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高中数学 第2章 基本初等函数(1)(1.1 指数与指数幂的运算 第3课时)示范教案


河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修 1 第 2 章 基本初等函 数(1)-1.示范教案(1.1 指数与指数幂的运算 第 3 课时)

导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就 推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过 程,自然数到整数,整数到分数(有

理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过 程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主 要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函 数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数 ,如一次函 数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着 科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的 知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到 实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂 课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2 =1.414 213 56?,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,?,是 2 的什么近 似值?而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,?,是 2 的什么近似值? ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

2 的过剩近似值 5
1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563

5

2

的近似值

11.18033989 9.82935328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.73817752

5

2

的近似值

2 的不足近似值
1

9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5
2

1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 213 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562

,根据你学过的知识,能作出判

断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动: 教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以 解释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2 的方向,另一方面从小于 2 的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨论结果:①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,?这些数都小于 2 ,称 2 的不足近似值,而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,?,这些数都大于 2 ,称 2 的过剩近似值. ②第一个表:从大于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2 2

就从 5 ,5

1.5

1.42

,5

1.415

,5

1.4143

,5

1.41422

,?,即大于 5

2

.
2

第二个表:从小于 2 的方向逼近 2 时,5 于5
2

就从 5 ,5 1,5 14,5 14 2,5 14 21,?,即小

1.4

1.4

1.4

1.4

1.4

的方向逼近 5

2

.
2

从另一角度来看这个问题 , 在数轴上近似地表示这些点 ,数轴上的数字表明一方面 5 5 ,5 1,5 14,5 14 2,5 14 21,?,即小于 5 5 ,5 5
2
1.5 1.42 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4

从 从

2

的方向接近 5
2

2

, 而另一方面 5

2

,5

1.415

,5

1.4143

,5

1.41422

,?,即大于 5
2

2

的方向接近 5
1.4 1.4

,可以说从两个方向无限地接近
1.4 1.4 1.4

,即逼近 5

2

,所以 5

是一串有理数指数幂 5 ,5 1,5 14,5 14 2,5 14 21,?,和另

2

一串有理数指数幂 5 ,5

1.5

1.42

,5

1.415

,5
2

1.4143

,5

1.41422

,?,按上述变化规律变化的结果,事实上表示

这些数的点从两个方向向表示 5 论 是 21<?<5 5
2 2

的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结 5 <5 1<5 14<5 14
1.4 1.4 1.4 1.4

一 定 是 一 个 实 数 , 即
1.41422

2<5 14

1.4

<?<5
2

<5

1.4143

<5

1.415

<5

1.42

<5 .

1.5

充分表明 5

是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 5
2

是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义: α 一般地,无理数指数幂 a (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在 数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知 道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂. 提出问题 (1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? (2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? (3)你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. α 对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 a (a>0,α 是无理数)是一 个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似 ,并且相 通. 对问题 (3) 有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. α 讨论结果: (1)底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 a 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造 α 成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 a 是一个确定的实数,就不会再造成混乱. (2) 因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理 数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到 无理数指数幂的运算法则: r s r+s ①a ·a =a (a>0,r,s 都是无理数). r s rs ②(a ) =a (a>0,r,s 都是无理数). r r r ③(a·b) =a b (a>0,b>0,r 是无理数). (3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: r s r+s ①a ·a =a (a>0,r,s∈R). r s rs ②(a ) =a (a>0,r,s∈R). r r r ③(a·b) =a b (a>0,b>0,r∈R). 应用示例

3

思路 1 例 1 利用函数计算器计算.(精确到 0.001) (1)0.3 ;(2)3.14 ;(3)3.1 ;(4) 3
2.1 -3

3 4

3

.

活动:教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出 数值,对于(1),可先按底数 0.3,再按 对于(2),先按底数 3.14,再按 对于(3),先按底数 3.1,再按 键,再按幂指数 2.1,最后按 键,再按 3,最后按 即可; 键,再按 3,最后按 键 .有 ,即可求得它的值; 即可;

键,再按负号

键,再按 3

4,最后按

对于(4),这种无理指数幂,可先按底数 3,其次按 键,再按 时也可按 或 键,使用键上面的功能去运算.

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 2.1 -3 答案: (1)0.3 ≈0.080;(2)3.14 ≈0.032;
3

(3)3.1 4 ≈2.336;(4) 3

3

≈6.705.

点评: 熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现 代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后 n 位,只需看第(n+1)位能否进位即 可. 例 2 求值或化简.
?4 2 3 2 (1) a b ab (a>0,b>0);

1 ? (2)( ) 2 4

1

( 4ab?1 ) (0.1) (a b )
?2 3 1 ?3 2

(a>0,b>0);

(3) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . 活动: 学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式 子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便 于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数 幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3) 有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把 5,7,6 拆 成( 3 ) +( 2 ) ,2 +( 3 ) ,2 +( 2 ) ,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规
2 2 2 2 2 2

律.
?4 2 3 2 -2 解:(1) a b ab = a 2 b 2 (a 3 b 3 ) 2 =a ba 6 b 3 =a

?

4

2

1

2

1

1

1

?

