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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教案 理 新人教A版


§4.4
2014 高考会这样考

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用

1.考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;2.结合三角恒等变换考查

y=Asin(ω x+φ )的性质和应用;3.考查给出图象的解析式.
复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图,抓住函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的特征;

2.理解三种图象变换,从整体思想和数形结合思想确定函数 y=Asin(ω x+φ )的性质.

1. 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点. 如下表所示.

x

0-φ ω 0

π -φ 2 ω π 2

π -φ ω π

3π -φ 2 ω 3π 2

2π -φ ω 2π

ω x+φ

y= Asin(ω x
+φ ) 0

A

0

-A

0

2. 函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤如下:

3. 图象的对称性 函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于直线 x=xk(其中 ω xk+φ =kπ + ,k∈Z)成轴 2 对称图形. (2)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于点(xk,0)(其中 ω xk+φ =kπ ,k∈Z)成中心对称 图形. [难点正本 疑点清源]

1

1. 作图时应注意的两点 (1)作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根 据周期性作出整个函数的图象. 2. 图象变换的两种方法的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0) (x∈R)的图 象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的伸缩量的 区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位,而先周期变换(伸缩 |φ | 变换)再平移变换,平移的量是 个单位. ω

π ?π ? 1. 已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ ? (|φ |< )的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最 2 ?3 ? 小正周期 T 和初相 φ 分别为__________. π 答案 6, 6 1 π 解析 由题意知 1=2sin φ ,得 sin φ = ,又|φ |< , 2 2 π ?π ? 得 φ = ;而此函数的最小正周期为 T=2π ÷? ?=6. 6 ?3? 2. (2012·浙江)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是 ( )

答案 A 横坐标伸长2倍 解析 y=cos 2x+1 ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变

y=cos x+1 ― ― ― ― ― ― ― ― ― →

向左平移1个单位长度

2

y=cos(x+1)+1

向下平移1个单位长度 ― ― ― ― ― ― ― ― → y=cos(x+1).

结合选项可知应选 A. π 3. (2011·大纲全国)设函数 f(x)=cos ω x (ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位 3 长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于 ( A. 1 3 ) B.3 C.6 D.9

答案 C π * 解析 由题意可知,nT= (n∈N ), 3 2π π * ∴n· = (n∈N ), ω 3 ∴ω =6n (n∈N ),∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6. π? π ? 4. 把函数 y=sin?5x- ?的图象向右平移 个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩 2? 4 ? 1 短为原来的 ,所得的函数 2 解析式为( ) 7π ? ? B.y=sin?10x- ? 2 ? ? 7π ? ? D.y=sin?10x- ? 4 ? ?
*

3π ? ? A.y=sin?10x- ? 4 ? ? 3π ? ? C.y=sin?10x- ? 2 ? ? 答案 D 解析 将原函数的图象向右平移

π ? ? π? π? 个 单 位 , 得 到 函 数 y = sin ?5?x- ?- ? = 4? 2? 4 ? ?

7π ? 1 ? sin?5x- ?的图象;再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,得到函数 y= 4 2 ? ? 7π ? ? sin?10x- ?的图象. 4 ? ? π 5. 已知简谐运动 f(x)=Asin(ω x+φ ) (|φ |< )的部分图象如图所示,则 2 该简谐 运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为 π A.T=6π ,φ = 6 π C.T=6,φ = 6 π B.T=6π ,φ = 3 π D.T=6,φ = 3
3

(

)

答案 C π 解析 由图象易知 A=2,T=6,∴ω = , 3 又图象过(1,2)点,∴sin?

?π ×1+φ ?=1, ? ?3 ?

π π π π ∴φ + =2kπ + ,k∈Z,又|φ |< ,∴φ = . 3 2 2 6

题型一 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及变换 例1 π? ? 已知函数 y=2sin?2x+ ?, 3? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? (3)说明 y=2sin?2x+ ?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ? 思维启迪:(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决. (2)五点法作图,关键是找出与 x 相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可. 解 π? 2π ? (1)y=2sin?2x+ ?的振幅 A=2,周期 T= =π , 3? 2 ?

π 初相 φ = . 3 π? π ? (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ?=2sin X. 3? 3 ? 列表,并描点画出图象:

x X y=sin X y=2sin?2x+ ? 3



π 6

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

0 0 π?

? ?

?

0

4

(3)方法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移

π ? π? 个单位,得到 y=sin?x+ ?的 3? 3 ?

