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2017届一轮复习北师大版 导数的概念及运算(理) 课件


第二章 函数、导数及其应用

第二章 第十讲 导数的概念及运算(理)

1

知识梳理· 双基自测

3

纠错笔记· 状元秘籍

2

考点突破· 互动探究

4

课 时 作 业

知识梳理· 双基自测

●知识梳理
平均变化率
f?x2?-f?x1? x2-x1 ,若Δx 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为____________
Δy =x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为______. Δx
2. 导数的概念 Δy 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δx lim = →0 Δx f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx ____________________ , 称其为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f ′(x0)或 y′|x=x0.

3. 导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)
在 x = x0 处 的 切 线 的 斜 率 . 相 应 地 , 切 线 方 程 为 y -f(x0)=f ′(x0)(x-x0) ______________________. 4. 导函数 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在

区间(a,b)内可导. 这样,对开区间(a,b)内每一个值x,都对应
f ′(x) 一个确定的导数f ′(x). 于是在区间(a,b)内_________ 构成一个 新的函数,我们把这个函数称为函数 y = f(x) 的导函数,记为 f ′(x)或y′.

5. 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=xn(n∈N+) f(x)=xu(x>0,μ≠0且μ∈Q) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax (a>0,a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,a≠1,x>0) 导函数 f ′(x)=0 nxn-1 ,n为正整数 f ′(x)=_______ μ-1 f ′(x)=μx _______ ,μ为有理数 cosx f ′(x)=__________ -sinx f ′(x)=__________ axlna f ′(x)=__________ x e f ′(x)=__________ 1 xlna f ′(x)=__________ 1 f ′(x)=__________ x

f(x)=lnx

6. 导数的运算法则 f′(x)±g′(x) ; (1)[f(x)±g(x)]′=______________
f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)·g(x)]′=______________________ ;
f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? 2 f ? x? [ g ? x ? ] (3)[ ]′=______________________ (g(x)≠0). g?x?

7. 复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间 y′u·u′x ,即y对x的导数等于__________ y对u 的导 的关系为y′ =__________
x

u对x 的导数的乘积. 数与__________

●双基自测
1. 下 列 结 论 正 确 的 打 “√” , 错 误 的 打 “×”. 导学号 25400455 (1)f ′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率. ( (2)f ′(x0)是导函数 f ′(x)在 x=x0 处的函数值. ( =0. ( ) ) )

(3)对于函数 f(x)=-x2+3x, 由于 f(1)=2, 所以 f ′(1)=2′

(4)物体的运动方程是 s=-4t2+16t, 则该物体在 t=0 时刻 的瞬时速度是 0. ( 线相同. ( )
2

)

(5)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与过点 P(x0,y0)的切 1 (6)[(2x+1) ln(2x+1)] ′=2(2x+1)· =2. ( 2x+1

)

[答案] (1)×

(2)√ (3)×

(4)× (5)× (6)×

2. (选修 2-2P10T2 中题目改编)在高台跳水运动中,t s 时 运动员相对于水面的高度(单位: m)是 h(t)=-4. 9t2+6. 5t+10. 则 运 动 员 的 速 度 v = ________ , 加 速 度 a = ________. 导学号 25400456

[答案] -9. 8t+6. 5

-9. 8

π 3. (选修 2-2P18 练习 BT2 改编)f(x)=cosx 在点(2,0)处的 切线的倾斜角为________. 导学号 25400457

[ 答案]

3 4π

4. 下 列 函 数 求 导 运 算 正 确 的 个 数 是 导学号 25400458 ( ) 1 ①(3 )′=3 log3e;②(log2x)′=xln2;③(e-x)′=-e-x;
x x

1 ④(lnx)′=x;⑤(x· ex)′=ex+1;⑥[ xsin(2x+5)] ′=2xsin(2x +5). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[答案] B [解析] ②③正确,①④⑤⑥都不正确,故选B.

5. (2015· 天津)已知函数 f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f ′(x)为 f(x)的导函数. 若 f ′(1)=3,则 a 的值为 ________. 导学号 25400459

[答案] 3
[ 解析] 1 f ′(x)=a(lnx+x· x )=a(lnx+1),因为 f ′(1)=3,

所以 f ′(1)=a=3.

