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江苏省宿迁市泗阳县众兴中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷


2014-2015 学年江苏省宿迁市泗阳县众兴中学高一(上)第一次 月考数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.集合 A={﹣1,0,1},B={﹣2,﹣1,0},则 A∪B= 2.不等式 2x﹣3<5 的解集为 . . .



3.已知集合 A={2,3},则集合 A 的非空真子集为 4.函数 f(x)= + 的定义域是

5.函数 f(x)=x +2x,x∈{﹣2,﹣1,0,1}的值域是 6.若函数 f(x)=x +ax﹣1 是偶函数,则 a=
2

2

. . .

7.已知奇函数 f(x) ,当 x>0 时 f(x)=x+ ,则 f(﹣1)=

8.函数 f(x)=

,则 f(f(﹣2012) )=



9.函数 y=x ﹣3x,x∈[0,2]的单调增区间为

2

. . .

10.已知集合 A=[1,2) ,B=(﹣∞,a) ,若 A∩B=A,则实数 a 的取值范围为 11.已知集合 A={x|mx +2x+3=0}中有且只有一个元素,则 m 的取值集合为 12.已知 f(x+1)=2x +1,则 f(x)=
2 2 2

. .

13. 已知函数 f (x) =kx +2kx+1 在区间[﹣3, 2]上的最大值为 4, 则实数 k 的值为

14.函数 f(x)=(2﹣x)|x﹣6|在区间(﹣∞,a]上取得最小值﹣4,则实数 a 的取值范 围是 .

二、解答题(14 分×3+16 分×3=90 分) 15.已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)求:CR(A∩B) ;

(2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C? B,求实数 a 的取值集合. 16.记函数 f(x)= (1)M,N (2)求 M∩N,M∪N. 17. (1)已知二次函数 f(x)的图象与 x 轴的两交点为(2,0) , (5,0) ,且 f(0)=10, 求 f(x)的解析式; (2)已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=4x+9,求 f(x)的解析式. 的定义域为集合 M,函数 g(x)=﹣x +2x 的值域为集合 N,求:
2

18.已知函数 f(x)=

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f( )= .

(1)求 f(x)的解析式 (2)判断并用单调性的定义证明 f(x)在(﹣1,1)上的单调性. 19.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若每辆车 的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少? 20.已知 f(x)=|x﹣a|. (1)若 a=1,作出 f(x)的图象; (2)当 x∈[1,2],求 f(x)的最小值; (3)若 g(x)=2x +(x﹣a)|x﹣a|,求函数的最小值.
2

2014-2015 学年江苏省宿迁市泗阳县众兴中学高一(上) 第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.集合 A={﹣1,0,1},B={﹣2,﹣1,0},则 A∪B=

{﹣2,﹣1,0,1} .

考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 要求 A 与 B 的并集,就是要求属于 A 或属于 B 的元素所构成的集合. 解答: 解:根据题意得 A∪B={﹣2,﹣1,0,1} 故答案为{﹣2,﹣1,0,1} 点评: 此题是一道基础题比较简单,要求学生理解两个集合的并集定义. 2. (5 分) (2014 秋? 泗阳县校级月考)不等式 2x﹣3<5 的解集为 (﹣∞,4) . 考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先移项得 2x<5+3,合并同类项得 2x<8,系数化为 1 得 x<4,写成集合或区间的 形式即可. 解答: 解:移项得,2x<5+3, 合并同类项得,2x<8, 系数化为 1 得,x<4. 故答案为: (﹣∞,4) 点评: 本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键,属基 础题. 3.已知集合 A={2,3},则集合 A 的非空真子集为 {2},{3} . 考点: 子集与真子集. 专题: 集合. 分析: 将集合 A 的真子集按含有元素从少到多一一列出即可. 解答: 解:集合 A 的非空真子集有{2},{3}, 故答案为:{2},{3}. 点评: 本题考查集合的子集概念,列举法是解决此类问题的方法,属基本题. 4.函数 f(x)= + 的定义域是 [1,4)∪(4,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据偶次根式被开方数大于等于 0,分式的分母不等于 0,建立关系式,求出 x 的取 值范围即可. 解答: 解:要使函数 f(x)= 解得 1≤x<4 或 x>4 即函数 f(x)= + 的定义域是[1,4)∪(4,+∞) + 有意义,则

故答案为:[1,4)∪(4,+∞) . 点评: 本题主要考查了函数的定义域的求解,解题的关键是寻求函数有意义的条件,属于 基础题. 5.函数 f(x)=x +2x,x∈{﹣2,﹣1,0,1}的值域是 {0,﹣1,3} . 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 分别求出﹣2,﹣2,0,1 的函数值,写出值域的集合即可. 解答: 解:f(﹣2)=0,f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=3; ∴f(x)的值域为{0,﹣1,3}. 故答案为:{0,﹣1,3}. 点评: 考查函数值域的概念,集合元素的互异性. 6.若函数 f(x)=x +ax﹣1 是偶函数,则 a= 0 . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由偶函数的定义 f(﹣x)=f(x)即可求得 a 的值. 解答: 解:∵f(x)=x +ax﹣1 是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) . 即(﹣x) ﹣ax﹣1=x +ax﹣1, ∴2ax=0,又 x 不恒为 0, ∴a=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,利用偶函数的定义求得 2ax=0 是关键,属于基础题.
2 2 2 2 2

7.已知奇函数 f(x) ,当 x>0 时 f(x)=x+ ,则 f(﹣1)= ﹣2 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于 f(x)是奇函数,可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,据此可求出 f(﹣1) . 解答: 解:∵当 x>0 时 f(x)=x+ ,∴f(1)=1+1=2, 又∵函数 f(x)是奇函数,∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2.

故答案是﹣2. 点评: 本题考查了奇函数的应用,正确理解奇函数的定义是解决问题的关键.

8.函数 f(x)=

,则 f(f(﹣2012) )= ﹣1 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得,f(﹣2012)=1,f(f(﹣2012) )=f(1)代入即可求解 解答: 解:由题意可得,f(﹣2012)=1 ∴f(f(﹣2012) )=f(1)=1﹣2=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题
2

9.函数 y=x ﹣3x,x∈[0,2]的单调增区间为 [ ,2]



考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据所给的二次函数的二次项系数大于零,得到二次函数的图象是一个开口向上的 抛物线,根据对称轴,考查二次函数的变化区间,得到结果. 解答: 解:∵函数 y=2x ﹣3x 的二次项的系数大于零, ∴抛物线的开口向上, ∵二次函数的对称轴是 x= , 又 x∈[0,2],∴函数的单调递增区间是[ ,2] 故答案为:[ ,2] 点评: 本题考查二次函数的性质,考查二次函数的最基本的运算,是一个基础题,千万不 要忽视这种问题,它可以以各种身份出现在各种题目中. 10.已知集合 A=[1,2) ,B=(﹣∞,a) ,若 A∩B=A,则实数 a 的取值范围为 a≥2 . 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 规律型. 分析: 将条件 A∩B=A,转化为 A? B,然后建立条件关系,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵A∩B=A, ∴A? B, ∵A=[1,2) ,B=(﹣∞,a) , ∴a≥2, 故答案为:a≥2.
2

点评: 本题主要考查集合关系的应用,将 A∩B=A,转化为 A? B 是解决本题的关键,比较 基础.
2

11.已知集合 A={x|mx +2x+3=0}中有且只有一个元素,则 m 的取值集合为 {0, } .

考点: 集合的表示法. 专题: 集合. 分析: 讨论 m=0,和 m≠0,m=0 时,2x+3=0,x=﹣ ,满足集合 A 只有一个元素;m≠0 时, 要使集合 A 只有一个元素,只要使方程 mx +2x+3=0 有二重根,△=0 求出 m 即可,这样便可 得到 m 取值的集合. 解答: 解:对于方程 mx +2x+3=0,m=0 时,x=
2 2

,集合 A 只有一个元素,符合条件;

m≠0 时,要使该方程只有一个元素,则:△=4﹣12m=0,∴m= ; ∴m 取值的集合为{0, }. 故答案为:{0, }. 点评: 考查描述法表示集合,一元二次方程的根和判别式△的关系,不要漏了 m=0 的情况. 12.已知 f(x+1)=2x +1,则 f(x)= 2x ﹣4x+3 . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;规律型. 分析: 由题设,本题已知复合函数 f(x+1)=2x +1 的解析式,求外层函数的解析式,解题 的方法是换元法,令 t=x+1 代入换元即可 解答: 解:令 t=x+1,则 x=t﹣1 故有 f(t)=2(t﹣1) +1=2t ﹣4t+3 2 所以 f(x)=2x ﹣4x+3 2 故答案为 2x ﹣4x+3 点评: 本题考查函数解析式的求解及常用方法,由于本题中已知复合函数的解析式与内层 函数的解析式,求外层函数解析式,要用换元法求解,其具体步骤是令内层函数为 t,解出 t 表示的 x 的解析式,代入复合函数解析求出 f(t) ,由于习惯用 x 表示自变量,再将 t 换 成 x 即可得到外层函数的解析式,在新教材实验区,复合函数已经弱化,求外层函数的解析 式的题型已经不做要求
2 2 2 2 2 2

13.已知函数 f(x)=kx +2kx+1 在区间[﹣3,2]上的最大值为 4,则实数 k 的值为 3 . 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用.

或﹣

分析: 先用配方法将函数变形,求出其对称轴,再根据开口方向,确定函数的单调性,明 确取最大值的状态,再计算. 解答: 解:f(x)=kx +2kx+1=k(x+1) ﹣k+1 (1)当 k>0 时,二次函数图象开口向上, 当 x=2 时,f(x)有最大值,f(2)=8k+1=4 ∴k= ; (2)当 k<0 时,二次函数图象开口向下, 当 x=﹣1 时,f(x)有最大值,f(﹣1)=﹣k+1=4 ∴k=﹣3,满足条件. (3)当 k=0 时,显然不成立. 故 k= 故答案为: 或﹣3 点评: 本题主要考查函数最值的求法,基本思路是:二次项系数位置有参数时,先分类讨 论,再确定对称轴和开口方向,明确单调性,再研究函数最值. 14. (5 分) (2013 秋? 鼓楼区校级期中)函数 f(x)=(2﹣x)|x﹣6|在区间(﹣∞,a]上 取得最小值﹣4,则实数 a 的取值范围是 [4,4+2 ] . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由零点分段法,我们可将函数 f(x)=(2﹣x)|x﹣6|的解析式化为分段函数的形 式,然后根据分段函数分段处理的原则,画出函数的图象,进而结合图象数形结合,可得实 数 a 的集合. 解答: 解:∵函数 f(x)=(2﹣x)|x﹣6| = 其函数图象如下图所示: ,
2 2

由函数图象可得: 函数 f(x)=(2﹣x)|x﹣6|在(﹣∞,a]上取得最小值﹣4 时,

实数 a 须满足 4≤a≤4+2 . 故实数 a 的集合是[4,4+2 ]. 故答案为:[4,4+2 ]. 点评: 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,其中根据分段函数图象分段画的原 则,画出函数的图象是解答本题的关键. 二、解答题(14 分×3+16 分×3=90 分) 15.已知集合 A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)求:CR(A∩B) ; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C? B,求实数 a 的取值集合. 考点: 集合关系中的参数取值问题;集合的包含关系判断及应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)先求出 A∩B,再利用补集的定义即可; (2)结合数轴即可求出. 解答: 解: (1)∵A∩B={x|3≤x<6}, ∴CR(A∩B)={x|x<3 或 x≥6}; (2)∵C? B,如图所示: ∴ ∴2≤a≤8.

点评: 正确理解集合之间的关系和运算及数形结合是解题的关键.
2

16.记函数 f(x)= (1)M,N (2)求 M∩N,M∪N.

的定义域为集合 M,函数 g(x)=﹣x +2x 的值域为集合 N,求:

考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)求出 f(x)的定义域确定出 M,求出 g(x)的值域确定出 N; (2)找出 M 与 N 的交集与并集即可. 解答: 解: (1)由 f(x)= ,得到 x﹣1≥0,即 x≥1,

∴M=[1,+∞) ; 由 g(x)=﹣x +2x=﹣(x﹣1) +1≤1,得到 N=(﹣∞,1]; (2)M∩N={1},M∪N=R. 点评: 此题考查了交集及其运算,并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 17. (1)已知二次函数 f(x)的图象与 x 轴的两交点为(2,0) , (5,0) ,且 f(0)=10, 求 f(x)的解析式; (2)已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=4x+9,求 f(x)的解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 待定系数法;函数的性质及应用. 分析: (1)根据题意,可设 f(x)=a(x﹣2) (x﹣5) ,再由 f(0)求出 a 的值即可; (2)设 f(x)=ax+b,代入 f[f(x)]中,利用多项式对应系数相等,求出 a、b 的值即可. 解答: 解: (1)根据题意,设 f(x)=a(x﹣2) (x﹣5) , 且 f(0)=a×(﹣2)×(﹣5)=10, ∴a=1; ∴f(x)=(x﹣2) (x﹣5)=x ﹣7x+10; (2)设 f(x)=ax+b,a、b∈R, ∴f[f(x)]=f[ax+b]=a(ax+b)+b=a x+ab+b=4x+9, ∴ ;
2 2 2 2