1 ? π? 图象,再把 y=sin?x+ ?的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到 3 2 ? ?

y=sin?2x+ ?的图象, 最后把 y=sin?2x+ ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 3 3

? ?

π?

?

? ?

π?

?

π? ? 坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 1 方法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 2

y=sin 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin 2?x+ ?= 6

π 6

? ?

π?

?

π? π? ? ? sin?2x+ ?的图象;再将 y=sin?2x+ ?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标 3? 3? ? ? π? ? 伸长为原来的 2 倍,得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 探究提高 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法, 此法注意在作出一个周期上的简 图后,应向两端伸展一下,以示整个定义域上的图象; (2)变换法作图象的关键是看 x

? φ? 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 ω x+φ =ω ?x+ ?来确定平 ? ω?
移单位.

?1 π ? 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解 (1)列表取值:

x
1 π x- 2 4

π 2 0 0

3 π 2 π 2 3

5 π 2 π 0

7 π 2 3 π 2 -3

9 π 2 2π 0

f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

5

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 4 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. 题型二 求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式 例2 (1)(2011·江苏) 已知 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部

分图象如图所示,则 f(0)的值是______.

π (2)(2011·辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的部分图象 2 π 如图所示,则 f( )等于 24 ( )

A.2+ 3 C. 3 3

B. 3 D.2- 3

思维启迪:(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期;根据待定系数法求 φ . (2)将“ω x+φ ”看作一个整体放在一个单调区间内求解. 答案 (1) 6 2 (2)B

T 7π π π 解析 (1)由题图知 A= 2, = - = , 4 12 3 4
2π ∴T=π ,ω = =2. π

6

π π ∴2× +φ =2kπ +π ,k∈Z,∴φ =2kπ + (k∈Z). 3 3 π 令 k=0,得 φ = . 3 π? ? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin?2x+ ?, 3? ? ∴f(0)= 2sin π 6 = . 3 2

π 3 π π (2)由图形知,T= =2( π - )= ,∴ω =2. ω 8 8 2 3 3 由 2× π +φ =kπ ,k∈Z,得 φ =kπ - π ,k∈Z. 8 4 π π π 又∵|φ |< ,∴φ = .由 Atan(2×0+ )=1, 2 4 4 知 A=1,∴f(x)=tan(2x+ π ), 4

π π π π ∴f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 探究提高 根据 y=Asin(ω x+φ )+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面 来考虑: 最高点-最低点 ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 ②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω >0)来确定 ω ; ω ④φ 的确定: 由函数 y=Asin(ω x+φ )+k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标 φ φ 为- (即令 ω x+φ =0,x=- )确定 φ . ω ω π 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0, |φ |< , ω >0) 2 的图象 的一部分如图所示,则该函数的解析式为____________. π? ? 答案 f(x)=2sin?2x+ ? 6? ? 解析 观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上, 1 π π 11 ∴1=2sin(ω ·0+φ ),即 sin φ = .∵|φ |< ,∴φ = .又∵ π 是函数的一个零 2 2 6 12

7

点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零点,∴ π? ? 2sin?2x+ ?. 6? ? 题型三 三角函数模型的应用 例3

11π π ω + = 2π ,∴ω =2.∴f(x) = 12 6

如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 米,圆上最低点与地 面的距离为 0.8 米,且每 60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以

OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面间的距离为 h.
(1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求该缆车首次 到达最高点时所用的时间. 解 (1)过点 O 作地面的平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于

点 M(如图), π π 当 θ > 时,∠BOM=θ - , 2 2

h=OA+BM+0.8
π? ? =5.6+4.8sin?θ - ?. 2? ? π 当 0≤θ ≤ 时,上式也成立. 2 π? ? ∴h 与 θ 间的函数关系式为 h=5.6+4.8sin?θ - ?. 2? ? π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 弧度/秒, 30 π ∴t 秒转过的弧度数为 t, 30 π? ?π ∴h=5.6+4.8sin? t- ?,t∈[0,+∞). 2? ?30 首次到达最高点时,h=10.4 米, 即 sin?

?π t-π ?=1,π t-π =π , 2? 30 2 2 ?30 ?

即 t=30 秒时,该缆车首次到达最高点. 探究提高 本题属三角函数模型的应用,通常的解决方法:转化为 y=sin x,y=cos x 等函数解决图象、最值、单调性等问题,体现了化归的思想方法;用三角函数模型解决 实际问题主要有两种:一种是用已知的模型去分析解决实际问题,另一种是需要建立精 确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题,充 分体现了新课标中“数学建模”的本质.
8

如图所示,某地夏天从 8~14 时用电量变化曲线近 似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b,φ ∈(0,π ). (1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解 (1)最大用电量为 50 万度,最小用电量为 30 万度.