6. (2015~2016 学年重庆南开中学高三月考试题)曲线 y= x3 - 2x 在 点 (1 , - 1) 处 的 切 线 方 程 是 ________. 导学号 25400460

[答案] x-y-2=0 [解析] 根据导数的几何意义求出函数在 x=1处的导数,

从而得到切线的斜率,再利用点斜式方程写出切线方程即可.
y′=-2+3x2,y′|x=-1=1, 而切点的坐标为(1,-1), ∴曲线y=x3-2x在x=1的处的切线方程为x-y-2=0, 故答案为:x-y-2=0.

[点拨]

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方

程,考查运算求解能力,属于基础题.

考点突破· 互动探究

导数的计算
(1)求下列各函数的导数: 导学号 25402987 ①y=(x+1)(x+2)(x+3); x 2x ②y=-sin2(1-2cos 4); 1 1 ③y= + ; 1- x 1+ x ④y=ln(2x+5). (2)(2015· 甘肃兰州基础过关 ) 已知函数 f(x) 的导函数为 f 1 3 x-1 ′(x),且满足 f(x)=f ′(1)e -f(0)x+3x ,则 f(x)=________. 导学号 25400461

[ 解析]

(1)①(分割技巧)方法一:

∵y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二: y′ = [(x + 1)(x + 2)] ′(x + 3) + (x + 1)· (x + 2)(x + 3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′] (x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.

x x 1 ②(转化技巧)∵y=-sin2(-cos2)=2sinx, 1 1 1 ∴y′=(2sinx)′=2(sinx)′=2cosx. 1 1 2 ③(转化技巧)∵y= + = , 1- x 1+ x 1-x -2?1-x?′ 2 2 ∴y′=( )′= = . 1-x ?1-x?2 ?1-x?2 ④(拆分技巧)设 y=lnu,u=2x+5,则 y′x=y′u· u′x, 1 2 ∴y′= · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5

(2)由 f(x)=f ′(1)e

x-1

1 3 -f(0)x+3x ,

得 f ′(x)=f ′(1)ex-1-f(0)+x2. 令 x=1,得 f(0)=1. 在 f(x)=f ′(1)e
-1

x-1

1 3 -f(0)x+3x 中, 取 x=0, 得 f(0)=f ′(1)e
x

1 3 =1,所以 f ′(1)=e,所以 f(x)=e -x+3x .

[ 答案]

3 x (2)ex-x+ 3

[规律总结] 导数计算的原则和方法
(1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导 的函数的和、差、积、商,再求导. (2)方法: ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;

②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较
为简单的分式函数,再求导;

③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式, 再求导; ⑥复合函数:由外向内,层层求导.

π (1)( 改 编 题 ) 函 数 y = sin (2x + 3 ) 的 导 数 为 ________.
2

导学号 25400462 (2)(原创题)f(x)=x(2 016+lnx),若 f ′(x0)=2 017,则 x0 = 导学号 25400463 ( A. e2 C. ln2 ) B. 1 D. e

(3)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x -a2)?(x-a8),则 f ′(0)= 导学号 25400464 ( A. 26 C. 212 B. 29 D. 215 )

[ 答案]

2π (1)2sin(4x+ 3 ) (2)B (3)C

[ 分析] (1)思路一 → 得出结论 思路二 选择中间变量 → 运用导数公式逐层求导 运用导数公式和运算法则进行求导

→ 得出结论 利用f ′?x0?=2 017 (2) 求出f ′?x? → → 求解 建立关于x0的方程 (3)将 f(x)分解为 x 与(x-a1)(x-a2)?(x-a8)的形式,把(x -a1)(x-a2)?(x-a8)看作一个整体.

[ 解析]

π π (1)解法一:y′=2sin(2x+3)· [sin(2x+3)]′

π π π =2sin(2x+3)· cos(2x+3)· (2x+3)′ π π 2π =4sin(2x+3)cos(2x+3)=2sin(4x+ 3 ). π 解法二:设 y=u ,u=sinv,v=2x+3,则
2

y′ = yu′· uv′· vx′ = 2u· cosv· 2 = 4sinvcosv = 4sin(2x + π π 2π 3)cos(2x+3)=2sin(4x+ 3 ).

