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浙江省海宁市2013届高三2月期初测试试题数学(理)试题 Word版含答案


2013 年 2 月海宁市高三期初测试试题卷(理科数学)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封 线内填写学校、班级、学号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:
如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(

A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C k p (1-p) (k=0,1,2,?,n) n 台体的体积公式 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高
k n-k

柱体的体积公式
V ? Sh

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4π R2 球的体积公式

?R 3 其中 R 表示球的半径
V ?

4

3

第Ⅰ卷 选择题部分(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,则 (CU A) ? B = A. {x | 0 ? x ?1 } B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 1} D.R
开始
x ? 1, y ? 1

2.两个非零向量 a , b 的夹角为 ? ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ? 为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.右图是一个程序框图,运行这个程序,则输出的结果为 2 3 A. B. 3 2 C.

z? x? y z ? 7?

否 输出


x? y

3 5

D.

5 3

y x

y?z

结束

4.已知函数 f (x) ? sin(x ? ? ) , g(x) ? cos(x ? ? ) ,则下列结论中正确的是 A.函数 y ? f (x) ? g(x) 的最小正周期为 2?

B.函数 y ? f (x) ? g(x) 的最大值为 1

? 单位后得 g(x) 的图象 2 ? D.将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 单位后得 g(x) 的图象 2
C.将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 5.已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是 A.若 a1 ? 0 ,则 a2013 ? 0 C.若 a1 ? 0 ,则 S 2 0 1 3 ? 0 B.若 a 2 ? 0 ,则 a2014 ? 0 D.若 a 2 ? 0 ,则 S 2 0 1 4 ? 0

?2 x ? y ? 4 ? 6.若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,目标函数 z ? tx ? y 有最小值 2,则 t 的值可以为 ?x ? 2 y ? 2 ?
A.3 B. ?3 C.1 7.已知函数 f (x) ? a sin x ? x (a ?R),则下列错误的是 .. A.若 ?1 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在 R 上单调递减 B.若 f ( x) 在 R 上单调递减,则 ?1 ? a ? 1 C.若 a ? 1 ,则 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点 D.若 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点,则 a ? 1 8.现准备将 7 台型号相同的健身设备全部分配给 5 个不同的社区,其中甲、乙两个社区每 个社区至少 2 台,其它社区允许 1 台也没有,则不同的分配方案共有 A.27 种 B.35 种 C.29 种 D.125 种 9.已知点 P 是双曲线 C:
? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点, a2 b2 F1,F2 是双曲线的左、右两个焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 与两条渐 近线相交于 M,N 两点(如图) ,点 N 恰好平分线段 PF2,则双 曲线的离心率是 x2 ? y2
y P M N

D. ? 1

F1

O

F2

x

A. 5

B.2

C. 3

D. 2

(第 9 题)

10.在平行四边形 ABCD 中, BC ? 2 AB ? 2, ?B ? 60o ,点 E 是线 段 AD 上任一点(不包含点 D ) ,沿直线 CE 将△ CDE 翻折成△ CD ' E ,使 D ' 在平面
ABCE 上的射影 F 落在直线 CE 上,则 AD' 的最小值是

A. 4 ? 3

B. 4 ? 2

C.2

D. 3

第Ⅱ卷

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2 ? i (i 为虚数单位) ,则 复数 z= ▲ . 12.已知几何体的三视图如右图所示,则 该几何体的体积为 ▲ . 13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a7 ? ?2, S9 ? 18 , 则 S11 ? ▲ . ▲
(第 12 题)

2 4 4 4
正视图

4
侧视图

14. ( x ? 2)( x ? 1)5 展开式中含 x3 项的系数为



俯视图



15.已知抛物线 y2 ? 6x ,准线 l 与 x 轴交于点 M ,过 M 作直线交抛物线于 A, B 两点( A 在 ,点 A 到 l 的距离为 2,则 M , B 之间)
| AB | ? | MA |





16.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 60o ,若 P 是 ?ABC 所在平面内一点,且 AP ? 2 ,
??? ??? ? ? 则 PB ? PC 的最大值为





17.平面直角坐标系中,过原点 O 的直线 l 与曲线 y ? e x ?1 交于不同的 A,B 两点,分别过点 A,B 作 y 轴的平行线,与曲线 y ? ln x 交于点 C,D,则直线 CD 的斜率是 ▲ .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 (Ⅰ)求角 A, B 的大小; (Ⅱ)设函数 f (x) ? sin(x ? A) ? cos x ,求 f ( x) 在 [?

cos A b 2? . ? ,且 ?C ? cos B a 3

? ?

