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2016届高考数学二轮复习专题检测:三角函数、三角恒等变形、解三角形(含解析)


2016 届高考数学二轮复习专题检测:三角函数、三角恒等变形、解三角形
一、选择题: 1.(2015· 辽宁五校联考)已知 cos( 4 A.3 3 B.4

3 ? 3? ? ? ) ? , 且 ? ? ( , ), 则 tan ? ? ( 2 5 2 2 3 3 C.-4 D. ? 4

?

)

2.(2015· 襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角 x 的终边上一点的坐标为 (sin 正值为( 5π A. 6 ) 5π B. 3 11π C. 6 2π D. 3 )

5? 5? , cos ), 则角 x 的最小 6 6

3.(文)已知 tan 7 A.6 B.7

?
2

? 2, 则
6 C.-7

6 sin ? ? cos ? ?( 3 sin ? ? 2 cos ?
D.-7

(理)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x 且 f ?( x) ? 2 f ( x), f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,则 sin 2 x ? ( 1 A.3 3 B.-5 3 C.5 1 D.-3

)

4.下列函数中,其中最小正周期为 ? , 且图像关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是(

)

?
3

)

B. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

C. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D. y ? sin(

5.(文)(2015· 黄山模拟)为了得到函数 y ? sin( 2 x ? π A.左移4个长度单位 π B.右移4个长度单位

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin( 2 x ?
π C.左移2个长度单位

?
6

1 ? x? ) 2 6 ) 的图像(
)

π D.右移2个长度单位

π (理)(2015· 黄山模拟)将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移4个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图像对应的解 析式为( ) A. y ? sin( 2 x ?

?
4

) ?1

B. y ? cos 2 x

C. y ? 2 sin 2 x

D. y ? ? cos 2 x

6.

3 1 ? ?( 0 cos10 sin 700
B.2 C.-2

) D.-4 )

A.4

7.(2014· 合肥调研)在 ?ABC 中,若 sin( A ? B) ? 1 ? 2 cos(B ? C ) sin( A ? C ), 则 ?ABC 的形状一定是( A.等边三角形 B.不含 60°的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

8.(2015· 河南八校联考)将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个长度单位后, 所得到的 图像关于原点对称,则 m 的最小值是( π A.12 π B. 6 π C.3 2π D. 3
-1-

)

9.(2015· 济南一模) ?ABC 中 , A ? 300 , AB ? 3, BC ? 1, 则 ?ABC 的面积等于(

)

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4
)

10.(2015· 洛阳统考)设函数 f ( x) ?| cos x | ? | sin x |, 下列四个结论正确的是( ① f ( x) 是奇函数;② f ( x) 的图像关于 x ?

3? ? 对称;③当 x ? [0,2? ] 时, f ( x) ? [1, 2 ] ;④当 x ? [0, ] 时, 4 2

f ( x) 单调递增.
A.①③ B.②④ 二、填空题: C.③④ D.②③

11.已知 ? 为第二象限角,则 cos? 1 ? tan 2? ? sin ? 1 ?

1 ? ________. tan2?

12.(2014· 新课标Ⅱ)函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2 sin ? cos(x ? ? ) 的最大值为________. 13. (2015· 九江模拟) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? 若 f ( x) 的值域是 [?

?
6

), 其中 x ? [ ?

?
6

,? ] . 当? ?

?
3

时, f ( x) 的值域是________;

1 ,1], 则 ? 的取值范围是________. 2
2

14. ?ABC 中 , A 满足条件 3 sin A ? cos A ? 1, AB ? 2cm, BC ? 2 3cm, 则 A ? _____, S ?ABC ? ____ cm . π 15.把函数 y ? sin 2 x 的图像沿 x 轴向左平移 6 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍( 横坐标不变 )后得到函数

y ? f ( x) 图像,对于函数 y ? f ( x) 有以下四个判断:
①该函数的解析式为 y ? 2 sin( 2 x ? ③该函数在 [0,

?

?

