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新课程高中数学测试题组(选修1-2)含答案


(数学选修 1-2)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.数列 2,5,11, 20, x, 47, …中的 x 等于( A. 28 B. 32 )

推理与证明

C. 33 D. 27 1 1 1 2.设 a, b, c ? (??, 0), 则 a ? , b ? , c ? ( ) b c a A.都不大

于 ?2 B.都不小于 ?2 C.至少有一个不大于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2 3.已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ; ③ FE ? ED ;④ 2 ED ? FA 中,与 AC 等价的有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ) )

4.函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

?

)在[0, ] 内( 4 2

?

A.只有最大值 C.只有最大值或只有最小值

B.只有最小值 D.既有最大值又有最小值 )

5.如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A. a1a8 ? a4 a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1a8 ? a4 a5 D. a1a8 ? a4 a5

6. 若 log2[log3 (log4 x)] ? log3[log 4 (log 2 x)] ? log 4[log 2 (log3 x)] ? 0 , 则 x ?y ?z ? ( ) A. 123 7.函数 y ? B. 105 C. 89 D. 58 ) D. ?

1 x

在点 x ? 4 处的导数是 ( B. ?

A.

1 8

1 8

C.

1 16

1 16

二、填空题
1.从 1 ? 1 ,2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中得出的一般性结论是_____________。
2 2 2
2 2.已知实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? (2 x ?

1 ) 有最小值 ?1 ,则 a =__________。 a

3. 已知 a , b 是不相等的正数,x ?

a? b 2

则 x , y 的大小关系是_________。 ,y ? a?b ,
1

4.若正整数 m 满足 10

m?1

? 2512 ? 10m ,则 m ? __________ ____.(lg 2 ? 0.3010 )

5. 若数列 ?an ? 中,a1 ? 1, a2 ? 3 ? 5, a3 ? 7 ? 9 ? 11, a4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,... 则 a10 ? ____ 。

三、解答题
1.观察(1) tan100 tan 200 ? tan 200 tan 600 ? tan 600 tan100 ? 1; (2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1
0 0 0 0 0 0

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。

2.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数。 求证: f ( x) ? 0 无整数根。

3. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

4.设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ? (1)求 ? 的值; (2)求 y ? f ( x) 的增区间; (3)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象不相切。

?
8

.

2

新课程高中数学测试题组
(数学选修 1-2)第二章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 f ( x ) ? ?

推理与证明

?sin ?x 2 ,?1 ? x ? 0;
x ?1 ?e , x ? 0

,若 f (1) ? f (a ) ? 2,

则 a 的所有可能值为( A. 1 B. ?



2 2

C. 1, 或 ?

2 2

D. 1, 或

2 2


2.函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( A. (

, ) 2 2 3? 5? , ) C. ( 2 2

? 3?

B. (? ,2? ) D. (2? ,3? ) )

3.设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是( A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3 )

D. ?

7 2

4.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 ( A. y ? sin x
2

B. y ? xe

x

C. y ? x ? x
3

D. y ? ln(1 ? x) ? x

5.设 a, b, c 三数成等比数列,而 x , y 分别为 a , b 和 b, c 的等差中项,则 A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定 6.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0 数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表: 十六进制 十进制 十六进制 十进制 0 0 8 8 1 1 9 9 2 2 A 10 3 3 B 11 4 4 C 12 )

a c ? ?( x y



9 和字母 A
5 5 D 13 6 6 E 14

F 共 16 个计
7 7 F 15

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? (
3

A. 6 E

B. 72

C. 5 F

D. B 0

二、填空题
1.若等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为 Sn ? pn2 ? ( p ? 1)n ? p ? 3 , 则 p =_______,首项 a1 =_______;公差 d =_______。 2.若 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,则 log

2

x ? _____ 。 y

3.设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________。
4.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? __________ ____.
x) ? (x ? a) (x b ? ) ( x c) ? 5. 设 f(
值是 ______________. 三、解答题 1.已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

( a, b, c 是两两不等的常数),则

a b c ? / ? / 的 f (a) f (b) f (c)
/

3 2 3 sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明。

2.计算: 11...1 ? 22...2(n是正整数)
2n n

3.直角三角形的三边满足 a ? b ? c ,分别以 a, b, c 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转 体的体积记为 Va ,Vb ,Vc ,请比较 Va ,Vb ,Vc 的大小。

4.已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0 。
4

(数学选修 1-2)第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若 x, y ? R, 则 " xy ? 1" 是 " x 2 ? y 2 ? 1"的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

推理与证明



2.如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x22 等于( A.