1 (2)f ′(x)=2 016+lnx+x×x =2 017+lnx, 故由 f ′(x0)=2 017 得 2 017+lnx0=2 017,则 lnx0=0,解得 x0=1. (3)因为 f ′(x)=x′· [(x-a1)(x-a2)…(x-a8)] +[(x-a1)· (x - a2)…(x - a8)] ′· x = (x - a1)(x - a2)?(x - a8) + [(x - a1)(x - a2)…(x-a8)] ′· x, 所以 f ′(0)=(0-a1)(0-a2)?(0-a8)+0=a1a2?a8. 因为数列{an}为等比数列,所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8= 8,所以 f ′(0)=84=212.

导数几何意义的应用
2 014π (1)(原创题)已知点 P( 3 ,-1)在函数 f(x) 3π = acosx 的图象上,则该函数图象在 x = 4 处的切线方程是 导学号 25400465 ( ) 4-3π B. 2x- 2y+ 2 =0 4-3π D. 2x+ 2y- 2 =0

4-3π A. 2x+ 2y+ 2 =0 4-3π C. 2x- 2y- 2 =0

(2)(2015· 新课标全国Ⅱ,文)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1) 处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________. 导学号 25400466

[ 分析]

把点P的坐标代入函数f?x? (1) 的解析式中,求得a的值

由直线方程 求出切点坐标及在 → → 的点斜式写 该点处导函数的值 出切线方程

[ 解析]

2 014π (1)由点 P 在函数 f(x)的图象上可得 f( 3 )=-

2 014π π a 1, 即 acos 3 =acos(671π+3)=-2=-1, 解得 a=2. 故 f(x) 3π 3π =2cosx. 则 f( 4 )=2cos 4 =- 2,f ′(x)=-2sinx. 3π 由导数的几何意义可知,该函数图象在 x= 4 处的切线斜 3π 3π 率 k=f ′( 4 )=-2sin 4 =- 2,所以切线方程为 y-(- 2) 4-3π 3π =- 2(x- 4 ),即 2x+ 2y+ 2 =0.

1 (2)通解 ∵y′=1+x , ∴y′|x=1=2, ∴y=x+lnx 在点(1,1) 处的切线方程为 y-1=2(x-1),∴y=2x-1. 又切线与曲线 y =ax2+(a+2)x+1 相切,当 a=0 时,y=2x+1 与 y=2x-1 平 行,故
2 ? ?y=ax +?a+2?x+1, a≠0,由? ? ?y=2x-1,

得 ax2+ax+2=0,∵

Δ=a2-8a=0,∴a=8.

优解

1 ∵y′=1+x ,∴y′|x=1=2,∴y=x+lnx 在点(1,1)

处的切线方程为 y-1=2(x-1),∴y=2x-1,又切线与曲线 y =ax2+(a+2)x+1 相切,当 a=0 时,y=2x+1 与 y=2x-1 平 行,故 a≠0. ∵y′=2ax+(a+2),∴令 2ax+a+2=2,得 x 1 1 =-2,代入 y=2x-1,得 y=-2,∴点(-2,-2)在 y=ax2 12 1 +(a+2)x+1 的图象上,故-2=a×(-2) +(a+2)×(-2)+1, ∴a=8.

[答案] (1)A (2)8

[规律总结] 导数几何意义的应用及解法 (1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值:k=f

′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f ′(x1)=k. (3) 求过某点 M(x1 , y1) 的切线方程时,需设出切点 A(x0 ,

f(x0)) ,则切线方程为 y -f(x0) = f ′(x0)(x - x0) ,再把点 M(x1 ,y1)
代入切线方程,求x0. (4) 根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点 P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解. 提醒:当切线方程中 x( 或 y) 的系数含有字母参数时,则切

线恒过定点.

(1)(2015· 陕西质检一)已知直线 y=-x+m 是曲线 y=x2- 3lnx 的一条切线,则 m 的值为 导学号 25400467 ( A. 0 C. 1 B. 2 D. 3 )

(2)(2015· 河南郑州二测)如图, y=f(x)是可导 函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导 函数,则 g′(3)= 导学号 25400468 ( A. -1 C. 2 B. 0 D. 4 )

[答案] (1)B (2)B
[ 解析] (1)因为直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3lnx 的切线, 3 3 所以令 y′=2x- x=-1, 得 x=1, x=-2(舍去), 即切点为(1,1), 又切点(1,1)在直线 y=-x+m 上,所以 m=2,故选 B. 1 (2)由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于-3, 1 即 f ′(3)=-3. 又 g(x)=xf(x),g′(x)=f(x)+xf ′(x),g′(3) 1 =f(3)+3f ′(3), 由题图可知 f(3)=1, 所以 g′(3)=1+3×(-3) =0.