) ;②该函数图像关于点 ( ,0) 对称; 6 3

?

] 上是增函数;④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0, ] 上的最小值为 3, 则 a ? 2 3 . 6 2

?

其中,正确判断的序号是________. 三、解答题: 16.(文)已知关于 x 的方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos? , 且 ? ? (0,2? ), 求: (1)

sin 2? cos ? ? 的值;(2) m 的值;(3)方程的两根及此时 ? 的值. sin ? ? cos ? 1 ? tan ?

(理)已知函数 f ( x) ? ? cos2 x ? sin x ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小值;(2)若 f (? ) ?

5 , 求 cos 2? 的值. 16

17.(文)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? 2 .

-2-

(1)求 f ( ) 的值;(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

?

4

(理)已知向量 a ? (2 sin x, 3 cos x), b ? (sin x,2 sin x), 函数 f ( x) ? a? b . (1)求 f ( x) 的单调递增区间;(2)若不等式 f ( x) ? m, 对 x ? [0,

?

?

? ?

?
2

] 都成立,求实数 m 的最大值.

18.在 ?ABC 中 , a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C . (1)求 A 的大小;(2)若 sin B ? sin C ? 1, 试判断 ?ABC 的形状. 19.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的图像与 y 轴的交点为 (0,1), 它在 y 轴右侧的第一

个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 2? ,?2) .

(1)求函数 f ( x) 的解析式及 x0 的值;(2)若锐角 ? 满足 cos ? ?

1 , 求 f (4? ) 的值. 3

20.文)(2014· 重庆高考)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? b ? c ? 8 . (1)若 a ? 2, b ?

5 A 9 2 B , 求 cos C 的值; ? sin B cos 2 ? 2 sin C , 且 S ?ABC ? sin C , 求 a , b 的值. (2)若 sin A cos 2 2 2 2

(理)(2014· 浙江高考)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? b, c ? 3, cos2 A ? cos2B

? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B .
(1)求角 C 的大小;(2)若 sin A ? 21.(文)已知函数 g ( x) ?

4 , 求 ?ABC 的面积. 5

? 1 3 1 3 ? sin x cos x ? sin 2 x, 将其图像向左移 个单位,并向上移 个单位,得到 2 4 4 2 2

函数 f ( x) ? a cos 2( x ? ? ) ? b(a ? 0, b ? R, | ? |?

?
2

) 的图像.

(1)求实数 a, b, ? 的值;(2)设函数 ? ( x) ? g ( x) ? 3 f ( x), x ? [0, (理)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin(x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T;

?
2

], 求函数 ? ( x) 的单调递增区间和最值.

?
3

)?

3 . 2

2 (2)若 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 b ? ac, 且边 b 所对角为 B, 试求 cos B 的取值范围,并确定此时 f ( B ) 的最大值.

-3-

一、选择题: 1.B 2.B 3.(文) A (理) C 4.B 5.(文) B (理) C 6.D 7. D 8.D 9. D 10.D 二、填空题: 11.0 12.1 1 π π 13.[-2,1] [6,2] 2π 14. 3 3 15.②④

16. (文)[ (1)