2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

12 3
O X1 1

X2 2

x

3.设 P ?

1 log2
11

?

1 log
11 3

?

1 log4
11

?

1 log5
11

,则(



A. 0 ? P ? 1 C. 2 ? P ? 3

B. 1 ? P ? 2 D. 3 ? P ? 4

4.将函数 y ? 2cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y ? 2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭的平面图形的面积是( A. 4 B. 8 C. 2? D. 4? )

5.若 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (
A.外心 C.重心

AB AB

?

AC AC

), ? ? ? 0, ?? ? ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的(



B.内心 D.垂心

6.设函数 f ( x) ? ? A. a

??1, x ? 0 ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b) (a ? b) 的值为( ,则 2 ?1, x ? 0
B. b

)txjy

C. a , b 中较小的数 D. a , b 中较大的数 7.关于 x 的方程 9 A . a ? ?4 C. a ? 0
? x ?2

? 4?3

? x ?2

? a ? 0 有实根的充要条件是(



B . ?4 ? a ? 0 D . ?3 ? a ? 0

5

二、填空题
1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N * ) ,则 S10 ? __________. 2.过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________。 3.若关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? )
2 x 2

3 2

3 2

1? x

的解集为 ( , ?? ) ,则 k 的范围是

1 2

____ 4. f (n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) , 2 3 n 3 5 7 经计算的 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? , 2 2 2 推测当 n ? 2 时,有__________________________.

5.若数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 (n ? N ? ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) , (n ? 1) 2

______ . 试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________
三、解答题 1.已知 a ? b ? c, 求证:

1 1 4 ? ? . a ?b b?c a ?c

2.求证:质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

3.在 ?ABC 中,猜想 T ? sin A ? sin B ? sin C 的最大值,并证明之。

6

(数学选修 1-2)第三章
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.下面四个命题 (1) 0 比 ?i 大 (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数 (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1

复数

(4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应, 其中正确的命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (i ? i ?1 )3 的虚部为( )

A. 8i B. ? 8i C. 8 D. ?8 3.使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( A. z ? z C. z 为实数
2

)

?

B. z ? z D. z ? z 为实数
?

4.设 z1 ? i 4 ? i5 ? i 6 ? A. z1 ? z2 C. z1 ? 1 ? z2
20 20

? i12 , z2 ? i 4 ? i5 ? i 6 ?
B. z1 ? ? z2

? i12 , 则 z1 , z2 的关系是( )

D.无法确定

5. (1 ? i) ? (1 ? i) 的值是( ) A. ?1024 B. 1024 C. 0 D. 1024

6.已知 f (n) ? i n ? i ? n (i 2 ? ?1, n ? N ) 集合 ? f (n)? 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个

二、填空题
1. 如果 z ? a ? bi (a, b ? R, 且a ? 0) 是虚数,则 z, z, z, z , z , z ? z, z , z , z 中是
2 2 ? ? ? ? 2

虚数的有

_______个,是实数的有

个,相等的有

组.

2 2 2. 如 果 3 ? a ? 5 , 复 数 z ? (a ? 8a ? 15) ? (a ? 5a ?14)i 在 复 平 面 上 的 对 应 点 z 在

象限. 3. 若复数 z ? sin 2a ? i(1 ? cos 2a) 是纯虚数,则 a =
7

.

4.

设 z ? log2 (m2 ? 3m ? 3) ? i log2 (m ? 3)(m ? R), 若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 .
?

上,则 m 的值是

5. 已知 z ? (2 ? i)3, 则 z z = 6. 若 z ?

. .

