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简化解析几何运算的几种数学思想


2   中学数学教与学( 高中读本)  
MAT H S TEAfi l i N G AND  LE蠊  f  } G l N  Hl 6H SCH OOL 

【 解题研究 】  

简 化 解 析 几 何 运 算 的 几 种 数 学 思 想 
代 学奎 
【 原文 出处】 《 高考》 : 理科 版( 长春 ) , 2 0 o 8 . 1 1 . 5 0 ~ 5 2  
培养 求简意识 不仅 是 正确 、 迅 速 地解 题 的需 要  和保证 , 而且是 优化思维 品质 、 提 高创新能力 的有 效  题, 减少 了运算 量 , 简化 了运算过程 

【 例2 】   已知有 向线 段 P Q  
的起 点 P和 终点 Q的坐 标 分别  是 P(一1 , 1 ) 和 Q( 2, 2 ) , 若 直线  L : x+m y+m=0与线 段 P Q的 

途径. 本文主要介 绍简 化解 析 几何 运算 的几种 数 学 
思想.  




极端思想 

通过考察 问题 的极端 元 素 , 灵 活地 借助 极 限状  态解 题 , 则 可以避开抽 象及复杂 的运算 , 优化解 题过 

延长线 相交 , 求 m的取值 范围.  
解析 若 m =0 , 则直线 L :  =0与 线段 P p相 
交, 不 合 题 意.  
故 m≠0, 此 时  的 方 程 为 Y: 一   一1 .  

程, 降低 解 题 难 度. 这 是 简 化 运 算 量 的 一 条 重 要 
途径.  

【 例1 】 求已知离心率 e =   , 过点( 1 , o ) 且与 
√3  

由上 式 易知直线  恒过 定点 M( O , 一1 ) . 不妨 先 
考虑直线  的极 限情 形 : 由 于直线  必须 与有 向 线 
段P Q 的 延 长 线相 交 , 如上 图 , 则 L的 斜 率 必 须 小 于 

直线l : 2 x — Y + 3 = 0 相切于点P ( 一 ÷ , )   , ÷) , 长轴平  
行于 Y轴的椭 圆方 程.  

解析

按 常规 , 设 椭 圆 中心 为 (   。 ,  ) , 并列 出  

M、 Q两点所在直线L 。 的斜率 k 。 = ÷.  
当 L 离开  的 位 置 绕 点 M 顺 时 针 旋 转 时 , 则, J  

过 已知点 P的切 线方程 , 联立 消参 可求得椭 圆方程.   若按极 限思想 , 将 点椭 圆视 为椭 圆的极 限情 况 ,  
则 可 简化 运 算过 程 .  
已知 e =   , 则0  = 5 6   . 设 长 轴 平 行 于 Y轴 且 离     管 ,   √5

与P Q 的延 长 线 的 交 点 N逐 渐 远 离 Q点 .   当 交 点 N 与 Q 的 距 离趋 向 无 穷 大 时 ,   逐 渐 趋 

向  (   ∥P Q) , 这 时  的 斜 率 趋 向 尸 Q 的 斜 率 

心率 e =   的 椭 圆 系为 
√5  

÷ .  
故  应 夹在 厶 与  之 间 , 则k : <一 一 1<k   , 即 

(   + 号 )   + ÷ ( y 一 ÷ )   =   ,   把 点 P ( 一 了 2 , ÷ ) 看 做 当 . i } 一 0 时 的 极 限 情 形  
( 点椭 圆) , 则与 直线 Z : 2 x—Y+ 3=0相 切 于 该 点 的 
椭 圆 系即 为 过 直 线 Z 与“ 点 椭 圆” 的公共 点的椭 圆 系  
方程 :  

÷ < 一  < 寻 , 故 一 s < m < 一  即 为 所 求 .  
二、 补 集 思 想 

当从 正 面思 考问题 比较 复 杂时 , 不 妨从 反面 思 

考, 考虑 其补集 , 使 多种 情况 变 为一 种情 况 , 使 计算 
简 洁.  