3+1 3 π π (2) 2 (3)θ=6或 θ=3. 2

1 7 (理)(1)-4. (2) 8. π 3π 17. (文)[ (1) 1 (2) T=π.单调增区间为*kπ-3,kπ+ 8 ],k∈Z. π π (理) (1)单调增区间是*kπ-6,kπ+3](k∈Z) (2)m 的最大值为 0. 18.(1) A=120° (2)等腰的钝角三角形. T 2π 1 1 19.[解析] (1)∵由题意可得 A=2,2=2π,即 T=4π,∴ ω =4π,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ). π π 1 π 由图像经过点(0,1)得,f(0)=2sinφ=1,又|φ|<2,∴φ=6.故 f(x)=2sin(2x+6). 1 π 1 π π 2π 又 f(x0)=2sin(2x0+6)=2,∴2x0+6=2kπ+2(k∈Z),∴x0=4kπ+ 3 (k∈Z), 2π 根据图像可得 x0 是最小的正数,∴x0= 3 . π (2)由(1)知,f(4θ)=2sin(2θ+6)= 3sin2θ+cos2θ. π 1 2 2 ∵θ∈(0,2),cosθ=3,∴sinθ= 3 , 7 4 2 ∴cos2θ=2cos2θ-1=-9,sin2θ=2sinθcosθ= 9 , 4 2 7 4 6 7 4 6-7 ∴f(4θ)= 3× 9 -9= 9 -9= 9 . 5 5 7 20. (文)[解析] (1)∵a+b+c=8,a=2,b=2,∴c=8-2-2=2. a2+b2-c2 由余弦定理,得 cosC= = 2ab 25 49 4+ 4 - 4 1 =- 5 5. 2×2×2

B A (2)由 sinAcos22+sinBcos22 =2sinC,可得 1+cosB 1+cosA sinA· 2 +sinB· 2 =2sinC, 化简得:sinA+sinB+sin(A+B)=4sinC,即 sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可得 a+b=3C. 又 a+b+c=8,∴a+b=6 ① 1 9 又面积 S=2absinC=2sinC,∴ab=9 ②
-4-

解①②得 a=3,b=3. (理)[解析] sin2B, 1 3 1 3 π π ∴2cos2A- 2 sin2A=2cos2B- 2 sin2B,即 sin(-6+2A)=sin(-6+2B), π π π π 2π ∴-6+2A=-6+2B 或-6+2A-6+2B=π,即 A=B 或 A+B= 3 , 2π π ∵a≠b,∴A+B= 3 ,∴∠C=3. 3 3+4 3 1 (2)由(1)知 sinC= 2 ,cosC=2,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 10 a c 由正弦定理得:sinA=sinC, 4 8 又∵c= 3,sinA=5.∴a=5. 18+8 3 1 ∴S△ABC=2acsinB= 25 . 1 π 21.(文)[解析] (1)依题意化简得 g(x)=2sin(3-2x), 1 π π 1 1 π 1 1 2π 1 π 平移 g(x)得 f(x)=2sin(3-2(x+4))+2=2sin(-2x-6)+2=2cos(2x+ 3 )+2=cos2(x+3) π ∴a=1,b=0,φ=3. 1 2π 3 2π 3 π 3 (2)φ(x)=g(x)- 3f(x)=2sin(2x+ 3 )- 2 cos(2x+ 3 )- 2 =sin(2x+3)- 2 , π π π 由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ(k∈Z)得 π π π -12+kπ≤x≤12+kπ,(k∈Z),因为 x∈[0,2], π 所以当 k=0 时,在[0,12]上单调增, π 3 ∴ φ(x)的单调增区间为[0,12], 值域为[- 3,1- 2 ], 3 故 φ(x)的最小值为- 3,最大值为 1- 2 . π 3 π π 3 1 3 3 (理)[解析] (1)f(x)=2cosx· sin(x+3)- 2 =2cosx(sinxcos3+cosxsin3)- 2 =2cosx(2sinx+ 2 cosx)- 2 1+cos2x 3 1 3 1 3 π =sinxcosx+ 3cos2x- 2 =2sin2x+ 3· 2 - 2 =2sin2x+ 2 cos2x=sin(2x+3). 2π 2π ∴T=|ω|= 2 =π. a2+c2-b2 a2+c2-ac a2+c2 1 2ac 1 1 (2)由余弦定理 cosB= 及 b2=ac 得,cosB= = 2ac -2≥2ac-2=2, 2ac 2ac 1 ∴2≤cosB<1,
-5-

1 1 3 3 (1)由已知 cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB 得.2(1+cos2A)-2(1+cos2B)= 2 sin2A- 2

π π 而 0<B<π,∴0<B≤3.函数 f(B)=sin(2B+3), π π ∵3<2B+3≤π, π π π ∴当 2B+3=2,即 B=12时,f(B)max=1.

-6-


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