2 100 50 ,那么 z ? z ? 1 的值是 1? i
2 3

7. 计算 i ? 2i ? 3i ?

? 2000i 2000 ?

.

三、解答题
1.设复数 z 满足 z ? 1,且 (3 ? 4i) z 是纯虚数,求 z .
?

2.已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 的值. 2z

8

(数学选修 1-2)第三章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.若 z1 , z2 ? C , z1 z2 ? z1 z2 是( A.纯虚数 B.实数
? ?

复数

). C.虚数 D.不能确定

2.若有 R? , R? , X 分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合 m m ? X =(
2

?

?

).

A. R

?

B. R

?

C. R

?

R?
).

D. R ?

?0?

3.

(?1 ? 3i)3 ?2 ? i 的值是( ? (1 ? i)6 1 ? 2i
A. 0 B. 1 C. i

D. 2i
2

4.若复数 z 满足 z ? 3(1 ? z)i ? 1 ,则 z ? z 的值等于( A. 1 B. 0 C. ? 1 D. ?

)

1 3 ? i 2 2
)

5.已知 3 ? 3i ? z (?2 3i) ,那么复数 z 在平面内对应的点位于( A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 1,则 z1 ? z2 等于( ) A. 1 7.若 ? ? ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3

1 3 ? i ,则等于 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ( 2 2
B. 0 C. 3 ? 3i

)

D. ?1 ? 3i

8.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i ? ?1 ,则 i ? i
2 m m?1

? i m?2 ? i m?3 ? 0;

其中正确命题的序号是( A. (1) B. (2)(3)

) C. (1)(3) D. (1)(4)

9

二、填空题
2 2 1.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a ? b ? _________。

2.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 3.复数 z ?

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2



1 的共轭复数是_________。 1? i

4.计算 (1 ? i )(1 ? 2i ) ? __________。 1? i 5.复数 z ? i ? i ? i ? i 的值是___________。
2 3 4

?1? i ? 1. 在复平面内, z 所对应的点在第________象限。 1? i 7.已知复数 z0 ? 3 ? 2i, 复数 z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数 z ? __________.
6.复数 z ? 8.计算

1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

? ______________。

9.若复数 a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为___________。
1 ? 2i

10.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R), 若 z1 z 2 为实数,则 x ? _____________

10

(数学选修 1-2)第二章
一、选择题 1.B 2.D 3. D

推理与证明 [基础训练 A 组]

5 ? 2 ? 3,11 ? 5 ? 6, 20 ?11 ? 9, 推出 x ? 20 ? 12, x ? 32
1 1 1 a ? ? b ? ? c ? ? ?6 ,三者不能都小于 ?2 b c a
① BC ? CD ? EC ? BD ? EC ? AE ? EC ? AC ; ② 2B C D ? C A D ? D C? A C? ③ FE ? ED ? FD ? AC ;④ 2ED ? FA ? FC ? FA ? AC ,都是对的

4.D

T?

2? ? ? ? , [0, ] 已经历一个完整的周期,所以有最大、小值 2 4 2

5.B 由 a1 ? a8 ? a4 ? a5 知道 C 不对,举例 an ? n, a1 ? 1, a8 ? 8, a4 ? 4, a5 ? 5 6.C

log2[log3 (log4 x)] ? 0,log3 (log4 x) ? 1,log4 x ? 3, x ? 43 ? 64 log3[log4 (log2 x)] ? 0,log4 (log2 x) ? 1,log2 x ? 4, x ? 24 ? 16
log4[log2 (log3 x)] ? 0,log2 (log3 x) ? 1,log3 x ? 2, x ? 9
x ? y ? z ? 89

7.D

y?

1 ? 1 1 ?3 1 1 1 ? x 2 , y' ? ? x 2 ? ? , y '(4) ? ? ?? 2 16 x 2x x 2? 4 4

二、填空题
1. n ? n ? 1 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ?1) , n ? N
2 *

注意左边共有 2n ? 1 项

2.1

1 1 1 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 有最小值,则 a ? 0 ,对称轴 x ? , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 a a a 1 1 2 1 1 2 2 即 f ( ) ? a ? ( ) ? 2 ? ? a ? ? 0, a ? ? ?1, a ? a ? 2 ? 0, ( a ? 0) ? a ? 1 a a a a a

3. x ? y 4. 155 5.1000

y 2 ? ( a ? b )2 ? a ? b ?