(2)观察图象,可知从 8~14 时的图象是 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象. 1 1 ∴A= ×(50-30)=10,b= ×(50+30)=40. 2 2

T 1 2π π ∴ =14-8= · ,∴ω = , 2 2 ω 6
∴y=10sin?

?π x+φ ?+40. ? ?6 ?

π 将 x=8,y=30 代入上式,解得 φ = , 6 π? ?π ∴所求解析式为 y=10sin? x+ ?+40,x∈[8,14]. 6? ?6

利用三角函数的性质求解析式

典例:(12 分)如图为 y=Asin(ω x+φ )的图象的一段. (1)求其解析式; (2)若将 y=Asin(ω x+φ )的图象向左平移 =f(x),求 f(x)的对称轴方程. 审题视角 (1)图象是 y=Asin(ω x+φ )的图象.(2)根据“五点法”作图的原则,M 可 以看作第一个零点;? 规范解答 解 (1)由图象知 A= 3, π 个单位长度后 6 得y

?5π ,0?可以看作第二个零点. ? ? 6 ?

?π ? ?5π ? 以 M? ,0?为第一个零点,N? ,0?为第二个零点.[2 分] ?3 ? ? 6 ?
π ? ?ω · 3 +φ =0, 列方程组? 5π ?ω · 6 +φ =π , ? ω =2, ? ? 解之得? 2π φ =- . ? 3 ?

[4 分]

9

2π ? ? ∴所求解析式为 y= 3sin?2x- ?.[6 分] 3 ? ?

? ? π ? 2π ? (2)f(x)= 3sin?2?x+ ?- ? 6? 3 ? ? ?
π? ? = 3sin?2x- ?,[8 分] 3? ? π π 5 kπ 令 2x- = +kπ (k∈Z),则 x= π + (k∈Z),[10 分] 3 2 12 2 ∴f(x)的对称轴方程为 x= 5 kπ π+ (k∈Z).[12 分] 12 2

答题模板 第一步:根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点. 第二步:将“ω x+φ ”作为一个整体,找到对应的值. 第三步:列方程组求解. 第四步:写出所求的函数解析式. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点及答题规范. 温馨提醒 (1)求函数解析式要找准图象中的“五点”,利用方程求解 ω ,φ ;(2)讨论 性质时将 ω x+φ 视为一个整体.

方法与技巧 1. 五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点 法”作正、余弦型函数图象时,应取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经 常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母

x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.
2. 由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ω x+φ )的图象确定 A、ω 、φ 的题型,常常以“五点法”中的第一个

? φ ? 零点?- ,0?作为突破口, 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 要善于抓住特 ? ω ?
殊量和特殊点. 3. 对称问题 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心, 经过该图象上坐标 为(x,±A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐
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标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离). 失误与防范 1. 由函数 y=sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,在具体问 题中,可先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩, 后平移时要把 x 前面的系数提取出来. 2. 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象和性质是本节考查的重点,也是高考热点,复习时尽可能 使用数形结合的思想方法,如求解对称轴、对称中心和单调区间等. 3. 注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的单 调区间的确定,基本思想是把 ω x+φ 看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是 一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

? π? 1. 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ (0≤φ <2π )个单位后,得到函数 y=sin?x- ?的 6? ?
图象,则 φ 等于 ( A. π 6 ) 5π B. 6 C. 7π 6 D. 11π 6

答案 D 解析 将函数 y=sin x 向左平移 φ (0≤φ <2π )个单位得到函数 y=sin(x+φ ).只有 11 ? 11 ? ? π? φ = π 时有 y=sin?x+ π ?=sin?x- ?. 6 ? 6? 6 ? ? π ? ?π ? ? 2. (2012·课标全国)已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,则 ω 4? ?2 ? ? 的取值范围是 ( )

?1 5? A.? , ? ?2 4?

?1 3? B.? , ? ?2 4?

