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期中复习(2)高一数学解三角形及解答


1、若△ ABC 的内角 A 满足 sin A ? cos A ? 0, tan A ? sin A ? 0 ,则 A 的范围是 A.(0,





π ) 4

B. (

π 3π π π , )C. ( , ) 4 2 2 4
?
2 ? A??

D. (

π ,π) 2

C 【解析】 sin A ? cos A ? 0, tan A ? sin A ? 0 ,说明

7 2、已知 cosA+sinA=- ,A 为第二象限角,则 tanA= 13 5 A.- 12 12 B.- 5
5

( 5 D. 12
12 5

)

12 C. 5

6. 【解题思路】利用勾股数 52+122=132,由题意得 sinA=13,cosA=-13,所以 tanA=-12.故选 A.

3、已知 O 是△ ABC 所在平面内一点,且满足 BA ? OA ? BC 2 ? AB ? OB ? AC 2 ,则点 O( A.在 AB 边的高所在直线上 C.在 AB 边的中线所在直线上
7. A 【解析】 AB ? OC ? 0



B.一定与 C 重合 D.一定是△ ABC 的垂心

4、已知 ?ABC 中, AB ? 2 , AB ? AC ? BC ,则 BA ? BC = A. 2 B. 4 C. 2 3 D.不确定





B 【解题思路】 AB ? AC ? BC 可知,?BAC ? 90?(对角线相等的四边形为矩形) ,BA ? BC 等于 | BA | 乘以 BC 在 BA 方向上的投影为 2? 2 ? 4 .

5、 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , 则 A ?(
2 2

) .

A. 30 ?

B. 60 ?

C. 120?

D. 150?
2 2

【解】由 sin C ? 2 3sin B 及正弦定理得 c ? 2 3b ,代入 a ? b ? 3bc 得

a2 ? b2 ? 3b ? 2 3b ? 6b2 ,即 a 2 ? 7b2 ,又 c2 ? 12b2 ,
由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 12b2 ? 7b2 6 3 , ? ? ? 2 2bc 2 4 3b 4 3

所以 A ? 30? .故选A. 6、在△ ABC 中,AB= 3 ,BC=2, AB ? AC ? 0 ,如果不等式 BA ? t BC ? AC 恒成立,则实数 t 的 取值范围是 ( )

A. ? ??,

? ?

1? 2? ?

B. ?1 , ? ??

C. ? ??,

? ?

1? 2? ?

? ?? ?1,

D. ? , 1 2 ?

?1 ?

? ?

9. D 【解析】由数形结合得 D.

7、己知在锐角△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 tan C ?
由已知及余弦定理,得

ab . a ? b2 ? c2
2

则C =

sin C ab 1 ? ,sin C ? , 因为 C 为锐角,所以 C ? 30?. cos C 2ab cos C 2

8、在 ?ABC 中, cos A : cos B : sin C ? a : b : c ,则 ?ABC 的形状为



腰直角三角形【解析思路】由正弦定理,结合 cos A : cos B : sin C ? a : b : c ,即 sinA=cosA,sinB=cosB,得

A?B?

?
4

. 故 ?ABC 的形状为:等腰直角三角形.

9、 在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标 C, 若 ?CAB ? 750 , ?CBA ? 600 , 则 A, C 两点之间的距离是 千 米

6

10 、设△ ABC 的 BC 边上 的高 AD ? BC , a, b, c 分别表示 角 A, B, C 的对边,则 _________.
[2, 5] 【解析】 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? bc sin A ,故 b c ? ? sin A ? 2cos A ? c b
又由基本不等式 b ? c ? 2

b c ? 的最大值是 c b

5

c

b

?ABC 的内角 A 满足 cos A ? 2 sin 2 A ? 0 ,若△ ?ABC 的边 a 的 11、设△ ?ABC 的面积为 3 ,则△ 2
最小值为
2 【解析】 A ?

.
π , bc ? 4 . 3

12、锐角△ABC 的三边 a, b, c 和面积 S 满足条件 S ? ___.

b 2 ? ( a ? c) 2 ,又 A ? C ? B , 则实数 k 的取值范围是 4k

15. ?

2 2 2 ? 3 ? ? 【解析】 1 ac sin B ? b ? a ? c ? 2ac ? k sin B ? 1 ? cos B ? k ? 1 ? cos B , 1 ? 3 ? 2 4k sin B ? ?

= tan

?π B ,而 B ?? , ?3 2

π? ?. 2?

13、在△ABC 中,若

AB BC 3
?

?

BC CA 2
?

?

CA AB 1

,则 tanA∶tanB∶tanC=

.