2(a ? b) ( a ? b )2 ? ? x2 2 2

512lg 2 ? m ? 512lg 2 ? 1,154.112 ? m ? 155.112, m ? N * , m ? 155
前 10 项共使用了 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 10 ? 55 个奇数, a10 由第 46 个到第 55 个奇

数的和组成,即 a10 ? (2 ? 46 ? 1) ? (2 ? 47 ? 1) ? ... ? (2 ? 55 ? 1) ?

10(91 ? 109) ? 1000 2

三、解答题
11

1. 若 ? , ? , ? 都不是 90 , 且 ? ? ? ? ? ? 900 , 则a tn a t ? n
0

? a tn ? a tn ?a tn a t ? n ?1 ?

?

?

2.证明:假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an2 ? bn ? c ? 0,(n ? Z ) 而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数,则 a, b, c 同时为奇数‘ 或 a , b 同时为偶数, c 为奇数,当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;当 n 为偶数时,
2

an 2 ? bn 也为偶数,即 an2 ? bn ? c 为奇数,与 an2 ? bn ? c ? 0 矛盾。 ? f ( x) ? 0 无整数根。
3.证明:要证原式,只要证

a?b?c a?b?c c a ? ? 3, 即 ? ?1 a?b b?c a?b b?c

即只要证

bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? 1, 而 A ? C ? 2B, B ? 600 , b2 ? a2 ? c2 ? ac ab ? b 2 ? ac ? bc

?

bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? ? ?1 ab ? b2 ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? bc

4.解: (1)由对称轴是 x ?

?
8

,得 sin(

?
4

? ? ) ? ?1,

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, ? ? k? ?

?
4



而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ?

3 ? 3 ? ? ), 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 4 2 4 2 ? 5? ? 5? k? ? ? x ? k ? ? ], (k ? Z ) ,增区间为 [k? ? , k? ? 8 8 8 8 3 3 ' (3) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 ,即曲线的切线的斜率不大于 2 , 4 4 5 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 ? 2 ,即直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f ( x) 的切线。 2
(2) f ( x) ? sin(2 x ?

3 4

(数学选修 1-2)第二章
一、选择题 1.C

推理与证明 [综合训练 B 组]

f (1) ? e0 ? 1, f (a) ? 1 ,当 a ? 0 时, f (a) ? ea?1 ? 1 ? a ? 1 ;
当 ?1 ? a ? 0 时, f (a) ? sin ? a ? 1 ? a ?
2 2

1 2 ,a ? ? 2 2

2.B

令 y ? x cos x ? x(? sin x) ? cos x ? ? x sin x ? 0 ,
' '

由选项知 x ? 0,?sin x ? 0, ? ? x ? 2?

12

3.C 4.B 5.B

令 a ? 6 cos? , b ? 3sin ? , a ? b ? 3sin(? ? ? ) ? ?3

x ? (0, ??) ,B 中的 y' ? ex ? xex ? 0 恒成立

6.A

a c a c 2a 2c ac ? b2 , a ? b ? 2x, b ? c ? 2 y , ? ? ? ? ? x y a?b b?c a?b b?c 2 2 2ab ? 4ac ? 2bc 2ab ? 4ac ? 2bc ? ? ?2 ab ? b 2 ? bc ? ac ab ? ac ? bc ? ac A ? B ? 10 ?11 ? 110 ? 16 ? 6 ? 14 ? 6 E

二、填空题
1. ?3, ?5, ?6 S n ? na1 ?

n(n ? 1)d d 2 d ? n ? (a1 ? )n ,其常数项为 0 ,即 p ? 3 ? 0, 2 2 2 d d d d p ? ?3 , Sn ? ?3n 2 ? 2n ? n 2 ? (a1 ? )n, ? ?3, d ? ?6, a1 ? ? ?2, a1 ? ?5 2 2 2 2

2. 4

lg( xy) ? lg( x ? 2 y)2 , xy ? ( x ? 2 y)2 , x2 ? 5xy ? 4 y 2 ? 0, x ? y, 或x ? 4 y
而 x ? 2 y ? 0,? x ? 4 y,log
2

4?4

3. 3 2

f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 1 1 2x ? ? ? 2x ? 2 21? x ? 2 2x ? 2 2 ? 2 ? 2 x

?

