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四川省绵阳南山中学2013届高三3月月考 数学理


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2013 年 3 月

绵阳南山中学 2013 年春季高 2011 级 3 月月考 理 科 数 学 试 题 卷
(命题人:刘群建) 本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)组成, 共 4 页;答题卷即第Ⅱ卷(非选

择题)共 4 页.满分 150 分.考试结束后将答题卡 和答题卷一并交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)

注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂写在答题卡 上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮檫檫干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.

一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;每小题只 有唯一符合题目要求的答案)
1.下列命题中是全称命题的是 A.圆有内接四边形 B. 3> 2 C. 3< 2 D.若三角形的三边长分别为 3、4、5,则这个三角形为直角三角形 2.给出下列四个命题: ①若 x 2 ②若 ? 2 ③若 x
? 3x ? 2 ? 0

,则 x

? 1或 x ? 2

? x ? 3 ,则 ( x ? 2 )( x ? 3 ) ? 0
2

? y ? 0 ,则 x

? y

2

? 0

④若 x , y ?

N

,x ?

y

是奇数,则 x , y 中一个是奇数,一个是偶数,那么 B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假

A.①的逆命题为真 C.③的逆否命题为假 3. 已知 p : x 2
? x ? 0

,那么 p 的一个必要不充分条件是
本卷第 1 页(共 8 页)

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A. 0 C.
1 2

? x ?1

B. ? 1 ? D.
1 2

x ?1

? x ?

2 3

? x ? 2

4.⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1 内切而与⊙O2 外切,则 动圆圆心轨迹是 A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.双曲线的一支 5.抛物线 y A.
17 16

? 4x

2

上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 B.
7 8

C.

15 16

D.0
2 3

6.若对于任意实数 x ,有 x 3 A. 3 B. 6

? a 0 ? a1 ( x ? 2 ) ? a 2 ( x ? 2 ) ? a 3 ( x ? 2 )

,则 a 2 的值为

C. 9

D. 1 2

7.现有 A、B、C、D、E、F、G、H 8 位同学站成一排照像,要求同学 A、B 相邻, C、D 相邻,而 G、H 不相邻,这样的排队照像方式有 A.36 种 B.48 种 C.42 种 D.1920 种 8.为了培训十一届全运会的礼仪人员, 5 位男礼仪教师和 4 位女礼仪教师中选 从 出 3 人,派到 3 个小组任教,要求这 3 人中男女都有则不同的选派方案共有 A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 9. F1 , F 2 是椭圆 则Δ A. 7
A F1 F 2
x
2

?

y

2

? 1 的两个焦点, A

9

7

为椭圆上一点,且∠ AF 1 F 2

? 45

0



的面积为
7 4

B.

C.
x a
2 2

7 2

D.

7 2

5

10.直线 l 过双曲线

?

y b

2 2

? 1 的右焦点,斜率 k ? 2

,若 l 与双曲线的两个交点

分别在左、右两支上,则双曲线的离心率 e 的范围是 A. e
? 2
e ? 5

B. 1 ? D. e

e ? 5

3

C. 1 ?

?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上. 2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答
本卷第 2 页(共 8 页)

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题卷中相应题号的横线上 .
11.已知集合 A
? { x ? 2 ? x ? 10 , x ? Z } , m , n ? A ,方程
x
2

?

y

2

? 1 表示焦点在 x

m

n

轴上的椭圆,则这样的椭圆共有



12.右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米. 13.短轴长为
5

,离心率 e

?

2 3

的椭圆的两焦点为 F1 、 F 2 ,过 F1 作直线交椭圆于

A、B 两点,则 ? ABF 2 的周长为________. 14.已知命题 p :“ ? x ? [1, 2 ], x 2 命题 q :“ ? x 0
? R ? a ? 0 ”,

, x 02

? 2 ax 0 ? 2 ? a ? 0

”, ____.

