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高三数学(理科)押题精练:专题【22】《空间几何体》ppt课件


专题22

空间几何体

空间几何体
主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积
考 情 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体 解 读 问题.

的计算.

3<

br />
主干知识梳理 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、 直平行六面体、长方体之间的关系

2.空间几何体的三视图
(1)三视图的正 (主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物 体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影 形成的平面图形. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正

视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,
宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧 一样高.看不到的线画虚线.

3.直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、 y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴和y′轴所在 平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于

坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,
平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

4.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:

①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);
②S锥侧= ch′(c为底面周长,h′为斜高);

③S台侧= 1 (c+c′)h′(c′,c分别为上,下底面的

2 周长,h′为斜高); 1 2(R为球的半径). ④S球表=4 π R 2

(2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 ②V 锥体= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 ③V 台= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 3 ④V 球= πR . 3

热点分类突破

? 热点一
? 热点二 ? 热点三

三视图与直观图
几何体的表面积与体积 多面体与球

热点一 例1

三视图与直观图

某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的

体积为(

)
思维启迪

根据三视图
确定几何体的 直观图;

8 A. 3

B.8

32 C. 3

D.16

解析

由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三

角形的直三棱柱,如图:

则该几何体的体积V= 1×2×2×4=8.

2

答案 B

(2)(2013· 四川 ) 一个几何体的三视图如图所示,则该几

何体的直观图可以是(

D

)

思维启迪

分析几何体的特征,从俯视图突破.

解析 由俯视图易知答案为D.

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左
面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影 图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先
思 维 或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整 升 实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何 华

根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图

体的形状,即可得到结果.

变式训练1

(1)(2013· 课标全国 Ⅱ) 一个四面体的顶点在空间直

角坐标系 O - xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) , (1,1,0) ,
(0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,

以 zOx 平 面 为 投 影 面 , 则 得 到 的 正 视 图 可 以 为 (
)

解析

根据已知条件作出图形:四面体 C1 - A1DB ,

标出各个点的坐标如图(1)所示,

可以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选A.

答案 A

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为( D )

解析 如图所示,点D1的投影
为C1,点D的投影为C,点A的 投影为B,故选D.

热点二 例2 积为(

几何体的表面积与体积

(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 )
思维启迪 由三视图确定几 何体形状;

A. 2π π C. 3

B.2 2π 2π D. 3

解析

由三视图知,原几何体是两个相同的圆锥的

组合,

1 2 2 ∴V=( ×π×1 )×2= π. 3 3
答案 D

(2)如图,在棱长为6的正方体ABCD-

A1B1C1D1中,E,F分别在C1D1与C1B1
上,且C1E=4,C1F=3,连接EF, FB,DE,则几何体EFC1-DBC的体 积为( )
思维启迪

A.66 C.70

B.68 D.72

对几何体进行 分割.

解析

如图,连接DF,DC1,

那么几何体EFC1-DBC被分割成三棱
锥D-EFC1及四棱锥D-CBFC1,

1 1 那 么 几 何 体 EFC1 - DBC 的 体 积 为 V = × 3 2 1 1 ×3×4×6+ × ×(3+6)×6×6=12+54=66. 3 2
故所求几何体EFC1-DBC的体积为66. 答案 A

(1) 利用三视图求解几何体的表面积、体积,

关键是确定几何体的相关数据,掌握应用三
思 视图的“长对正、高平齐、宽相等”; 维 升 (2) 求不规则几何体的体积,常用 “ 割补 ” 的 华 思想.

变式训练2
多面体 MN - ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正视图和

侧视图如图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰
三角形,则该多面体的体积是( )

16+ 3 A. 3

8+6 3 B. 3

16 C. 3

20 D. 3

解析

过M,N分别作两个垂直于底面的截面,将多面

体分割成一个三棱柱和两个四棱锥,

由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形,面积为
S1= 1 ×2×2=2,高为2,所以体积为V1=4,

2
两个四棱锥为全等四棱锥,棱锥的体积为

V1=2× 1×2×1×2= 8,

3 8 20 所以多面体的体积为 V= +4= ,选 D. 3 3
答案 D

3

热点三

多面体与球

例3

如图所示,平面四边形 ABCD 中, AB = AD = CD

=1,BD= ,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体

2 ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶 ABCD,使平面
点在同一个球面上,则该球的体积为( )

3 A. π 2

B.3π

2 C. π 3

D.2π

思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空

间位置关系确定球心的位置,由于△BCD是直角三角形,根据
直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等, 只要再证明这个点到点 A的距离等于这个点到 B,C, D的距离 即可确定球心,进而求出球的半径,根据体积公式求解即可.

解析

如图,取BD的中点E,BC的

中点O,连接AE,OD,EO,AO.
由题意,知AB=AD,所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD,AE⊥BD, 所以AE⊥平面BCD.