2 2x 2 ? 2x 2 ? ? ? x x x 2 2 ?2 ? 2 2? 2 ?2 2? 2 ?2

f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) ? [ f (?5) ? f (6)] ? [ f (?4) ? f (5)] ? ... ? [ f (0) ? f (1)] ?
4. 0

2 ?6 ? 3 2 2
f (0) ? 0, f (1) ? f (0) ? 0, f (2) ? f (?1) ? 0, f (3) ? f (?2) ? 0
f (4) ? f (?3) ? 0, f (5) ? f (?4) ? 0 ,都是 0

5. 0

f ' ( x) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b), f ' (a) ? (a ? b)(a ? c) , f ' (b) ? (b ? a)(b ? c), f ' (c) ? (c ? a)(c ? b) ,
a b c a b c ? / ? / ? ? ? f (a) f (b) f (c) (a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c) (c ? a)(c ? b)
/

?

a(b ? c) ? b(a ? c) ? c(a ? b) ?0 (a ? b)(a ? c)(b ? c)
13

三、解答题
1.解: 一般性的命题为 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?
2 2 2

3 2

证明:左边 ?

1 ? cos(2? ? 1200 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 2 2 2

3 ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 120 0 )] 2 3 ? 2 ?
所以左边等于右边 2.解: 11...1 ? 22...2 ? 11...1?10 ? 11...1 ? 22...2
n 2n n n n n

? 11...1?10n ? 11...1 ? 11...1? (10 n ? 1)
n n n

? 11...1? 9 ?11...1 ? 3 ?11...1 ? 33...3
n n n n

1 2 1 1 2 1 3.解: Va ? ? b a ? ? ab ? b,Vb ? ? a b ? ? ab ? a, 3 3 3 3 ab 1 ab 2 1 ab ?a?b Vc ? ? ( ) c ? ? ab ? , 因为 a ? b ? c ,则 c 3 c 3 c

?Vc ? Vb ? Va
4.证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,得 a ? b ? c ? 0 , 而 a ? b ? c ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? ( z ?1) ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 0 ,
2 2 2

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,

? a, b, c 中至少有一个大于 0 。

14

(数学选修 1-2)第二章
一、选择题 1.B

推理与证明 [提高训练 C 组]

令 x ? 10, y ? ?10 , " xy ? 1" 不能推出 " x 2 ? y 2 ? 1"; 反之 x ? y ? 1 ? 1 ? x ? y ? 2 xy ? xy ?
2 2 2 2

1 ?1 2

2.C

函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 图象过点 (0,0),(1,0),(2,0) ,得 d ? 0, b ? c ? 1 ? 0,

4b ? 2c ? 8 ? 0 ,则 b ? ?3, c ? 2 , f ' ( x) ? 3x2 ? 2bx ? c ? 3x2 ? 6x ? 2 ,且 x1 , x2 是
函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的两个极值点,即 x1 , x2 是方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的实根
2

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ?
3.B

4 8 ? 3 3

P ? log11 2 ? log11 3 ? log11 4 ? log11 5 ? log11 120 , 1 ? log11 11 ? log11 120 ? log11 121 ? 2 ,即1 ? P ? 2

4.D 5.B

画出图象,把 x 轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

), AP ? ? (

AB AB

?