若命题“ p 且 q ”是真命题,则实数 a 的取值集合是____ 15.给出下列四个命题: ①如果椭圆 线的斜率为 ?
1 2
x
2

?

y

2

? 1 的一条弦被点

A(4,2)平分,那么这条弦所在的直

36

9



②过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线共有 3 条。 ③双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的焦点到渐近线的距离为 b。

④已知抛物线 y 2
y1 y 2 ? ? p
2

? 2 px

上两点 A ( x 1 , x 2 ) , B ( x 2 , y 2 ) 且 OA⊥OB(O 为原点),则

。 (请写出你认为正确的命题的序号)

其中正确的命题有

三.解答题(共 6 个小题,共 75 分,其中 17~20 题每小题 12 分, 21 题 13 分,22 题 14 分;解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.)
16.已知双曲线与椭圆 程.
x
2

?

y

2

? 1 共焦点,它们的离心率之和为

14 5

,求双曲线方

9

25

本卷第 3 页(共 8 页)

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17.已知 p

: 1?

x ?1 3

? 2;

q:x

2

? 2x ? 1 ? m

2

? 0 ? m ? 0 ? ,若﹁p

是﹁q 的充分不

必要条件,求实数 m 的取值范围. 18.已知实数 m ? R ,试指出方程 ( m 曲线的形状。
? 2) x
2

? (4 ? m ) y

2

? ( m ? 2 )( 4 ? m )

所表示的

19.如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐 标原点,点 P(1,2) ,A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) 均在抛物线上。 (I)写出该抛物线的方程及其准线方程; (II) PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时, 当 求 y1
? y2

y P O x

的值及直线 AB 的斜率

A B

20.设双曲线的顶点为 ( 0 , ? 1) , 该双曲线又与直线 且 OA
? OB

15 x ? 3 y ? 6 ? 0 交于 A, B

两点,

( O 为坐标原点) 。

(1)求此双曲线的方程; (2)求
AB

21. 如图,线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别分别在 x 轴、 y 轴上滑动, 点 M 是 AB 上一点,且
AM ? 2

AB ? 5 ,

,点 M 随线段 AB 的运动而变化.

(1)求点 M 的轨迹方程; (2) F1 为点 M 的轨迹的左焦点,F 2 为右焦点, F1 的直线交 M 的轨迹于 P , Q 设 过 两点,求 S ? PQF 的最大值,并求此时直线 PQ 的方程. y
2

B M O A x

本卷第 4 页(共 8 页)

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2011 级 3 月月考理科数学参考答案
一。选择题(每个 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 B 9 C 10 D

二.填空题(每个 5 分,共 25 分) 11. 45 三.解答题 16.解:由于椭圆
x
2

12. 2 6

13. 6

14. { a a ? ? 2 或 a ? 1}

15.①②③

?

y

2

? 1 的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e=

4 5

,

????3 分 ????6 分 ????9 分

9

25

所以由题知双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2, 从而 c=4,a=2,b=2 3 . 所以求双曲线方程为:
x ?1 3

y

2

?

x

2

?1

????12 分

4

12

17.解:由 1 ?

? 2 得 ? 2 ? x ? 10 ,

∴﹁p 对应的解集 A ? { x x ? ? 2 或 x ? 10 } 由 x ? 2x ? 1 ? m
2 2

????4 分

? 0 ? m ? 0 ? 得1 ? m ? x ? 1 ? m ,

∴﹁q 对应的解集 B ? { x x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m , m ? 0 } ????8 分 ∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,且 m ? 0
? m ? 0 ? ∴ A ? B ,∴ ? 1 ? m ? 10 ,∴ 0 ? m ? 3 ?1 ? m ? ? 2 ?

????12 分

(注:也可转化为 p 与 q 的关系来解) 18. 解: (1)当 m ? 2 时,方程为 y ? 0 ,它表示 x 轴; (2)当 m ? 4 时,方程为 x ? 0 ,它表示 y 轴;
x
2

????2 分 ????4 分
y
2

(3)当 m ? 2 且 m ? 4 时,把方程写成

4?m

?

m ? 2

? 1 ????6 分

①当 2 ? m ? 4 且 m ? 3 时,方程表示椭圆; ②当 m ? 3 时,方程表示圆; ③当 m ? 2 或 m ? 4 时,方程表示双曲线。
本卷第 5 页(共 8 页)

????8 分 ????10 分 ????12 分

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19. 解: (I)由已知条件,可设抛物线的方程为 y ? 2 p x .
2

? 点 P(1,2)在抛物线上,
?2
2

? 2 p ? 1 ,得 p ? 2 .
2

故所求抛物线的方程是 y ? 4 x , 准线方程是 x ? ? 1 . (II)设直线 PA 的斜率为 k P A ,直线 PB 的斜率为 k P B , 则 k PA ?
y1 ? 2 x1 ? 2 ( x 1 ? 1) , k P B ? y2 ? 2 x2 ? 1 ( x 2 ? 1) .