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? 1? C.?0, ? ? 2?
答案 A 5 ?5 π ? 解析 取 ω = ,f(x)=sin? x+ ?, 4? 4 ?4

D.(0,2]

π 8 ?8 ? 其减区间为? kπ + , kπ +π ?,k∈Z, 5 5 5 ? ? π 8 ?π ? ?8 ? 显然? ,π ?? ? kπ + , kπ +π ?,k∈Z, 5 5 ?2 ? ?5 ? 排除 B,C. π? ? 取 ω =2,f(x)=sin?2x+ ?, 4? ? π 5 ? ? 其减区间为?kπ + ,kπ + π ?,k∈Z, 8 8 ? ? π 5 ? ?π ? ? 显然? ,π ?? ?kπ + ,kπ + π ?,k∈Z,排除 D. 8 8 ? ?2 ? ? π 3. 将函数 y=sin(x+φ )的图象 F 向左平移 个单位长度后得到图象 F′,若 F′的一个对 6

?π ? 称中心为? ,0?,则 φ 的一个可能取值是 ?4 ?
( A. π 12 ) π B. 6 C. 5π 6 D. 7π 12

答案 D

? π ? 解析 图象 F′对应的函数 y′=sin?x+ +φ ?, 6 ? ?
则 π π 5π + +φ =kπ ,k∈Z,即 φ =kπ - ,k∈Z, 4 6 12

7π 令 k=1 时,φ = ,故选 D. 12 π 4. 若函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R(其中 ω >0,|φ |< )的最小正周期是 π ,且 f(0) 2 = 3,则( ) 1 π B.ω = ,φ = 2 3 π D.ω =2,φ = 3

1 π A.ω = ,φ = 2 6 π C.ω =2,φ = 6 答案 D

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解析 ∵T=π ,∴ω =2. π π 又 2sin φ = 3,|φ |< ,∴φ = . 2 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 函数 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图象如 图所示,则 ω =________.

答案 3 3 2 2π 解析 由图象可以看出 T=π ,∴T= π = ,因此 ω =3. 2 3 ω π? ? ?π ? ?π ? ?π π ? 6. 已知 f(x)=sin?ω x+ ? (ω >0),f? ?=f? ?,且 f(x)在区间? , ?上有最小值, 3? ? ?6? ?3? ?6 3? 无最大值,则 ω =________. 答案 14 3

π π + 6 3 π 解析 依题意,x= = 时,y 有最小值, 2 4 π? π π 3π ?π ∴sin? ·ω + ?=-1,∴ ω + =2kπ + (k∈Z). 3? 4 3 2 ?4 14 π π ?π π ? ∴ω =8k+ (k∈Z),因为 f(x)在区间? , ?上有最小值,无最大值,所以 - 6 3 3 3 4 ? ? < π ,即 ω <12,令 k=0, ω

14 得ω= . 3 7. 设函数 f(x)=sin x-cos x,若 0≤x≤2 011π ,则函数 f(x)的各极值之和为________. 答案 2

? π ? 令 f′(x)=0,得 x=-π +kπ (k∈Z), 解析 f′(x)=cos x+sin x= 2sin?x+ ?, 4? 4 ? ? π? ∵f(x)= 2sin?x- ?, 4? ?
π? ? π ? ? π ∴f?- +kπ ?= 2sin?- +kπ - ? 4? ? 4 ? ? 4

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π? ? = 2sin?kπ - ?=- 2·cos kπ , 2? ? 当 k 为奇数时,函数取得极大值 2; 当 k 为偶数时,函数取得极小值- 2, 1 8 045 ∵0≤x≤2 011π ,∴ ≤k≤ , 4 4 ∴此函数在此区间上各极值的和为 2. 三、解答题(共 22 分) π? ? 8. (10 分)(2012·陕西)函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图象 6? ? π 相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π ? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?
解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π ,∴ω =2, π? ? ∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x- ?+1. 6? ? π? ?α ? ? (2)∵f? ?=2sin?α - ?+1=2, 6? ?2? ? π? 1 ? ∴sin?α - ?= . 6? 2 ? π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < , 2 6 6 3 π π π ∴α - = ,∴α = . 6 6 3

?x π ? ?x π ? 9. (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? + ?cos? + ?-sin(x+π ). ? 2 4 ? ?2 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6 π ]上的最大值和最小值. 解

? π? (1)因为 f(x)= 3sin?x+ ?+sin x 2? ?
14

= 3cos x+sin x=2?

1 ? 3 ? cos x+ sin x? 2 ?2 ?

? π? =2sin?x+ ?, 3? ?
所以 f(x)的最小正周期为 2π . π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6

? π? ? π? π ∴g(x)=f?x- ?=2sin[?x- ?+ ] 6 6? 3 ? ? ? ? π? =2sin?x+ ?. 6? ?
π ?π 7π ? ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , ?, 6 ? 6 ?6 π π π ? π? ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? 6 2 3 ? π 7π 1 ? π? 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1. 6? 6 6 2 ?