AC AC

) ? ? (e1 ? e2 )

AP 是 ? A 的内角平分线

6.D

? (a ? b) ? (a ? b)(?1) ? a, ( a ? b) ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b) ? ? 2 ?? 2 ? (a ? b) ? (a ? b) ? b, (a ? b) ? ? 2
令3
? x ?2

7.D 方程 9

? x ?2

? t,(0 ? t ? 1) ,则原方程变为 t 2 ? 4t ? a ? 0 ,
? a ? 0 有实根的充要条件是方程 t 2 ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有实根

? 4?3

? x ?2

2 2 再令 f (t ) ? t ? 4t ? a ,其对称轴 t ? 2 ? 1 ,则方程 t ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有一实根,

另一根在 t ? (0,1] 以外,因而舍去,即 ?

? f (0) ? 0 ??a ? 0 ?? ? ?3 ? a ? 0 ? f (1) ? 0 ??3 ? a ? 0

二、填空题
1. 35

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 4, a5 ? 1, a6 ? 6,..., a9 ? 1, a10 ? 10 S10 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 6 ? 1 ? 8 ? 1 ? 10 ? 35

15

2. (1, e), e

设切点 (t , et ) ,函数 y ? e x 的导数 y ' ? e x ,切线的斜率

k ? y ' | x ?t ? et ?

et ? t ? 1, k ? e, 切点 (1, e) t

3. (1 ?

2 2 ,1 ? ) 2 2

3 ? 2 k ? 2k ? ? 1 ? 3 ? 2 x ? 1 ? x,? 0 ? k 2 ? 2k ? ? 1 ,即 ? 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? ? 2

1 ? 2 k ? 2k ? ? 0 ? 2 2 ? 2 2 ? k ? 1? ? ?1 ? 2 ?? ?? ? k ? 1? 2 2 ,?1 ? 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? R ? ? ? 2
4. f (2 ) ?
n

n?2 2

5. f ( n) ?

n?2 2n ? 2

f (n) ? (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 ) ??? [1 ? ] 2 2 3 (n ? 1)2

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? )(1 ? ) 2 2 3 3 n ?1 n ?1 1 3 2 4 3 n n?2 n?2 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 1 2n ? 2

三、解答题
1.证明:

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c ? ? ? a ?b b?c a ?b b?c

? 2?
?

b?c a ?b b ?c a ?b ? ? 2?2 ? ? 4 , (a ? b ? c) a ?b b ?c a ?b b ?c

a?c a?c 1 1 4 ? ? 4,? ? ? . a ?b b?c a ?b b ?c a ?c

2.证明:假设质数序列是有限的,序列的最后一个也就是最大质数为 P ,全部序列 为 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 再构造一个整数 N ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ?11? ... ? P ? 1 , 显然 N 不能被 2 整除, N 不能被 3 整除,…… N 不能被 P 整除, 即 N 不能被 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除, 所以 N 是个质数,而且是个大于 P 的质数,与最大质数为 P 矛盾, 即质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

16

3.证明: sin A ? sin B ? sin C ? sin

A? B A? B C ? C ? cos ? 2sin( ? ) cos( ? ) 3 2 2 2 6 2 6 A? B C ? A? B ?C ? A? B ?C ? ? 2sin ? 2sin( ? ) ? 4sin( ? ) cos( ? ) 2 2 6 4 12 4 12 ? 2sin

?

? 4sin(

? 4sin( ? ) ? 4sin 4 12 3

?

A? B ?C ? ? ) 4 12

?

?

A? B ? ? ?cos 2 ? 1 ?A ? B ? ? C ? ? ? ? 当且仅当 ?cos( ? ) ? 1 时等号成立,即 ?C ? 2 6 3 ? ? A? B ?C ? ? ? ? ? ) ?1 A? B ?C ? ?cos( ? 4 12 3 ? ?
所以当且仅当 A ? B ? C ? 所以 Tmax ? 3sin

?
3

时, T ? sin

?
3

的最大值为 4 sin

? 3

?
3

?

3 3 2

17

(数学选修 1-2)第三章

复数 [基础训练 A 组]

一、选择题 1.A (1) 0 比 ?i 大,实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数; (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 是错误的,因为没有表明 x , y 是否是实数; (4)当 a ? 0 时,没有纯虚数和它对应 2.D

1 3 i2 ?1 3 ?2 (i ? i ) ? (i ? ) ? ( ) ? ( )3 ? (2i)3 ? ?8i ,虚部为 ?8 i i i
?1 3

3.B

z ? z ? z ? R ; z ? z ? z ? R ,反之不行,例如 z ? ?2 ; z 2 为实数不能推出
z ? R ,例如 z ? i ;对于任何 z , z ? z 都是实数
?