????3 分 ????4 分

????5 分

? PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,
? k PA ? ? k PB .

????6 分

由 A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 )在抛物线上,得
y1 y2
2

? 4 x1 ? 4 x2 ,

,(1) (2)
? ? y2 ? 2 1 4 y2 ? 1
2

2

?

y1 ? 2 1 4 y1 ? 1
2

,

? y 1 ? 2 ? ? ( y 2 ? 2 ), ? y1 ? y 2 ? ? 4.

????10 分

由(1)-(2)得直线 AB 的斜率
k AB ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? 4 y1 ? y 2 ? ? 4 4 ? ? 1( x 1 ? x 2 )

????12 分

20.解:∵双曲线的顶点为 ( 0 , ? 1) , ∴可设双曲线的方程为 y ? mx
2 2

? 1(m ? 0 )
2

????1 分 ????4 分

由?

?

y

2

? mx

2

?1

? 15 x ? 3 y ? 6 ? 0

得(

5 3

? m)x

?

4 15 3

x?3 ? 0,

设 A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) 当m ?
5 3
本卷第 6 页(共 8 页)

时,显然不满足题意

????5 分

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4 15

当m ?

5 3

时, x 1 ? x 2 ? ?

3 5 3 ? m

且 x1 x 2 ?

3 5 3 ? m

????7 分

又 OA ? OB ,∴ x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即

8 3

x1 x 2 ?

2 15 3

( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 0

? 4 15 ? ? ? 1 8 3 2 15 ? 3 ? ∴ ? ? ? ? ? 4 ? 0 ,∴ m ? , 经验证,此时 ? ? 0 ,?9 分 ? 5 ? 3 3 5 3 ?m ?m ? ? 3 ? 3 ?
x
2

∴双曲线的方程为 y ?
2

?1

????10 分

3

(2)由(1)可得 ?

? x 1 ? x 2 ? ? 15 ? , 9 x1 x 2 ? ? 4 ?

2 2 ∴ AB = 1 ? k ? ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2

= 1? (

15 3

)

2

?

( ? 15 ) ? 4 ?
2

9 4

? 4

???????13 分

21.解: (1)由题可知点 AM ?

2 5

AB ,

????1 分

且可设 A( x 0 ,0) ,M( x , y ) ,B(0, y 0 ) ,
5 ? x0 ? x ? ? 3 则可得 ? , 5 ?y ? y ? 0 ? 2
x
2

???3 分

2 2 又 AB ? 5 ,即 x 0 ? y 0 ? 2 5 ,∴

?

y

2

? 1 ,这就是点 M 的轨迹方程。???5 分

9

4

(2)由(1)知 F1 为( ? 5 ,0) F 2 为( 5 ,0) , , 由题设 PQ 为 x ? m y ?
5,

???6 分

本卷第 7 页(共 8 页)

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?x ? my ? 5 ? 由? x2 y2 ? ?1 ? 4 ? 9

有 (4m ? 9) y ? 8 5m y ? 16 ? 0 ,
2 2

???7 分

设 P ( x1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,
8 5m 4m ? 9
2

则 ? ? 0 恒成立, y 1 ? y 2 ? ∴ S ? PQF = S ? P F F ? S ? Q F F =
2

且 y1 y 2 ?

?16 4m ? 9
2



???8 分

1 2

1

2

1

2

F1 F 2 ? ( y 1 ? y 2 )

= 5 ? y1 ? y 2 = 5 ? ( 令t ?
2

8 5m 4m ? 9
2

) ?
2

64 4m ? 9
2

= 24 5 ?
1 4t ? 5 t

m ?1
2

4m ? 9
2

???11 分

m ? 1 (t ? 1 ) ,则 S ? PQF 2 = 2 4 5 ?

? 6,

当且仅当 t ?

5 2

,即 m ? ?

1 2

时取“=”∴ S ? PQF 的最大值为 6,
2

???13 分

此时 PQ 的方程为 2 x ? y ? 2 5 ? 0 或 2 x ? y ? 2 5 ? 0

???14 分

本卷第 8 页(共 8 页)


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