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四川省成都七中2014届高三数学三诊模拟 理 新人教A版


四川省成都七中 2014 届高三三诊模拟 数学(理) 试题
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.
2 1.已知集合 M ? {x | y ? 3 ? x }, N ? {x | ?3

? x ? 1},且 M 、 N 都是全集 I 的子集,则下图韦恩图中阴影

部分表示的集合为 A. {x | ? 3 ? x ? 1} C. {z | ?3 ? z ? ? 3} B. {z | ?3 ? z ? 1} D. {x |1 ? x ? 3}
N I M

a ? 3i 2.若复数 1 ? 2i ( a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为
A. ? 2 B. 6 C. 4 D. ? 6 3.若 l 、m、n 是互不相同的直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 A. 若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? B. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? D. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m

4.在等差数列 {an } 中, a2 ? a12 ? 50 , a4 ? 13 ,则数列 {an } 的公差等于 A.1 B.4 C.5 D.6

5. 已知抛物线 y2=2px 被方向向量为 k ? (2, 4) 的直线截得的弦的中点为(4,1),则该抛物线的方程为 A. y2=8x B. y2=6x C. y2=4x D. y2=2x 6.在△ABC 中,角 A,B.C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角 B 的值是

? A. 3

? B. 6
?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?

? 2? C. 3 或 3

? 5? 1 D. 6 或 6 ,
3 , 5

7.已知 A .34

,则 z=x2+y2 的最大值与最小值的差为 C.32 D. 34 ? 2

B.36

8. 形如 45132 这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由 1、2、3、 4、5 可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为 1 A. 6 B. 3 20 11 C. 120 2 D. 15

1

9. 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ( x ) 的导函数 A.

f ?( x) ?

1 x 1 f ( x) ? ? 2 ,则 2 2 的解集为
D.

? x ? 1 ? x ? 1?

B.

? x x ? 1?

C.

? x x ? ?1或x ? 1?

? x x ? ?1?

x2 y 2 ? ?1 10. 已知椭圆 25 16 的左右焦点分别为 F1、F2,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的内切圆周长为π ,A、B 两点
的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则|y1-y2|的值为

5 A .3

10 B. 3

20 C. 3

5 D. 3

二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上.
3 n ?1 n?6 C27 ? C27 (n ? N * ), ( x ?

11. 若

3

2 n ) x 的展开式中的常数项是

(用数字作答).

12.若 a,b 均为非零向量,且(a-2b)⊥a, (b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为 13.若直线 l1:y=kx-3(k≠0)关于直线 l : 方程为 .

y ? x +1 对称的直线 l2 与圆(x-1)2+(y-2)2=1 相切,则 l2 的

1B1C1D 1 中,棱长为 a,E 是 AA1 的中点,在对角面 BB1D1D 上取一点 M,使 AM+ME 最 14. 正方体 ABCD ? A

小,其最小值为

.

15.在直角坐标系 xOy 中, 已知任意角 ? 以坐标原点 O 为顶点, 以 x 轴的正半轴为始边, 若终边经过点 ( P x0,y0)



OP ? r(r ? 0)

cos ? ?
, 定义: si

y0 ? x0 r , 称为 “si cos ? ” 为 “正余弦函数” .对于 “正余弦函数” y=si cos x ,

现有下列命题: (1)该函数的值域为 ?

? ? 2, 2 ? ?;

(2)该函数的图像关于原点对称; (3)该函数为周期函数,且最小正周期 2? ;

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k ? ? ? , k ? Z ? 4 4? (4)该函数的单调递增区间为 ? .
其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)

2

已知向量

m ? ?1, cos ? x? ,n ? sin ?x , 3

?

? , ?? ? 0? ,函数 f ? x? ? m? n,且 f ? x ? 图象上一个最高点的坐标为

?? ? ? 7? ? ? , 2? ? , ?2 ? 12 12 ? ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? ?.

(Ⅰ) 求 f(x)的解析式;

[0, ] 3 上恒有两个不相同的实数解, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 f(x)=a 在区间

?

2 sin(2? ? ) ? 1 1 ? ? 2 4 sin ? ? f ( ? ) ? , 2 12 2 3 求 1 ? tan ? (Ⅲ) 若 的值.

?