16.解析:由

AB ? BC 3

BC ? CA 2

CA ? AB 1

accosB abcosC bccosA ,得- =- =- , 3 2 1

2 tanB= tanC,tanA=2tanC,所以 tanA∶tanB∶tanC=6∶2∶3. 3 14、在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 1 的值; (Ⅱ)若 cosB= , ABC的周长为5,求b的长. sin A 4

【 解 析 】 ( Ⅰ ) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A,

b ? 2R sin B,

c ? 2R sin C, 所 以

C ? sin c o s A - 2 c o 2sin s C 2 A c - a = = , 即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 c o s B b sin B sin C sin C ? 2sin A ,所以 s i nA (?B ) ? 2 s iB n( ? C,即 ) =2. sin A sin C 1 ? 2 得 c ? 2 ,∵ cos B ? ,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 4a 2 (Ⅱ)由 sin A 4

∴ b ? 2a ,又 a ? b ? c ? 5 得 a ? 1, b ? 2

15、在△ABC 中,角 A , B , C 所对应的边为 a , b , c .

?? ? ? A ? ? 2 cos A ,求 A 的值; ?3 ? 1 (Ⅱ)若 cos A ? ,且△ABC 的面积 S ? 2c2 ,求 sin C 的值. 3
(Ⅰ)若 cos ?
【解析】 (Ⅰ)由 cos? A ?

? ?

π π π? ? ? 2 cos A ,得 cos A cos ? sin A sin ? 2 cos A , 3 3 3?

1 3 ? cos A ? sin A ? 2 cos A , 3 sin A ? 3cos A ,? tan A ? 3 , 2 2
? 0 ? A ? π, ? A ?
(Ⅱ) 由S ?

π ; ……(6 分) 3

cos A ?
2c 2 ?

2 2, 1 ,? 0 ? A ? π , ? sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2 3 3

1 2 bc sin A ? bc ,得 b ? 3c , ……(9 分) 2 3

由余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 9c 2 ? c 2 ? 2c 2 ? 8c 2 ,? a ? 2 2c ,……(12 分)

由正弦定理得:

a c ,即 2 2c c , sin A 1 . ……(14 分) ? ? ? sin C ? ? sin A sin C sin A sin C 3 2 2

16、已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,

n ? ( c o? s x?

s? i nx

,2 ?s ix, n ?? ) 0 , f ( x) 的相邻两条对称轴间的距离大于等于

(Ⅰ)求 ? 的取值范围;

π . 2

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c , a ? 3, b ? c ? 3 ,当 ? 的值最大 时, f ? A? ? 1 ,求△ABC 的面积.
【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x = cos 2? x ?

π? ? 3 sin 2? x = 2 s i n ? 2?x ? ? . ……(4 分) 6? ?
2π π ? . 2? ?

因为 ? ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的周期 T ? 由题意可知

T π π ? ,即 T ? π , ? π . ……(6 分) 2 2 ?

解得 0 ? ? ? 1 . ……(7 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,所以 f ( x) ? 2sin? 2x ?

? ?

π? ?. 6?

因为 f ( A) ? 1,所以 sin? 2 A ?

? ?

π? 1 ? ? . ……(8 分) 6? 2

而 2A ?

π 5π π π ? π 13π ? ,所以 A ? . ……(10 分) ?? , ? ,所以 2 A ? ? 6 6 3 6 ?6 6 ?


而 b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a 2 ,所以 b2 ? c 2 ? bc ? 3 而 ? b ? c ? ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? 9 ②
2

联立①②解得: bc ? 2 ……(13 分) 所以 S
?ABC

?

1 3 . ……(14 分) bc sin A ? 2 2

sin A ? sin C b b . 17、在锐角△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且有 sin A ? sin C ? ?
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 b
【解析】 (Ⅰ)
2

? c 的取值范围.(提示求出外接圆半径,转化为角的函数)
2

sin sin B B? ? sin sin C C

a a? ?c c

sin A ? sin C b a ?c b ? ? ? ? a 2 ? bc ? b 2 ? c 2 . sin B ? sin C a?c b?c a?c

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 所以 c o s A? ? ? A ? . ……(6 分) 2bc 2 3

(Ⅱ)

a ? 2R ? sin A

3 2 ? 2 ? R ? 1 , b 2 ? c 2 ? ? 2 R ? sin 2 B ? sin 2 C ? 4 sin 2 B ? sin 2 C 3 2

?

?

?

?

? 2 ?1 ? cos 2B ?1 ? cos 2C ? ? 4 ? 2 ? cos 2B ? cos 2C ? ? 4 ? 2 sin( 2C ? ) .
?0 ? 2π π π π π π 5π . ? C ? ? ? C ? ? ? 2C ? ? 3 2 6 2 6 6 6

π 6

……(10 分)

∴ b2 ? c2 ? ? 5, 6? ,又∵ sin B ? sin C ,∴ b2 ? c2 ? ?5,6? . ……(14 分)


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