, ] 上的值域. 6 3

19. (本小题满分 14 分) 袋中有九张卡片,其中红色四张,标号分别为 0,1,2,3;黄色卡片三张,标号分别 为 0,1,2;白色卡片两张,标号分别为 0,1.现从以上九张卡片中任取(无放回,且 每张卡片取到的机会均等)两张. (Ⅰ)求颜色不同且卡片标号之和等于 3 的概率; ..

(Ⅱ)记所取出的两张卡片标号之积为 X ,求 X 的分布列及期望. ..

20. (本小题满分 15 分) 如 图 , 已 知 A B C D是 边 长 为 1 的 正 方 形 , AF ? 平 面 A B C D, CE ∥ AF , 且 CE? ? AF? ? 1). ( E (Ⅰ)证明: BD ? EF ; (Ⅱ)若 AF ? 1 ,求二面角 B ? EF ? D 的最小值. F

A B C

D

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

(第 20 题图)

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 过点 M (m,0) . 4 3 (Ⅰ)若直线 l 交 y 轴于点 N ,当 m ? ?1 时, MN 中点恰在椭圆 C 上,求直线 l 的方程;

(Ⅱ)如图,若直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,当 m ? ?4 时,在 x 轴上是否存在点 P ,使 得 ?PAB 为等边三角形?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由.
y
B A

l

M

O O

x

22. (本小题满分 14 分)
x

a ?1 已知函数 f ( x) ? a ? e ? ? 2(a ? 1) (a ? 0) . x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的 x? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

(第 21 题图)

2013 年 2 月海宁市高三期初测试参考答案(理科数学)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)

3 1 ? i ;12. 64 ? 4? ;13.0;14.10;15.2;16. 10 ? 2 37 ;17.1. 2 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11.
[来: ]

18. (Ⅰ)∵

cos A b cos A sin B ,即 sin 2 A ? sin 2B ? ,由正弦定理得 ? cos B a cos B sin A

(3 分) (6 分)

2 (Ⅱ) f (x) ? sin(x ? A) ? cos x ? 3 sin( x ? ) 3

∴ A ? B 或 A? B ?

?

(舍去) ?C ? ,

2? ? ,则 A ? B ? 3 6

?

(10 分) (12 分)

? ? ? ? 2? ∵ x ?[? , ] ,则 ? x ? ? 6 3 6 3 3
? ? ? 2? 而正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上单调递增,在 [ , ] 上单调递减 6 2 2 3
∴函数 f ( x) 的最小值为
3 ,最大值为 3 , 2

3 ? ? 即函数 f ( x) 在 [ , ] 上的值域为 [ , 3] . 2 6 2

(14 分)

19.(Ⅰ)从九张卡片中取出两张所有可能情况有 C92 ? 36 种 颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 ∴P? (Ⅱ)

6 1 ? 36 6

(5 分)

P( X ? 0) ?
X P

21 3 6 3 1 2 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? 36 36 36 36 36 36
0 1 2 3 4 6

21 36

3 36

6 36

3 36

1 36

2 36
(14 分)

21 3 6 3 1 2 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? 36 36 36 36 36 36 9 20. (Ⅰ)方法 1: 连结 AC .∵ ABCD 是正方形 ∴ BD ? AC EX ?

(2 分)

∵ AF ? 平面 ABCD ∴ AF ? BD ∴ BD ? 平面 ACEF ∴ BD ? EF 方法 2: 如图建立空间直角坐标系 A ? xyz
z

(4 分) (6 分) (7 分)

E M

∵ B(1,0,0) , D(0,1,0) ∴ BD ? (?1,1,0) 设 F (0,0, h) ,那么 E(1,1, ?h) , 则 EF ? (?1,?1, (1 ? ? )h) ∴ BD ? EF ? 0 ∴ BD ? EF
A

(2 分) (4 分) (5 分)
D y

F

(7 分)

(Ⅱ)方法 1: O x B C BM ? EF 于 M ,连结 DM , 作 设 AC 交 BD 于 O ,连结 MO . 由图形的对称性可知, DM ? EF ∴ ? BMD 是二面角 B ? EF ? D 的平面角,且 ?BMD ? 2?BMO ∵ BE 2 ? ? 2 ? 1, BF 2 ? 2, EF 2 ? (? ? 1)2 ? 2 ∴ cos ?FBE ?

(9 分)

?
2? 2 ? 2

, 则 sin ?FBE ?

?2 ? 2
2? 2 ? 2
(11 分)

∴ BM ?

BF ? BE sin ?FBE ?2 ? 2 ? EF ? 2 ? 2? ? 3
2 2 ?2 ? 2 2 2? ? 1 ? 1? 2 2 ? ?2

BO ∴ sin ?BMO ? ? BM

?

