当前位置:首页 >> 数学 >>

2-3 参数方程化成普通方程 课件 (北师大选修4-4)


§3 参数方程化成普通方程

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

1. 代数法消去参数 (1)这种方法是从参数方程中选出一个方程,解出参数, 然后把参数的表达式代入另一个方程,消去参数,得到曲

线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.
(2)通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方 程适当地变形,然后把参数方程中的两个方程进行代数运

算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数
如果参数方程中的x,y都表示为参数的三角函数,那么可 以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数,这是参数方 程转化为普通方程的基本方法之一.
课前自主学习 课堂讲练互动 课堂达标测练

教材超级链接

【思维导图】

【知能要点】

1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.
2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

题型一

代数法消去参数

这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程,解出参 数,然后代入另一个参数方程中得普通方程,这种方法思 路简单,可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变 形,然后把两参数方程进行代数运算消去参数,这种方法 运算量小,但往往需要提前进行适当的变形.

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

【例1】 把参数方程化为普通方程. 1 ? ?x=1+2t, (1)? ?y=5+ 3t; ? 2
2 ( 1 - k )r ? ?x= , 2 1+ k ? (2)? ?y= 2kr . 2 ? ? 1+k

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

1 3 解 (1)由 x=1+ t 得 t=2x-2 代入 y=5+ t 中得 y=5 2 2 3 + (2x-2), 2 即: 3x-y+5- 3=0 就是它的普通方程.
2 2 2 2 ( 1 - k ) r ( 1 - k ) r ? ? 2 ?x= ? , x= 2 2 2 , 1+ k (1+k ) ? ? (2)? ?? 2 2 2 kr 4 k r ?y= ? y2 = 2 2 2, ? ? (1+k ) ? 1+ k ? 2 4 2 2 2 2 4 2 ( 1 - 2 k + k ) r + 4 k r ( 1 + 2 k + k ) r 得 x2 + y2 = = = 2 2 2 2 ( 1+ k ) (1+k )

r2 . ∴x2+y2=r2 就是它的普通方程.
课前自主学习 课堂讲练互动 课堂达标测练

教材超级链接

【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解
析出参数太复杂,如第(2)小题,这时为了减少运算量, 就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平 方.然后相加消去参数.

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

1 ? ?x = t + , t - 1 (t 为参数)化为普通方程, 并画出它 1.把参数方程? ? ?y = 2 所表示的曲线. 1 解 (1)当 t-1>0 时,x=t-1+ +1≥3. t- 1

1 ? ?t - 1 = t-1时,即 t=2 时取“=”. 当且仅当? ? ?t-1>0 1 (2)当 t-1<0 时,即 1-t>0 时,1-t+ ≥2 1- t ? 1 ? ? ? -?(1-t)+1-t?≤-2 ? ?
课前自主学习 课堂讲练互动 课堂达标测练

教材超级链接

? 1 ? 1 1 ? x=t+ =t-1+ +1=-?(1-t)+1-t? ?+1≤-1 t- 1 t- 1 ? ?

1 ? ?1 - t = , 1-t 当且仅当? ? ?1-t>0, 即 t=0 时取“=”. 故所求方程为 y=2(x≤-1,或 x≥3) 如图是两条射线.

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

题型二

利用三角恒等式消去参数

利用这种方法消去参数必须是x,y都表示成参数的三角函 数,然后利用三角函数的恒等变形式消去参数,这种方法 大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形,然后进行 代数运算消去参数,化为普通方程.

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程,并指明曲线的

类型. ? ?x=acos θ , (1)? (θ 为参数,a,b 为常数,且 a>b>0); ? y = b sin θ ?
a ? ?x= , cos φ (2)? (φ 为参数,a,b 为正常数); ? ?y=btan φ
2 ? ?x=2pt , (3)? (t ? ?y=2pt

为参数,p 为正常数).