导数几何意义应用的创新问题
(2014· 陕西)如图, 修建一条公路需要一段环湖弯 曲路段与两条直道平滑连接(相切). 已知环湖弯曲路段为某三次 函 数 图 象 的 一 部 分 , 则 该 函 数 的 解 析 式 为 导学号 25400469 ( ) 1 3 1 2 A. y=2x -2x -x 1 3 1 2 B. y=2x +2x -3x 1 3 C. y=4x -x 1 3 1 2 D. y=4x +2x -2x

[ 解析]

解法一

由题意可知, 该三次函数满足以下条件:

过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切线方程为 y=-x,在(2,0)处的 1 3 切线方程为 y=3x-6,以此对选项进行检验. A 选项,y=2x 1 2 3 2 -2x -x,显然过两个定点,又 y′=2x -x-1,则 y′|x=0= -1,y′|x=2=3,故条件都满足,由选择题的特点知应选 A.

解法二

设该三次函数为 f(x)=ax3+bx2+cx+d,

则 f ′(x)=3ax2+2bx+c, ? ?f?0?=0?d=0 ?f?2?=0?8a+4b+2c+d=0 由题设有? ?f ′?0?=-1?c=-1 ? ?f ′?2?=3?12a+4b+c=3 1 =-2,c=-1,d=0. 1 3 1 2 故该函数的解析式为 y=2x -2x -x,选 A.

1 ,解得 a=2,b

[答案] A

[规律总结]

(1)准确转化:解决此类问题时,一定要读懂

题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进行恰当 转化,切忌同已有概念或定义相混淆. (2)方法选取:对于导数几何意义的应用中的创新问题,可 恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法,同时结合导

数的几何意义求解,以此培养学生领悟新信息、运用新信息的
能力.

(2014· 陕西)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行, 从距着陆点 A 的 水平距离 10 千米处开始下降,已知 下降飞行轨迹为某三次函数图象的 一部分,则该函数的解析式为 导学号 25400470 ( 1 3 3 A. y=125x -5x 3 3 C. y=125x -x [答案] A 2 3 4 B. y=125x -5x 3 3 1 D. y=-125x +5x )

[ 解析]

设所求函数解析式为 y=f(x), 由题意知 f(5)=-2,

1 3 3 f(-5)=2,且 f ′(± 5)=0,代入验证易得 y=125x -5x 符合题 意,故选 A.

纠错笔记· 状元秘籍

易错点 线”致误

混淆 “ 在某点处的切线 ” 与 “ 过某点的切
若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2

15 + 4 x-9 都相切,则 a 等于 导学号 25400471 ( 25 A. -1 或-64 7 25 C. -4或-64 21 B. -1 或 4 7 D. -4或 7

)

[ 错因分析 ] 点而失误.

没有对点 (1,0) 的位置进行分析,误认为是切

[ 正解]

因为 y=x3,所以 y′=3x2,

设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0), 则在该点处的切线斜率为 k=3x2 0,
2 2 3 所以切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0.

3 又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=2. 15 25 当 x0=0 时, 由 y=0 与 y=ax + 4 x-9 相切可得 a=-64,
2

3 27 27 15 2 当 x0=2时,由 y= 4 x- 4 与 y=ax + 4 x-9 相切,可得 a=-1.

[答案] A

[状元秘籍]

(1)对于曲线切线方程问题的求解,对曲线的

求导是一个关键点,因此求导公式,求导法则及导数的计算原 则要熟练掌握. (2)对于已知的点,应首先确定其是否为曲线的 切点,进而选择相应的方法求解.

(2015· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点 (1, f(1))处的切线过点(2,7), 则 a=________. 导学号 25400472

[答案] 1

[解析]

因为f(x)=ax3+x+1,所以f ′(x)=3ax2+1,所以

f(x) 在点 (1 , f(1)) 处的切线斜率为 k = 3a + 1 ,又 f(1) = a + 2 ,所 以切线方程为 y - (a + 2) = (3a + 1)(x - 1) ,因为点 (2,7) 在切线 上,所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1.

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