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2+bx 为偶函数,满足 a n+1=2f(an-1)+1, a1=3, an>1, (1)设 bn=log2(an-1), 求证{ bn+1}是等比数列并求数列{ bn}的通相公式; (2)设 cn=nbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

18. (本小题满分 12 分) 某投资公司在 2014 年年初准备将 a 万元投资到“低碳"项目上,现有两个项目供选择:项目一:据市场调研,

3 1 投资到该项目上,到年底可能获利 40%,也可能亏损 40% ,且这两种情况发生的概率分别为 4 和 4 ;项目二:
据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能损失,也可能不赔不賺,且这三种情况发生的概率分

3 1 1 别为 5 、 3 和 15 .
(Ⅰ) 针对以上各个投资项目,请你以获利为标准为投资公司做一个合理选择,并说明理由; (Ⅱ) 若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资) ,问大 约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番?(参考数据 lg2 =0.3010,lg3 = 0.4771)

19.(本小题满分 12 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105 , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿

A

A
3

F

BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (Ⅰ) 求证:DC ? 平面 ABC; (Ⅱ) 求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦; (Ⅲ) 求二面角 B-EF-A 的余弦.

20. (本小题满分 13 分)

1 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx. 2 设函数 a?b?
( Ⅰ) 当

1 2 时,求 f ( x) 的最大值;

1 a 1 F ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? P ( x , y ) 2 x, 0 0 处切线的斜率 k ≤ 2 恒 ( Ⅱ) 令 (0 ? x ? 3) ,其图象上任意一点
成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.
2

21.(本小题满分 14 分)

( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 相外切,记动圆圆心 G 的轨迹为 E. 已知动圆 G 过点 M (2, 0) ,并且与圆 N:
(Ⅰ) 求轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 直线 l 过点 M 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点: ①设点 H (0, ? 4) ,问:是否存在直线 l,使 | HP |?| HQ | 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说 明理由.

4

②过 P、Q 作直线

x?

| PA | ? | QB | 1 ?? | AB | 2 的垂线 PA、QB,垂足分别为 A、B,记 ,求 ? 的取值范围.

参考答案 1-5CDBBC 11. -80

6-10 DCDBA

? 12. 3
y?
13.

5 8 x? 12 3

3 a 14. 2
15.(1) (3) (4)

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 16. (Ⅰ) f(x)的解析式
(Ⅱ) a 的取值范围是 [ 3, 2]

?

2 sin(2? ? ) ? 1 1 ? ? 2 2 5 4 sin ? ? f ( ? ) ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin 2? ? ? 2 12 2 3 3 ,故 1 ? tan ? 9 (Ⅲ)
17. (1)

?

bn ? 2n ?1
n(n ? 1) ?2 2

(2) 18.

cn ? n(2n ? 1), S n ? (n ? 1)2 n ?1 ?

5

19. (Ⅰ) 略;

EF 2 ? 4 (Ⅱ) BF 与平面 ABC 所成角的正弦= BF
cos ?AEB ? ?
(Ⅲ) 求二面角 B-EF-A 的余弦

1 7

a?b?
20. (Ⅰ) 当
'

1 ?( x ? 2)( x ? 1) 3 f ' ( x) ? , f ( x) max ? f (1) ? ? (0, ?? ) f ( x ) 2 时, 2x 4 的定义域 ,

x?a 1 x2 1 F ( x) ? 2 ? ? a ? x ? ? a ? x 2 2 2 ( Ⅱ)
(Ⅲ) 当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
2

令 G( x) ? 2mf ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ? x ,则
2 2

G ' (x) ?2(

m ? m ? x) ' x ,m ? 0 , x ? 0 时,G ( x) ? ?? , m ? m ? x) ' x 单调递增,故 G ( x) ? 0 存在唯

' ' x ??? 时, G ( x) ? ?? ,故 G ( x) ? 0 有正根,又

G ' ( x) ? 2(

一正根 t ,因此 G ( x) 在 (0, t ) 上递增,在 (t , ??) 上递减( m ? 0 , x ? 0 时, G( x) ? ?? , x ??? 时,

6

' 2 G( x) ? ?? ) , 由 题 意 , 有 G(t ) ? 0 及 G (t ) ? 0 , 即 2m l nt ? 2m t? t ? 0 ,

2(

m ? m ? t) ? 0 t ,故

2 l nt ? t ? 1 ? 0 ,由 2ln t ? t ? 1 的单调性知 t ? 1 ,故

m?

1 2.

21. (Ⅰ)由外切圆性质及圆锥曲线定义得

E:x2 ?

y2 ? 1( x ? 1) 3
k ? 3 3

2 2 (Ⅱ)设 l:x ? ky ? 2 ,联立得 (3k ? 1) y ? 12ky ? 9 ? 0 ,则

1 l:x ? 2 ? y 3 ①
?12k k 2 ?3 k ( y ? y ) ? 3 1 2 ? ? 36(k 2 ? 1), ? ? ? 3k ? 1 ? | y1 ? y2 | 6 k2 ?1 1 ? 3k 2 ② k2 ?1 1 3 ?[ , ) 2 2 3

7


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