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π 1. 函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位,得到的图象恰好关于 x= 对称,则 6 φ 的最小值为 ( A. ) 5 π 12 11 B. π 6 C. 11 π 12 D.以上都不对

答案 A π 解析 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位得到 y=sin 2(x-φ )的图象, 又关于 x= 6 对称,则 2? π. π 4π 2. 设 ω >0,函数 y=sin(ω x+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 3 3

?π -φ ?=kπ +π (k∈Z),2φ =-kπ -π (k∈Z),取 k=-1,得 φ = 5 ? 2 6 12 ?6 ?

15

的最小值是 ( A. 2 3 ) 4 B. 3 C. 3 2 D.3

答案 C 4π 解析 由函数向右平移 个单位后与原图象重合, 3 得 ∴ 3. 4π 是此函数周期的整数倍.又 ω >0, 3 2π 4π 3 3 ·k= ,∴ω = k(k∈Z),∴ω min= . ω 3 2 2

电 流 强 度 I( 安 ) 随 时 间 t( 秒 ) 变 化 的 函 数 I = Asin(ω t + φ )(A>0 ,

π ω >0,0<φ < ) 2 的图象如右图所示,则当 t= A.-5 安 答案 A 1 秒时,电流强度是 100 C.5 3安 ( D.10 安 )

B.5 安

T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100
2π ∴ω = =100π .∴I=10sin(100π t+φ ).

T

? 1 ,10?为五点中的第二个点,∴100π × 1 +φ =π . ?300 ? 300 2 ? ?
π? π ? ∴φ = .∴I=10sin?100π t+ ?, 6? 6 ? 当 t= 1 秒时,I=-5 安. 100

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

?π ? ?π ? ?π ? 4. 若 f(x)=2sin(ω x+φ )+m 对任意实数 t 都有 f? +t?=f? -t?,且 f? ?=-3, 8 8 ? ? ? ? ?8?
则实数 m 的值等于________. 答案 -1 或-5 π π 解析 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是当 x= 时,函数 f(x)取 8 8 得最值,因此有±2+m=-3,解得 m=-5 或 m=-1. π π 5. 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,- ≤φ ≤ )的图象上的两个相邻的最高点和 2 2
16

1? ? 最低点的距离为 2 2,且过点?2,- ?,则函数解析式 f(x)=_______________. 2? ? 答案 sin?

?π x+π ? ? 6? ? 2 ?T?2+? 1+1? ?2? ? ?
2

解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 2,可得

=2 2,解得

T=4,故 ω =



T

1? π ?π x ? ? = ,即 f(x)=sin? +φ ?,又函数图象过点?2,- ?,故 f(2)= 2 2? 2 ? ? ?

1 π π π ?π x π ? sin(π +φ )=-sin φ =- , 又- ≤φ ≤ , 解得 φ = , 故 f(x)=sin? + ?. 6? 2 2 2 6 ? 2 6 . 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数 y = a +

?π ? Acos? ? x-6? ? (x=1,2,3,?,12,A>0)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高, ?6 ?
为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5 解析 由题意得?
? ?a+A=28, ?a-A=18, ?

∴?

? ?a=23, ?A=5, ?

?π ? ∴y=23+5cos? ? x-6? ?, ?6 ?
x=10 时,y=23+5×?- ?=20.5. 2
三、解答题 7 . (13 分 )(2012· 湖 南 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ω x + φ )(x∈R , π ω >0,0<φ < ) 2 的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式;

? 1? ? ?

? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x- ?-f?x+ ?的单调递增区间. ? 12? ? 12?
解 (1)由题设图象知,周期 T=2?

?11π -5π ?=π , 12 ? ? 12 ?

2π ?5π ,0?在函数图象上, 所以 ω = =2.因为点? ? T ? 12 ?

? 5π 所以 Asin?2× +φ 12 ?

?=0,即 sin?5π +φ ?=0. ? ? 6 ? ? ? ?

π 5π 5π 4π 又因为 0<φ < ,所以 < +φ < . 2 6 6 3

17

5π π 从而 +φ =π ,即 φ = . 6 6 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin π =1,解得 A=2. 6

π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ?

? ? π? π? ? ? π? π? (2)g(x)=2sin?2?x- ?+ ?-2sin?2?x+ ?+ ? ? ? 12? 6 ? ? ? 12? 6 ?
π? ? =2sin 2x-2sin?2x+ ? 3? ? 3 ?1 ? =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x- ?. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + , 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π 5π ? ? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 12 12 ? ?

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