(   +  )   + ÷ ( y 一 ÷ )   + A ( 2 x - y + s   = 0 .  
又所求的椭圆过( 1 , 0 ) 点, 代入求得 A=一 ÷.  
因此 所 求 椭 圆方 程 为 2 +   :1 .  

【 例3 】   若 椭圆  +   =n   ( 。> 0 ) 与连接 
A( 1 , 2 ) , B( 3, 4) 两点 的线 段没 有公 共点 , 求 。的取  值范 围.  

解析

若按 常规 , 需分两种情 况考虑 :  

①A 、 B两点都在椭 圆外 ;  
点评 将 点椭 圆视 为 椭 圆 的极 限情 况 处 理 问 
(   、 B两点都在椭 圆 内.  
?

51?  

中学数学教与学( 南中读本)   z o o 9 , 2  
A I A TI t S T EA CHI NG AND 三  RI VI NG LVH I GH SCH OOL 

若利 用补 集思 想则避 免 了分情 况讨 论 , 使 计算 
简洁.  

设 8的 允许值 的集合 为 全集 , :{ 0 I 口∈R, 0>  

4 ( 一 m 2 + n   )   一 1 6 ?   n - 1 — 5 = 0  
m  ,   或  ,   ‘  

④  

0 } , 先 求椭圆和线段 A B有公共 点时的取值 范围.   易得线段 曰的方程为 Y=  +l ,  E[ 1 , 3 ] ,  
由方 程 组

{ . 等 + y   = 。 得 。   : — }   + 2   + l ,  
【 Y=  +1  

故 所 求 椭圆 方 程为 ÷ + ÷y   = 1  
或  3


∈[ 1 , 3 ] ,  
n   的值在 [ 1 , 3 ] 内递增 , 且 =1和 = 3时分别 
得 


1 .  





詈 或 n 2 =  , 故   9 ≤ n   ≤   .  
≤。 ≤     .

因为 。> o , 所以  

故 当椭 圆 与 线 段 A B无 公 共 点 时 , n的 取 值 范  围 为 

0 < 。 < 半或 。 > 华.  
三、 整体 思想 

有些 问题若能从 整体 的角度 去进行 把握 , 理清  所要求 的量和各个有 关 量 的关 系, 常常能 简化 运算 
过 程.  

【 例4 】   已知椭 圆 的 中心 在原 点 , 焦点 在 坐标 
轴上 , 直线 Y=   +1与该 椭圆 相交 于 P、 Q两 点 , 且 

且÷ 4 1 ≤   ≤÷ , 求实数 。的取值范围.  
. 

’ 

o PJ _ O Q, I P QI :  

, 求该椭 圆的方程.  

解 析 设所 求椭 圆的方程为  。 + n y   =1 ( m >0 , n> 0 ) ,  

由 {  
l +   =一— =一  



肖 去 Y 并 整 理 得  

n ’   l   2 = — m

而 MP 的斜 率 为  : m- — — c t故 m :0  +口 .  


( m +n ) x   +2 n x+/ 7 , 一1= 0 .   设 P(   1 , Y   ) , Q (   2 , Y 2 ) , 贝 4  

,   l   2 =旦  + —
n 

① 

由O P上0 Q得 3 c I   2  Y t Y 2 = 0, 即 

1   2 +(  l +1 ) (   2 +1 )= O,  

根 据 题 意 , 方 程 ② 在 区 间 【 寺 , ÷ 】 上 有 实 根  
② 
k:   <o,  

整 理得  l +   2 + 2 x l   2 +1 = 0   将① 中的两个式子整 体代入② 得 
. 一  

+  

+ 1:0.  

即 m+/ 1 , = 2  
又由 I P QI :  
.  

③ 
所 以 

得 
:  

拿 ;   : ’ 即   ≤ 。 ≤ 4 .  

, 

?

5 2?  

2 0 o 9  ̄ 2   中学数 学教 与 学 ( 高 中读 本 )  
M ATHS T EACHI N G AND LEA R NI NG  HI GH SCH OOL 

点评

根 据直线 与 圆锥 曲线 的位 置关 系 , 构 造 

含参 数的方程 , 转化 为根 的分 布问题求解.  