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

2 2 x y 解 (1)由 cos2θ +sin2θ =1 得 2+ 2=1 这是一个长轴长 a b 为 2a,短轴长为 2b,中心在原点的椭圆. ? 1 ? 1 x y ? 2- tan2φ (2)由已知 =a, tan φ = b,由于?cos φ ? ? cos φ ? ? =1, x2 y2 ∴有 2- 2=1 这是一条双曲线. a b 2 y y (3)由已知 t= 代入 x=2pt2 中得 2·2p=x, 2p 4p 即 y2=2px,这是一条抛物线.

【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方 程时,要特别注意保证等价性.
课前自主学习 课堂讲练互动 课堂达标测练

教材超级链接

2. 化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图. 1 ? ?x= sin 2θ , 2 (1)? (θ 为参数) ? ?y=sin θ +cos θ 1 ? x = ? t, (2)? (t 为参数) ?y=1 t2-1 t ?

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

解 (1)由 y2=(sin θ +cos θ )2=1+sin 2θ =1+2x 得 y2 =2x+1, 1 1 1 ∵- ≤ sin 2θ ≤ , 2 2 2 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 ∵- 2≤sin θ +cos θ ≤ 2, ∴- 2≤y≤ 2. 故所求普通方程为 y
? 1 1 ?- ≤x≤ ,- 2 ? 2
2

? 1? =2?x+2? ? ? ? 2?,图形为抛物线的一部分. ?

2≤y≤

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

(2)由 x +y

2

2

?1?2 ?1 =? t ? + ? t ? ? ?

t

2

?2 -1? =1 及 x ?

t2 - 1 1 = ≠0,xy= 2 ≥0 知,所求轨迹 t t 为两部分圆弧 x2 + y2 = 1(0 < x≤1 , 0≤y<1 或-1≤x<0,-1<y≤0).

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

1.

? ?x=1+cos 若曲线? 2 ? y = sin θ ?

2θ ,

(θ 为参数),则点(x,y)的轨迹是 ( ).

A.直线x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线

C.圆(x-1)2+y2=1
D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

解析

x=1+cos 2θ=1+1-2sin2θ=2-2y,故普通方程

为x+2y-2=0
2 ? ?0≤sin θ≤1, 但? 即 ? ?0≤1+cos θ≤2,

0≤y≤1,0≤x≤2,故为一条线

段.

答案

D

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

? ?x=sin 2.方程 ? ? ?y=cos

θ (θ 为参数 ) 所表示的曲线上一个点的坐标 2θ (
?1 2? B.?3,3? ? ? ?1 1? C.?2,2? ? ?

是 A.(2,7)

).

D.(1,0)

π π π 1 1 解析 当 x= 时,θ= ,2θ= ,y=cos 2θ=cos = , 2 6 3 3 2 故选 C.

答案

C

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

1 ? ?x=t+ t (t 为参数)化为普通方程为________. 3.将参数方程? 1 ?y= t 2 + 2 ? t ? 1? 2 1 1 1 2 2 解 析 y = t + 2 = t + 2· t· + 2 - 2 = ?t+ t ? - 2 = x2 - t t t ? ? 2(x≠0).

答案

y=x2-2(x≠0)

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

直线 l 4.在平面直角坐标系 xOy 中, 数 t∈R),圆 C

? ?x=t+3 的参数方程为? (参 ? ?y=3-t

? ?x=2cos 的参数方程为? ? ?y=2sin

θ (参数 θ∈[0,2 θ +2

π ]),则圆 C 的圆心坐标为________,圆心到直线 l 的距离 为________. 解析 消参数得圆方程为 x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为 (0,2).消参数后直线方程为 x+y=6,那么圆心到直线 |0+2-6| 的距离为 =2 2. 2
答案 (0,2) 2 2

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

[P42 练习]
? ?x=at+λcos 已知参数方程 ? ? ?y=bt+λsin

θ , (a , b , λ 均不为 0 , θ

0≤θ≤2π )分别取:(1)t 为参数,(2)λ 为参数,(3)θ 为参数. 则下列结论中成立的是 ( ).