11 6

4

3 6

b3 =

b4 a 11

.

点评:根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表 示.

4

1

3
3 3 3 3

1 ? (2)( ) 2 4

1

( 4ab?1 ) 3 (0.1) (a b )
?2 3 1 ?3 2

42 ? 42 2 ?2 ?2 2 4 0 0 4 = a a b b = ab= . 25 25 10 2

点评: 化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一 个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)

5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2
2 2 2

= ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 ) = 3 - 2 +2- 3 -2+ 2

=0. 点评:考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用. 例 3 已知 x=

1 n ?n * 2 n (5 -5 ),n∈N ,求(x+ 1 ? x ) 的值. 2
1

1

1

活动:学生思考,观察题目的特点 ,从整体上看 ,应先化简 ,然后再求值, 要有预见性 ,5 n 与 5
? 1 n

具有对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,

必要时给予提示. x=
2

? 1 n ?n 2 1 2 0 (5 -5 ) = (5 n -2·5 +5 n ) 4 4 2

1

1

2

=

? 1 2 (5 n +2+5 n -4) 4 1 1

? 1 2 = (5 n +5 n ) -1. 4

这时应看到 1+x =1+
2

1 n ?n 2 1 n ?n 2 ( -5 ) = (5 +5 ) , 4 4
2

1

1

1

1

这样先算出 1+x ,再算出 1 ? x ,带入即可.
2
? ? ? 1 1 2 2 2 1 n 解:将 x= (5 n -5 n )代入 1+x ,得 1+x =1+ (5 n -5 n ) = (5 n +5 n ) , 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1

? ? 1 n 1 (5 ? 5 n ) 2 ]n 所以(x+ 1 ? x ) =[ (5 n -5 n )+ 4 2

1

1

2

n

5

? ? 1 1 n n =[ (5 n -5 n )+ (5 n +5 n )] =(5 n ) =5. 2 2

1

1

1

1

1

点评:运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 思路 2 例 1 计算:(1) 6
2 3

1 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 ; 4 8
1 1

1 -2 1 ?3 (2)125 +( ) +343 3 -( ) ; 2 27
(3)(-2x y
1 1 1 4 ? 1 3

)(3x y );
1 1

1 2

2 3

(4)(x 2 -y 2 )÷(x 4 -y 4 ). 活动: 学生观察、 思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识, 教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行 ,对(2)充分利用指数幂 的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行 ,对(4)要利用平方差公 式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解:(1) 6
1

1 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 4 8
1 1

=(

25 2 27 3 1 ) +( ) +(0.062 5) 4 +14 8 2
4? 5 2 1 3 3? 3 1 ) × +( ) +(0.5) 4 + 2 2 2 2 1 1

=(

=

5 3 1 + +0.5+ 2 2 2
2

=5; (2)125 3 +(
2
3 -1 -2 3

1 -2 1 ?3 ) +343 3 -( ) 2 27
1
-3

1

1

=(5 ) 3 +(2 ) +(7 ) 3 -(3 ) =5
3? 2 3

?

1 3

+2

-2×(-1)

+7

3?

1 3

-3
1 2

1 ? 3? ( ? ) 3

=25+4+7-3=33; (3)(-2x y = ? 6x 4
1 1 ? 2
1 4 ? 1 3

)(3x y )=(-2×3)(x x ·y
1 2 ? ? 3 3
3 1

2 3

1 4

1 2

?

1 3

y )

2 3

?y

=-6x 4 y 3

3 4 =?6 x 3 y ;

6

(4)(x -y )÷(x -y )=((x ) -(y ) )÷(x -y ) =(x +y )(x -y )÷(x -y )
1 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

2

1 4

2

1 4

1 4

=x 4 +y 4 . 点评:在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例 2 化简下列各式: (1)

x ?2 ? y ?2 x
?
3

2 3

?y
-3

?

2 3
3

?
-3

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?
4

2 3

;
-4 -1

(2)(a +a )(a -a )÷[(a +a +1)(a-a )]. 活动:学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注 2 意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查 x 与
2
2

2
3

x 3 的关系可知 x =(x 3 ) ,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂 的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解:(1)原式=

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

?
2 3

x ?2 ? y ?2 x
2
? 2 3

?y
?

?

2 3

= (x =x
?

?

2 3

) ?x y
2

?

2 3

?

2 3

? ( y ) ? [( x ) ? ( x )( y ) ? ( y ) 2 ]
2 ? 4 3

?

2 3

?

2 3

?

2 3

?

2 3

4 3

? ( xy)

?

2 3

?y

?x

?

4 3

? ( xy)
4

?

2 3

? y 3 = ? 2( xy)
-1

?

4

?

