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人教A版必修5 第二章 数列 课件 数列求和习题课


1 等差数列求和公式: 等差数列求和公式:
(1)Sn=n(a1+an)/2 ) (2) Sn=na1+n(n-1)d/2

2 等比数列求和公式: 等比数列求和公式:
a1(1-qn) (1) Sn= 1-q a1-anq (2) Sn= 1-q q≠1 q≠1

当q=1时,Sn=na1 时

一、知识要点
[等差(比)数列的性质] 等差( 数列的性质]

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数列 性质1:

性质1: an=am+(n-m)d
性质2:若an-k,an,an+k是{an}中 的三项, 则2an=an-k+an+k

bm = b n q m ? n
2 = n

性质2:若bn-k,bn,bn+k是{bn} 的三项,则b

bn-k?bn+k

性质3: 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

性质3:若n+m=p+q 则bn·bm=bp·bq,

性质4:从原数列中取出偶数项组 性质4:从原数列中取出偶数 成的新数列公差为2d.(可推广) 项,组成的新数列公比 2 为 q .(可推广) 性质5: 若{cn}是公差为d′的等差 性质5:若{dn}是公比为q′的 数 列 , 则 数 列 {an+cn} 是 公 差 为 等比数列,则数列{bn?dn}是公 d+d′的等差数列。 比为q·q′的等比数列.

{ n}是公差为d的等差数列

a

{bn}是公比为q的等比数列

性质6:数列{an}的前n项和为Sn 性质6:数列{an}的前n项和为Sn

S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,? ? ? S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,? ? ?
成等比数列.

成等差数列. 性质7:数列{an}的前n项和为Sn

S n + m = S n + ndS m

性质7:数列{an}的前n项和为S

S n+m = S n + q S m n
n

练习:等差数列 练习:等差数列{an}中, a1 + a2 + a3 = ?24, a18 + a19 + a20 = 78 中 则此数列前20项的和等于 项的和等于( 则此数列前 项的和等于( B ) A.160 B.180 C.200 ① D.220

解: 1 + a 2 + a 3 = a

?24

a 18 + a 19 + a 20 = 78



( ① + ② 得: a 1 + a 20 ) + (a 2 + a 19 ) + (a 3 + a 18 ) = 54

Qa1+ a 20 = a 2 + a19 = a 3 + a18

∴ 3(a 1 + a 20 ) = 54

20 ( a 1 + a 20 ) 20 * 18 = = 180 ∴ (a 1 + a 20 ) = 18 ∴s 20 = 2 2

2在 ( ) {an}中,a1 = 1 an = 3an?1 + 4 (n ≥ 2 n∈ N) 求an , , ,
3 设: a n + t = ( a n ? 1 + t ) 得: a n = 3 a n ? 1 + 2 t 令 2 t = 4,解得 t = 2

换元法

∴ ( a n + 2 ) = 3( a n ? 1 + 2 ) ∴ { a n + 2}是以 3为公比 ,以 a1 + 2为首项的等比数列

得: a n + 2 = 3 ? 3 n ? 1 ∴ an = 3 n ? 2

练习: 练习 求和 1. 1+2+3+……+n 答案: 答案 Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: 答案 Sn=2n+1-2
方法: 方法:直接求和法

例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn,… 的前n项和。 解: ⑴当x=0时 S =0 时
n

⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 时 ⑶当x ≠ 0且x≠1时 且 时 Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1
① ②

①-②得:(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1 化简得: 化简得: Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)

0 综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2 综合⑴⑵⑶得 ⑴⑵⑶

(x=0) (x=1)

x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x ≠ 0且x≠1) 且 )

小结 1:
“错位相减法”求和,常应用于形 错位相减法”求和 常应用于形 }的数列求和 其中{a }为等 的数列求和,其中 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, 为等比数列. 差数列 {bn} 为等比数列

练习 1

求和: 求和 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 方法 可以将等式两边同时乘以2或1/2, 可以将等式两边同时乘以 或 然后利用“错位相减法”求和. 然后利用“错位相减法”求和

1 1 1 1 例2:求和 Sn= + + + …+ : 2×5 5×8 8×11 (3n-1) (3n+2)

解:∵数列的通项公式为 1 1 1 1 a n= = ( ) (3n-1) (3n+2) 3 3n-1 3n+2

1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n= 3 ( 2 - 5 + 5 - 8 + 8 - 11 +…+ 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2 1 1 1 1 = ( )= 3 2 3n+2 6n+4