?

4.A

z1 ?

i 4 (1 ? i 9 ) i 4 (1 ? i) 4 ? ? i ? 1, z2 ? i 4?5?6?7?...?12 ? i 72 ? 1 1? i 1? i

5.C 6.B

(1 ? i)20 ? (1 ? i)20 ? [(1 ? i)2 ]10 ? [(1 ? i)2 ]10 ? (2i)10 ? (?2i)10 ? (2i)10 ? (2i)10 ? 0
1 f (0) ? i 0 ? i 0 ? 0, f (1) ? i ? i ?1 ? i ? ? 2i, f (2) ? i 2 ? i ?2 ? 0, f (3) ? i 3 ? i ?3 ? ?2i i

二、填空题
1. 4,5,3

z , z , z , z 2 四个为虚数; z , z , z ? z, z , z 2 五个为实数;
? ? ?

? ?

?

?

2

z ? z, z ? z , z ? z ? z 三组相等
2.三 3. k? ? 4. 15

2

3 ? a ? 5 , a2 ? 8a ?15 ? (a ? 3)(a ? 5) ? 0, a2 ? 5a ?14 ? (a ? 2)(a ? 7) ? 0
?
2 ,k ?Z

sin 2? ? 0,1 ? cos 2? ? 0, 2? ? 2k? ? ? ,? ? k? ?

?
2

,k ?Z

log 2 (m2 ? 3m ? 3) ? 2log 2 (m ? 3) ? 1 ? 0,log 2

m2 ? 3m ? 3 ? ?1 (m ? 3)2

m2 ? 3m ? 3 1 ? , m ? ? 15, 而m ? 3, m ? ? 15 (m ? 3)2 2
5. 125 6. i

z ? z ? z ? (2 ? i)3 ? ( 5)6 ? 125

?

2

2

z?

2 1 ? i 100 50 1 ? i 100 1 ? i 50 ? , z ? z ?1 ? ( ) ?( ) ?1 1? i 2 2 2
18

2i 2i ? ( )50 ? ( ) 25 ? 1 ? i 50 ? i 25 ? 1 ? i 2 ? i ? 1 ? i 2 2
7. 1000 ? 1000i 记 S ? i ? 2i ? 3i ?
2 3

? 2000i 2000 ? 1999i 2000 ? 2000i 2001

iS ? i 2 ? 2i3 ? 3i 4 ?

(1 ? i) S ? i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ?
S? ?2000i ? 1000 ? 1000i 1? i

? i 2000 ? 2000i 2001 ?

i(1 ? i 2000 ) ? 2000i 2001 ? ?2000i 1? i

三、解答题
1.解:设 z ? a ? bi, (a, b ? R) ,由 z ? 1得 a2 ? b2 ? 1 ;

(3 ? 4i) z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0

4 4 ? ? a? a?? 2 2 ? ? ? 4 3 ? a ?b ?1 ? ? 5 5 ? 4 3 ?? ,或 ? , z ? ? i, 或 ? ? i ? 5 5 5 5 ? ?b ? 3 ?b ? ? 3 ?3a ? 4b ? 0 ? ? 5 5 ? ?
2.解:设 z ? a ? bi, (a, b ? R) ,而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0 则?

? ? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ?? , z ? ?4 ? 3i ?b ? 3 ? ?b ? 3 ? 0

(1 ? i)2 (3 ? 4i)2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i

(数学选修 1-2)第三章
一、选择题 1.B

复数 [综合训练 B 组]
? ?

z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di,(a, b, c, d ? R), z1 z2 ? z1 z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (a ? bi)(c ? di)
? 2ac ? 2bd ? R

2.B

?m

2

m ? X ? ? ?(bi)2 ? ? ??b2 ? (b ? R, 且b ? 0)

3.D

(?1 ? 3i)3 ?2 ? i ?1 ? 3i 3 (?2 ? i)(1 ? 2i) ?1 ? 3i 3 1 3 5i ? ?( ) ? ?( )( ) ? 6 (1 ? i) 1 ? 2i 2i 5 2 i 5
? i ? i ? 2i

4.C

z ? 3i ? 3zi ? 1 ? 0, z ?