2 3

? ?2

3

xy ; xy

(2)原式=[(a ) -(a ) ]÷[(a +a +1)(a-a )]

3 2

-3 2

-4

(a 2 ) 2 ? (a ?2 ) 2 (a 2 ? a ?2 )( a 4 a ? ?4 ?1) a 2 ? (a ?1 ) 2 -1 = 4 = 4 = =a+a . ?4 ?1 ?4 ?1 ?1 (a ? a ? 1)( a ? a ) (a ? a ? 1)( a ? a ) a?a
点评: 注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、 差公式,平方差公式一 般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a =(a ) 还容易看出,对 其中夹杂的数字 m 可以化为 m·a a 公式的能力. 知能训练 课本 P59 习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2
1 ? 1 32 1 2 ? 1 2 3 2 1 2
3

=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些

)(1+2

?

1 16

)(1+2

?

1 8

)(1+2 )
-1

?

1 4

)(1+2

?

1 2

)的结果是(
? 1 32

)
? 1 D. (1-2 32 ) 2 1

? 1 -1 A. (1-2 32 ) 2

B.(1-2

?

1 32

C.1-2

分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.

7

因为(1+2

?

1 32

)(1-2

?

1 32

)=1-2
1

?

1 16

,所以原式的分子分母同乘以(1-2
1

?

1 32

),

依次类推,所以

(1 ? 2 2 )(1 ? 2 2 ) 1? 2
? 1 32

?

?

=

1 ? 2 ?1 1? 2
? 1 32

=

? 1 -1 (1-2 32 ) . 2

1

答案:A

7 0.5 10 ? 3 -2 0 -0.5 0.5 -4 2.计算(2 ) +0.1 +(2 ) -3π +9 +49 ×2 . 9 27 25 2 27 3 1 3 9 1 7 解:原式=( ) +100+( ) -3+49 2 × = +100+ -3+ + =100. 9 64 3 16 16 5 16
3.计算 a ? 2 a ? 1 ?
2
1 2 1

2

a ? 2 a ? 1 (a≥1).
2

解:原式= ( a ? 1 ? 1) ? ( a ? 1 ? 1) ?

a ? 1 ? 1? | a ? 1 ? 1 | (a≥1).

本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.
? 1 2 n 4.设 a>0,x= (a n -a n ),则(x+ 1 ? x ) 的值为_______. 2 1 1

分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到 解:1+x =1+
2

1 n ?n 2 1 n ?n 2 (a -a ) = (a +a ) . 4 4
2

1

1

1

1

这样先算出 1+x ,再算出 1 ? x ,
2
? ? ? 1 1 2 2 2 1 2 将 x= (a n -a n )代入 1+x ,得 1+x =1+ (a n -a n ) = (a n +a n ) . 2 4 4 ? ? 1 1 2 n 所以(x+ 1 ? x ) =[ (a n -a n )+ (a n +a n ) ] 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

n

=[

1 n ?n 1 n ?n n (a -a )+ (a +a )] =a. 2 2

1

1

1

1

答案:a 拓展提升 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂 2 活动:教师引导学生回顾无理数指数幂 5
2 3

的意义.

的意义的过程,利用计算器计算出 3 的近似值,
3

取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算 2

的过剩近似值和不足近似值,利

8

用逼近思想,“逼出” 2

3

的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.

解:3=1.73205080?,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.

3 的过剩近似值
1.8 1.74 1.733 1.7321 1.73206 1.732015 1.7320509 1.73205081

2

3

的过剩近似值

3 的不足近似值
1.7 1.73 1.731 1.7319 1.73204 1.732049 1.7320507 1.73205079

2

3

的不足近似值

3.482202253 3.340351678 3.324183446 3.32211036 3.322018252 3.321997529 3.321997298 3.321997019

3.249009585 3.317278183 3.319578342 3.321649849 3.3219722 3.321992923 3.321996838 3.321997045

我们把用 2 作底数, 3 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 2 ,2
1.7 1.72

,2

1.731

,2

1.7319

,?,

同样把用 2 作底数, 2 ,2
1.8 1.74

3 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:

,2

1.733

,2

1.7321

,?,不难看出 3 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 3 的近
α

似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2 会越来越趋近于同一个数,我 们把这个数记为 2 即 2 <2
1.7 1.73

3

. <?< 2
3

<2

1.731

<2

1.7319

<?<2

1.7321

<2

1.733

<2

1.74

<2 .

1.8

也就是说 2

3

是一个实数, 2

3

=3.321 997 ?也可以这样解释:
3

当 3 的过剩近似值从大于 3 的方向逼近 3 时, 2 当 3 的不足近似值从小于 3 的方向逼近 3 时, 2 所以 2 2 ,2
1.8 1.74

的近似值从大于 2 的近似值从小于 2 ,2
1.7319

3

的方向逼近 2 的方向逼近 2

3

; .

3

3

3

3

就 是 一 串 有 理 指 数 幂 2 ,2
1.733

1.7

1.73

,2

1.731

,?, 和 另 一 串 有 理 指 数 幂

,2

,2

1.7321

,?,按上述规律变化的结果,即 2

3

≈3.321 997.

课堂小结 (1)无理指数幂的意义. α 一般地,无理数指数幂 a (a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: r s r+s ①a ·a =a (a>0,r,s∈R). r s rs ②(a ) =a (a>0,r,s∈R). r r r ③(a·b) =a b (a>0,b>0,r∈R).
9

(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充 ,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数 幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解, 本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼 近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.

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