小结2: 小结 :
本题利用的是“裂项相消法” 本题利用的是“裂项相消法”,此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和, 的数列求和, 法常用于形如 的数列求和 其中f(n),g(n)是关于 (n∈N*)的一 是关于n( ∈ 的一 其中 是关于 次函数。 次函数。 方法: 方法:把数列中的每一项都拆成两项的 从而产生一些可以相消的项, 差,从而产生一些可以相消的项, 最后剩下有限的几项。 最后剩下有限的几项。 此方法应注意: 此方法应注意: 对裂项公式的分析, 对裂项公式的分析,通俗地 裂项,裂什么?裂通项。 说,裂项,裂什么?裂通项。

练习 2: 求和 : 1 1 + 1×4 4×7 1 (3n-2)×(3n+1)

1 + 7×10

+…+

1 1 1 1 分析: = an = ( ) (3n-2)×(3n+1) 3 3n-2 3n+1

接下来可用“ 接下来可用“裂项相消 来求和。 法”来求和。

例 3:求和 : 1 1 1 1 1 1+(1+ )+(1+ + )+…+(1+ + +…+ 2 2 4 2 4 1 1 ) 1×(1- n ) 2 n-1 2 1 1 1 1 =2- n-1 解:∵an=1+2 +4 +…+2n-1 = 1 2

12 1 1 1 1 +(2-- n-1 ) ∴Sn=(2--20 )+(2--21 )+(2--22 )+… 2

1 1 1 1 =2n-( 0 + 1 + 2 +…+ n-1 ) 2 2 2 2
1 1×(1- n ) ( 2 1 =2n=2n+ n-1 –2 1 2 12

小结 3: : 本题利用的是“分组求和法” 本题利用的是“分组求和法” 方法: 方法: 把数列的通项分解成几项, 把数列的通项分解成几项,从 而出现几个等差数列或等比数 而出现几个等差数列或等比数 再根据公式进行求和。 列,再根据公式进行求和。

练习 3

求和: ( 求和:1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22 ) ( +…+2n-1)

分析:利用“分解转化求和” 分析:利用“分解转化求和”

总结: 总结:
常见求和方法 直接求和 公式法) (公式法) 倒序求和 错位相减 裂项相消 分组求和法 适用范围及方法 等差、 等差、或等比数列用求和公 常数列直接运算。 式,常数列直接运算。 等差数列的求和方法 数列{ 的求和, 数列 anbn}的求和,其中 n} 的求和 其中{a 是等差数列, 是等比数列。 是等差数列,{bn}是等比数列。 是等比数列 数列{1/f(n)g(n)}的求和,其中 数列 的求和, 的求和 f(n),g(n)是关于 的一次函数。 是关于n的一次函数 是关于 的一次函数。 把通项分解成几项, 把通项分解成几项,从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。 求和。

巩固练习(今日作业 : 巩固练习 今日作业): 今日作业

1 1 1 , , , L 的前 n 项和 ⑴求 1× 3 3 × 5 5 × 7
⑵求数列 9 , 9 9 , 9 9 9 , L 的前 n 项和
1 1 1 (3) 求 和 2 + 2 + 2 + 1 +2 2 +4 3 +6 1 1 +L + 2 2 4 +8 n + 2n

(4) 求和 Sn = 2 + 2× 2 + 3× 2 +L+ n ? 2 求和:
2 3

n

5)求和: (5)求和:

1 1 1 1+ + +L+ 1+2 1+2+3 1+2+3+L+n

1 1 1 1 1 解(1)、S n = ( ? + ? + L 2 1 3 3 5 1 1 1 1 n ? ) = (1 ? )= 2n ? 1 2n + 1 2 2n + 1 2n + 1

( 2 )、 S

n

1 0 (1 ? 1 0 ) = ? n 1 ? 10
n

10 n = (1 0 ? 1 ) ? n 9

1 1 1 1 1 (3)、an = 2 = = ( ? ) n + 2n n(n + 2) 2 n n + 2

1 1 1 1 1 1 1 1 S n = (1 ? + ? + ? + L + ? ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 3 2n + 3 = (1 + ? ? )= ? 2 2 n +1 n + 2 4 2(n + 1)(n + 2)

(5)求和 )求和:

1 1 1 + +L+ 1+ 1+2 1+2+3 1+2+3+L+n
1 2 1 1 an = = = 2( ? ) n(n + 1) n(n + 1) n n +1 2 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 2(1 ? + ? + ? + L + ? ) n n +1 2 2 3 3 4 1 2n )= = 2(1 ? n +1 n +1

2n ( ) n+1

(4) 求和 Sn = 2 + 2× 2 + 3× 2 +L+ n ? 2 求和:
2 3

n

解:Sn = 2 + 2× 2 + 3× 2 +L+ n× 2
2 3

n

2Sn = 2 +2×2 +3×2 +L+(n?1)? 2 +n? 2
2 3 4 n

n+1

两式相减得

Sn =?(2 + 2 + 2 +L+ 2 ) + n? 2
2 3 n

n+1

= (n ?1) ? 2 + 2

n+1

作业:P61. 4 作业:

再见!


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