1 ? 3i 1 3 ?? ? i ? ? , z ? z 2 ? ? ? ? 2 ? ?1 2 2 1 ? 3i
19

5.A

z?

3 ? 3i 3i ? 3 1 3 ? ? ? i 2 2 ?2 3i 2 3
2 2 2 2

6.C 7.B

z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2 ? 3, z1 ? z2 ? 3

?4 ? ?2 ?1 ? ? ? ?2 ?1 ? 0

8.C 二、填空题 1. 5 2.

8 3

3. 1 ? i

4. 2 ? i

5. 0

6.二 7. 1 ?

3 i 2

8. ? 1

9. ?6 10. ?2

新课程高中数学测试题组
20

数学选修 4-4 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?

坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

2 3 3 D. ? 2
B. ?

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. ( , ? 2) 3.将参数方程 ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 y ? sin ? ? ?

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

二、填空题 1.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

2.参数方程 ?

21

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P ( x, y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

22

数学选修 4-4 [综合训练 B 组]
一、选择题 1. 直线 l 的参数方程为 ? 之间的距离是( A. t1 ) C. 2 t1

坐标系与参数方程

?x ? a ? t l 上的点 P1 对应的参数是 t1 , 则点 P1 与 P (a, b) (t为参数) , ?y ? b ?t

B. 2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) ) C. ( 3, ?3) ) D. (3, ? 3) B. (? 3,3)

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. ( ?5,

? ) 3

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

?x ? t ? ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

A. x ?
2

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x ?
2

C. x ?
2

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

23

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1. 曲线的参数方程是 ? 则它的普通方程为__________________。 t (t为参数,t ? 0) , ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
2 2

24

数学选修 4-4 [提高训练 C 组]
一、选择题

坐标系与参数方程.

1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?



? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( , 0) B. (0, )、 1 1 5 2 5 (8, 0) D. (0, )、 9

( , 0) A. (0, )、

(8, 0) C. (0, ?4)、
3.直线 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2 ? t ?
12 5 5 9 10 D. 5
B.



12 5 9 5 C. 5

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 则 PF 等于( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 )

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线



6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 B. ? sin ? ? 2



25

C. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

二、填空题 1.已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ,

且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_______________。
2.直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

26

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

2 转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2 2

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) x (? ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

4 . 14

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (

2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2
27

5. ? ?

?
2

??

? c o s? c o? s? ? s i? n s? ? in
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

0 ,? ? cos ? ? ( ,取 ? ) ?? 0?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ?1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1
?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

?

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , y ? ? 5 ? 3 t ? ?
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

坐标系与参数方程 [综合训练 B 组]
2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3.D

28

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

6.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1)2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1)a ? 4 x ? 12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3, 且y ? ?1 x ?3 a

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 椭圆为 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ?) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c 2o s? ? 2 co? s c o? s

s? i n 2? ,

2

c?o ?s ? 即 ? sxi2n? y ,

4t ? x ? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

29

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2

1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 ? tan ? y y 2 ?1 1 1 y2 y x x 即x? ? ? ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x
得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
30

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B

坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ?t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x 2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos ? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x ? ( y ? 2) ? 4 与直线 x ? 2 显然相切
2 2

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ? t2 ? 2 p 2t1

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? ,t ? ? 2 2

3. 5

由?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 2 2 得 x ? y ? 25 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?
1 2 1 2

4. 5.

2 2

圆心分别为 ( , 0) 和 (0, )
2 2 直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,

? 5? ,或 6 6

31

易知倾斜角为 三、解答题

? 5? ,或 6 6

1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而 x 2 ? y 2 ? 1,即

1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t ?t 2 (e ? e ) 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e ?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? ?1。 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2

32


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