因为 AB=AD=CD=1,BD= 2, 2 1 所以 AE= ,EO= . 2 2

3 所以 OA= . 2
1 3 在 Rt△BDC 中,OB=OC=OD= BC= , 2 2
3 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 . 2
4 33 3 所以该球的体积 V= π( ) = π.故选 A. 3 2 2
答案 A

多面体与球接、切问题求解策略 (1) 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般

过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或
线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利
思 用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系, 维 或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球 升 华 心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知

量的关系,列方程(组)求解.

(2) 若球面上四点 P , A , B , C 构成的三条线段
思 维 PC = c ,一般把有关元素 “ 补形 ” 成为一个球 升 华 内接长方体,则4R2=a2+b2+c2求解.

PA, PB, PC两两互相垂直,且 PA= a, PB= b,

变式训练3
(1)(2014· 湖南)一块石材表示的几何 体的三视图如图所示.将该石材切削、 打磨,加工成球,则能得到的最大 球的半径等于( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析 由三视图可知该几何体是一个直

三棱柱,如图所示.
由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与 三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半 径最大, 故其半径r= 1×(6+8-10)=2.因此选B. 答案 B

2

(2)一个几何体的三视图如图所示,其 中正视图和侧视图是腰长为1的两个全 等的等腰直角三角形,则该几何体的体 积是________;若该几何体的所有顶点 在同一球面上,则球的表面积是________.

解析 由三视图可知,该几何体是四棱锥

P-ABCD(如图),
其中底面ABCD是边长为1的正方形,

PA⊥底面ABCD,且PA=1,

1 1 ∴该四棱锥的体积为 V= ×1×1×1= . 3 3
又 PC 为其外接球的直径,∴2R=PC= 3,
则球的表面积为S=4πR2=3π.

1 答案 3π 3

本讲规律总结

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面
积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外

的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积
还是表面积 ”. 多面体的表面积就是其所有面的面

积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面
积和底面面积之和.

2.在体积计算中都离不开空间几何体的 “高”这个几

何量(球除外),因此体积计算中的关键一环就是求出
这个量 .在计算这个几何量时要注意多面体中的 “ 特

征图”和旋转体中的轴截面.

3.一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的 方法,从而转化为规则的几何体,而补形又分为对称补

形 ( 即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑
用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系

补形 ( 某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何
量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几

何体,作为这个规则几何体的一部分来求解).

4.长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长 等于外接球的直径,即 a +b +c =2R; (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径, 即 3 a = 2 R.
2 2 2

真题与押题

? 真题感悟

? 押题精练

1

2

真题感悟

1 . (2014· 北 京 ) 在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 , 已 知 A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(0,2,0) , D(1,1 ,
3

2 S 分别是三棱锥 D - ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平
面上的正投影图形的面积,则( A.S1=S2=S3 C.S3=S1且S3≠S2 ) B.S2=S1且S2≠S3 D.S3=S2且S3≠S1

).若 S1 , S2 ,

1

2

真题感悟

解析 如图所示,△ABC为三棱锥在坐标 平面xOy上的正投影, 所以S1= 1 ×2×2=2.

2

三棱锥在坐标平面 yOz上的正投影与△DEF(E, F分别

为OA,BC的中点)全等,

1 所以 S2= ×2× 2= 2. 2

1

2

真题感悟

三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G,H分别 为AB,OC的中点)全等,

1 所以 S3= ×2× 2= 2. 2
所以S2=S3且S1≠S3.故选D. 答案 D

1

2

真题感悟

2.(2014· 江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体 S1 9 V1 积分别为 V1,V2.若它们的侧面积相等,且 = ,则 的值 S2 4 V2 是________.
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2, S1 9 由 = , S2 4

2 πr1 9 r1 3 得 2= ,则 = . πr2 4 r2 2

1

2

真题感悟

由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,

h1 2 即 r1h1=r2h2,则 = , h2 3
2 V1 πr1h1 3 所以 = 2 = . V2 πr2h2 2

3 答案 2

1

2

押题精练

1.把边长为

得到三棱锥 C- ABD,其正视图、俯视图均为全等的等 腰直角三角形(如图所示),则其侧视图的面积为( )

2

的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,

3 A. 2 C.1

1 B. 2 2 D. 2

1

2

押题精练

解析

在三棱锥C-ABD中,C在平面

ABD上的投影为BD的中点O, ∵正方形边长为 ,∴AO=OC=1,

2

1 1 ∴侧视图的面积为 S△AOC= ×1×1= . 2 2
答案 B

1

2

押题精练

2.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂 2 3 直,△ABC, △ACD, △ABD 的面积分别为 , , 2 2 6 ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为( 2 A. 6π B.2 6π C.3 6π )

D.4 6π

1

2

押题精练

解析 如图,以AB,AC,AD为棱把该三棱 锥扩充成长方体, 则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球, ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.

?AB· ?AB= 2, AC= 2, ? ? AD= 3, 解得?AC=1, 据题意?AC· ? ? ?AB· AD= 6, ?AD= 3,

1
2 2 2

2

押题精练

∴长方体的体对角线长为 AB +AC +AD = 6,
6 ∴三棱锥外接球的半径为 . 2
4 63 ∴三棱锥外接球的体积为 V= π·( ) = 6 π. 3 2
答案 A


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