A.(1),(2),(3)均是直线 B.只有(2)是直线

C.(1),(2)是直线,(3)是圆
D.(2)是直线,(1),(3)是圆锥曲线
课前自主学习 课堂讲练互动 课堂达标测练

教材超级链接

x-λcos θ 解析 (1)t 为参数,t= 代入 y=bt+λsin θ a x-λcos θ 中得,y=b +λsin θ. a 整理得:bx-ay-λbcos θ+λasin θ=0,其中 a、b、 λ、θ 为常数,故为直线. (2)λ
? ?x=at+λcos 为参数? ? ?y=bt+λsin

θ ? ?x-at=λcos θ, ?? 消去参 ? θ ?y-bt=λsin θ.

y-bt 数 λ, =tan θ,整理得,y=tan θ·x-attan θ+ x-at bt 为直线.

课前自主学习

课堂讲练互动

课堂达标测练

教材超级链接

(3)θ

? ?x=at+λcos 为参数? ? ?y=bt+λsin

θ, 用三角恒等式消去参数 θ. θ,

得(x-at)2+(y-bt)2=λ2为以(at,bt)为圆心,λ为半径 的圆. 由以上解答,应选C. 答案 C 【规律方法总结】

由参数方程化为普通方程时,有两种基本方法.代数
法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进 行变形然后经过代数运算进行消去参数,但在变形中特别 注意取等价性,有时要进行必要的讨论,有时要利用三角 函数写出x,y的取值范围.
课前自主学习 课堂讲练互动 课堂达标测练

教材超级链接


赞助商链接
相关文章:
高二数学北师大版选修4-4《椭圆的参数方程》教案
高二数学北师大选修4-4《椭圆的参数方程》教案_数学_高中教育_教育专区。石泉...方程: 二、合作探究 1.将下列普通方程化为参数方程,或参数方程化为普通方程。...
...二章 参数方程化成普通方程学案 北师大版选修4-4
2015-2016学年高中数学 第参数方程化成普通方程学案 北师大选修4-4_数学_高中教育_教育专区。§3 参数方程化成普通方程 1.掌握将参数方程化成普通方程...
...2.6参数方程与普通方程互化教案 北师大版选修4-4
江西省于都中学高中数学 2.6参数方程普通方程化教案 北师大选修4-4_数学_高中教育_教育专区。第六课时一、教学目标: 参数方程普通方程互化 知识与技能:...
高二数学北师大版选修4-4《双曲线的参数方程》教案
高二数学北师大选修4-4《双曲线的参数方程》教案_数学_高中教育_教育专区。...课本 第 38 页第 43 页 练习 1,2 6 习题 2-3参数方程化成普通方程...
高中数学选修4-4北师大版 参数方程与普通方程互化教案 ...
高中数学选修4-4北师大参数方程普通方程化教案 Word版_数学_高中教育_...r sin ? ( ? 为参数) (3)椭圆 x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2 x2 ...
...选修4-4 同步精练:2.3参数方程化成普通方程 Word版...
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练:2.3参数方程化成普通方程 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。§ 3 参数方程化成普通方程 课后篇巩固...
高中北师大版数学选修4-4教案:2.6参数方程与普通方程互化
高中北师大版数学选修4-4教案:2.6参数方程普通方程互化_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第六课时 一、教学目标: 参数方程普通方程互化 知识与技能:掌握...
高中数学选修4-4北师大版 参数方程化成普通方程学案1 W...
高中数学选修4-4北师大参数方程化成普通方程学案1 Word版_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修4-4北师大版 学案 Word版 §3 参数方程化成普通方程 1....
高二数学北师大版选修4-4《参数方程的概念》教案
高二数学北师大选修4-4参数方程的概念》教案_数学_高中教育_教育专区。石泉...(1)求常数 a;(2)求曲线 C 的普通方程. 3.曲线 ? x ? 1 ? t ,(t...
...2.3参数方程化成普通方程课后训练北师大版选修4_4
高中数学第章参数方程2.3参数方程化成普通方程课后训练北师大选修4_4_数学_高中教育_教育专区。参数方程化成普通方程 练习 1 ? ? x =t ? , 1 方程 ?...
更多相关文章: