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3.1.1直线的倾斜角与斜率


3.1.1 直线的倾斜角与斜率

问题引入
在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何 表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,首先探索 确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来. y P(x,y) l
O x

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置

由哪些条件确定?
y l O

x

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y l O

P

x

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
当直线l与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为 00 . 直线的倾斜角 a 的取值范围为: y l

0 ? ? ? 180?.
?

O

x

讨论 下列直线的倾斜角分别是多大?
?
o

y o

?

p

l
x

y

l

y p

y

p o

?x

?x


p

o

l x

?

l

? ? 30。

l与y轴平行

? ? 30

l与x轴平行

规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l?? l 已知直线上的一个点不能 l? 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l
O P x

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

?

?

结论:坡度越大,楼梯越陡.

问题引入
例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更

3 2 陡一些,因为坡度(比)? . 2 2

升 高

升高量 坡度(比)? 前进量

?

前进

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

(? ? 90 )
?

倾斜角是90? 的直线有斜率吗? 倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.

直线的斜率
y

k ? tan ?
y

0。< a < 90。
?

k ? (0, ??)
x

90。? ? ? 180。
k ? (??,0) ?

O (1) y

O
(2)


x

? ? 90
(3) x

y

? ?0
k ?0
x



k值不存在 ?
O O

(4)

直线的斜率
如:倾斜角 ? ? 45? 时,直线的斜率 k ? tan 45? ? 1.
? tan( 180 ? ? ) ? ? tan ? . 当 ? 为锐角时,
? 如:倾斜角为 ? ? 135 时,由

k ? tan 135? ? ? tan 45? ? ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率(α为锐角)
设P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线 l上的两个不同点
| PP2 | k ? tan? ? | PP1 | | PP2 |? y2 ? y1
| PP 1 |? x2 ? x1

l
y P2 ?
2 2 1 1

y ?y tan? ? x ?x

P 1? ?

直线的斜率计算公式:


?

P

0

x

y ?y k? x ?x
2 2

1 1

斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率(α为钝角)
设P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线 l上的两个不同点

| PP2 | k ? tan? ? ? tan? ? ? | PP1 | | PP2 |? y2 ? y1 | PP 1 |? x1 ? x2

y P2(x2,y2)

y ?y y ?y tan ? ? ? ? x ?x x ?x 直线的斜率计算公式:
2 1 2 1 1 2 2 1

P

?

P1(x1,y1)

?



y ?y k? x ?x
2 2

O

x

1 1

举例
例1.直线l的倾斜角为45°,则斜率k为

1

直线l的倾斜角为120°,则斜率k为 ? 3 例2. 关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说 法是正确的( D, F ) A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或1800; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等; E.两直线的倾斜角相等,它们的斜率相等; F.直线斜率的范围是(-∞,+∞).

举例
例3. 如图,直线l1 的倾斜角α1=300,直线l2⊥l1, 求l1,l2 的斜率. 解:
3 l1的 斜 率 k1 ? tan?1 ? tan30 ? 3


y
l2

l1

? l2的倾斜角 ?2 ? 90 ? 30 ? 120
。 。



?1 O

?2
x

? l 2的 斜 率 k 2 ? tan120 ? tan( 180 ? 60 )
。 。 。

? ? tan60 ? ? 3


举例
例4. 求过A(-2,0),B(-5,3)两点的 直线的倾斜角和斜率

解:设该直线的斜率为 k , 倾斜角为 ?

3?0 则由 斜率 公式 得 k ? tan? ? ? ?1 ? 5 ? ( ?2)
? 0。? ? ? 180。 ? ? ? 135。 综 上 可 知 : 直 线 的 斜为 率 ? 1, 倾 斜 角 135。

举例
例5. 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3, 试比较斜率的大小

l1

l2

l3

k1 ? k3 ? k2

练习 判断正误
1. 直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α ( ) 2. 直线的斜率为tanβ,则它的倾斜角为β ( )

3. 因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( ) 4. 倾斜角为90°时,直线不存在 ( )

典型例题
例6 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

典型例题
例7 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4 . l y l A 解:取 l1上某一点为 1 的 A 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 A 有: y1 ? 0 x 1? , A x1 ? 0 l
3
3

1

1

2

4

即 x1 ? y1 .

A4

l2

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

知识小结

倾斜角

斜率

两点间斜率公式


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