【 例6 】  已 知 椭圆  + 告= 1 ( o > b > o ) , A . B  
是椭 圆上两点 , 线段 A B的垂直平分线 与 轴 交于点 
P( X o , 0 ) , 求证 : 一  
“ 

( 0 , 0 ) , 相应的距 离I P A I : ÷. ( 注: 这里的最小值不  
在顶点 处)  

<  
“ 

.  

证 明  若 A B 的 中点 为 M , 则  A 曰 的 垂 直平 分 线 为 Z : y= k (  一 ‰)  

( I I ) 设 P(  , Y ) 为曲线上任 意一点 , 同理有 
I P AI   =(  — o )  +  


[  一( n一1 ) ]  +( 2 a一1 ) ( z ≥0 ) ,  

由 于z 与  轴相交, 因此k # O , 故  =一 ÷.  

①当n ≥1时 , 上 式在  =0—1 10处取得 最小  >

又  ? ( 一   1 ) = 一   b 2 , 故 k o M -  ,  
所以 O M 所在直线 方程 为 Y =  
代入 Y =k (  —   。 ) , 得 
=  

② 当a < 1时, 上式作 为   的 函数在 [ 0 , +   ) 上 
I P AI   i  = ̄ / ( 口一1 )  + 2 a一1=l 0 I .  

,  

(  —   。 ) .  

因此所证 明的结论 变为 方程 的解在椭 圆 内的取 
值 范围问题.  

【 例8 】 直线 m: ) , =   +1 和双曲线  一 y Z = 1  
段 的中点 M, 求l 在 Y轴上 的截距 b的取值范 围.  

故 由上述 方 程解得  =  
横 坐标 )  

。 . (  为 点 M 的 

解 析由 { _    
I  
2  

一 y

= 1  

(   ≤ 一 一) 1 ) 消 去 , , 得  

但点M在 椭圆 - 5   - + 鲁= l 内 部, 即  
r △= 4   +8 ( 1 一 k 2 )>O  
o< 口,  



8 < — — 
n — O 

由题 意得

解得 一   点评
;  

<  。 <  

.  

j   +   =  < 。  
哥 如  

用 方 程 思想 解 决 某 些 范 围 问题 特 别 简 

单, 容 易找出问题 的突破 口.  
五、 函 数 思 想 

对于 曲线上一 些 动点 , 在 变化 过 程 中会 引入 一  些相互 联系 、 相互制约 的变量 , 从 而使变量 与其 中的 
参 变量之间构成 函数关 系 , 此 时用 函数思 想 与函 数  方法处 理起来十分方便 .  

簿  



{ x 一  ̄ -   2 - :   1 - k z  
?  

【 例7 】 在x O y 平面上 给定一 曲线  一 2 x = 0 .  

由 P ( 一 2 , 0 ) ,   ( 1   k k 2 。 ,   ) , Q ( O , 6 ) 三 点 共  
线可求 得  =  设, (  )=一 2 k  十k+2, 则, ( J i } ) 在( 1 , √   ) 上 为 

( I ) 设 点 A 的 坐 标 为 ( 季 , 0 ) , 求 曲 线 上 距 点  
最近 的点 P的坐标及相 应的距离 I   I .  

( Ⅱ) 设点 A的坐标为 ( n , 0 ) , a ∈ R, 求 曲线上点  P到点 A的距离 的最小值 .  
解析 (I) 设 P(  , y ) 为 曲线上任 意一点 , 则  y 2 : 2   (  ≥0 ) ,  

所 以, (  ) <  k ) < 厂 ( 1 ) , 且  k ) ≠ O .   所以 一 ( 2 一   ) <  k ) <1 . 所以 b <一( 2 + √ 2 )   点评 通过建立 b与  的 函数关 系式 , 借 用 函 

?   ?   = (   一 ÷ )   +   =   2 一   4 +  + 2   (   + ÷ ) ‘ + ÷ c   ,  


数 的单调性 , 将 问题 转化为 函数的值域 以确定.  
?

5 3?  


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