解得

,或



∴f(x)=2x+3,或 f(x)=﹣2x﹣9. 点评: 本题考查了求函数解析式的问题,根据题意,可以用待定系数法求出函数的解析式, 是基础题.

18.已知函数 f(x)=

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f( )= .

(1)求 f(x)的解析式 (2)判断并用单调性的定义证明 f(x)在(﹣1,1)上的单调性. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由函数 f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f( )= .可得

f(0)=0,且 f( )= .解出即可. (2)利用函数单调性的定义即可证明.

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f( )= .

∴f(0)=0,且 f( )= .



,解得 b=0,k=2.

∴f(x)=

. x∈(﹣1,1) .

(2)函数 f(x)在 x∈(﹣1,1)单调递增. 证明:? ﹣1<x1<x2<1,则 x2﹣x1>0,x1x2﹣1<0, , .

则 f(x1)﹣f(x2)=

=

<0,

∴f(x1)<f(x2) . ∴函数 f(x)在 x∈(﹣1,1)单调递增. 点评: 本题考查了函数的奇偶性与单调性,属于基础题. 19.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若每辆车 的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆,则租出的 车有 100﹣ 辆;

(2)设当每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元时,租赁公司的月收益为 y 元,得出函数表 达式,由配方法求最大值. 解答: 解: (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时, 能租出的车有:100﹣ =80 辆;

(2)设当每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元时,租赁公司的月收益为 y 元,则 y=x(100﹣ )﹣150×(100﹣ )﹣50×

=﹣

(x﹣4050) +

2



则当月租金为 4050 元时,租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 =307050 元.

点评: 本题考查了实际问题转化为数学问题的能力,属于中档题. 20. (16 分) (2011 秋? 常州期中)已知 f(x)=|x﹣a|. (1)若 a=1,作出 f(x)的图象; (2)当 x∈[1,2],求 f(x)的最小值; (3)若 g(x)=2x +(x﹣a)|x﹣a|,求函数的最小值. 考点: 带绝对值的函数;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)当 a=1 时,f(x)=|x﹣1|,作出其图象即可; (2)对 a 分 a∈(﹣∞,1) ,a∈[1,2],a∈(2,+∞)三种情况讨论,再结合在相应区 间上的单调性即可求得 x∈[1,2]时 f(x)的最小值; (3)为了去掉绝对值符号,可分 x≥a 与 x≤a 两种情况讨论,再结合二次函数的性质即可 求函数的最小值. 解答: 解: (1)因为 a=1,作图如下(2 分) (2)①当 a∈(﹣∞,1)时,f(x)=|x﹣a|=x﹣a, 因为 f(x)在[1,2]递增, 所以 f(x)min=f(1)=1﹣a;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ②当 a∈[1,2]时,当 x=a 时,f(x)min=0 ③当 a∈(2,+∞)时,f(x)=|x﹣a|=a﹣x, 因为 f(x)在[1,2]递减, 所以 f(x)min=f(2)=a﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)
2

综上所述

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

(3)①当 x≥a 时,f(x)=3x ﹣2ax+a =3

2

2

+ a,
2

2

∴若 a≥0,f(x)在[a,+∞)上单调递增,f(x)min=f(a)=2a ; 若 a<0,f(x)在[ ,+∞)上单调递增,f(x)min=f( )= a ; ②当 x≤a 时,f(x)=x +2ax﹣a =(x+a) ﹣2a , 若 a≥0,f(x)在(﹣∞,﹣a]上单调递减[﹣a,a)上单调递增,f(x)min=f(﹣a)=﹣ 2 2a ; 2 若 a<0,f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,f(x)min=f(a)=2a ;
2 2 2 2 2

综上

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查带绝对值的函数,关键在于去掉函数式中的绝对值符号,方法是分类讨论, 重点考查分类讨论思想与转化的思想, 难点在于对含参数的二次函数的最值的研究, 属于难 题.


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