2x
1 ? ln x ?2 x 2 ? 1 ? ln x ln x ? ? 0 ,因此 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 ,则 h? ? x ? ? ?1 ? 2x2 2x2 2x

令 h ? x? ? ?x ? 是减函数,

所以 h ? x ? ? h ?1? ? ?1 ,所以 a ? ?1 .又因为 a ? ?1 ,所以 a ? ?1 . 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是

? ?1, ??? .…………………………………………………………14 分

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