? 2 ? 2? ? 3
令 2? ? 1 ? t ,则 sin ?BMO ?
2 4t 2 4 1 ? 1? 2 ? ? 1? ? (14 分) 9 2 t ? 2t ? 9 2 2 t? ?2 t

二面角 B ? EF ? D 的最小值为 60o . 方法 2: ∵ B(1,0,0) , F(0,0,1) , E(1,1, ?) ∴ BF ? (?1,0,1), BE ? (0,1, ? ) 则平面 BEF 的法向量是 n ? (1,?? ,1) 平面 ACEF 的法向量是 DB ? (1,?1,0)

(15 分)

(9 分) (10 分)

??? ? ? ∴ cos ? DB, n ? ?

? ?1
2 ? ?2 ? 2

?

(? ? 1)2 2 2? ? 1 ? ? 1? 2 2 2(? ? 2) 2 ? ?2

令 2? ? 1 ? t ,

cos? DB, n ? ?

2 4t 2 4 3 ? 1? 2 ? ? 1? ? 9 2 t ? 2t ? 9 2 2 t? ?2 t

(13 分)

由图形的对称性可知,二面角 B ? EF ? D 的最小值为 60o . 1 n 21. (Ⅰ)设点 N(0, n) ,则 MN 的中点为 (? , ) 2 2
1 n (? )2 ( ) 2 2 ? 2 ?1 ∴ n ? ? 3 5 ∴ 4 3 2

(15 分)

(3 分)

3 (4 分) 5( x ? 1) . 2 ( Ⅱ ) 假 设 在 x 轴 上 存 在 点 P , 使 得 ?PAB 为 等 边 三 角 形 . 设 直 线 l 为
∴直线 l 的方程为: y ? ?
x ? ty ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

? x ? ty ? 4 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

∴ (3t 2 ? 4) y2 ? 24ty ? 36 ? 0

∴ y1 ? y2 ?

24t 36 , y1 y2 ? 2 , ? ? 144(t 2 ? 4) ? 0 2 3t ? 4 3t ? 4 ?16 12t , 2 ) 2 3t ? 4 3t ? 4 12t 16 ? ?t ( x ? 2 ) 3t 2 ? 4 3t ? 4
|

(6 分)

∴ AB 中点为 (

∴ AB 的中垂线为: y ?

(8 分)

12t 2 ? 12 | 2 4 12 t 2 ? 1 ∴点 P 为 (? 2 ,0) ∴ P 到直线 l 的距离 d ? 3t ? 4 ? 3t 2 ? 4 3t ? 4 t2 ?1
∵ | AB |?

(10 分)

12 t 2 ? 4 1? t2 3t 2 ? 4

(11 分)



12 t 2 ? 1 3 12 t 2 ? 4 ? ? 1? t2 3t 2 ? 4 2 3t 2 ? 4
4 3 3

(13 分)

1 ∴存在点 P 为 (? ,0) . 5 2 22. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? ? 4 x
∴t ? ? ∴ f ' ( x) ? e x ?

(15 分)

2 ∴ f ' (1) ? e ? 2 x2

(2 分)

∵ f (1) ? e ? 2 ∴ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: (e ? 2)x ? y ? 0 . (Ⅱ)∵ f ( x) ? a ? e x ?
ax e ? (a ? 1) a ?1 ? 2(a ? 1) ∴ f ' ( x) ? x2 x
2 x

(4 分)

令 g ( x) ? ax2 e x ? (a ? 1) ,则 g ' ( x) ? ax(2 ? x)e x ? 0 ∴ g(x) 在 (0, ??) 上 (6 分)

∵ g(0) ? ?(a ?1) ? 0 ,当 x ??? 时, g( x) ? 0 ∴存在 x0 ? (0, ??) ,使 g ( x0 ) ? 0 , 且 f ( x) 在 (0, x0 ) 上 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 上
a ?1 x0 2

(8 分) (10 分)

∵ g ( x0 ) ? ax02ex0 ? (a ? 1) ? 0 ∴ ax02 e x0 ? a ? 1 ,即 ae x0 ?

∵对于任意的 x? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立 a ?1 a ?1 a ?1 ∴ f ( x)min ? f ( x0 ) ? a ? e x0 ? ? 2(a ? 1) ? 0 ∴ 2 ? ? 2(a ? 1) ? 0 x0 x0 x0 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? 0 ∴ 2x02 ? x0 ? 1 ? 0 ∴ ? ? x0 ? 1 2 x0 x0 2

∵ ax02 e x0 ? a ? 1 ∴ x02ex0 ?

a ?1 ?1 a

令 h( x0 ) ? x02 e x0 ,而 h(0) ? 0 ,当 x0 ? ?? 时, h( x0 ) ? ?? ∴存在 m?(0, ??) ,使 h(m) ? 1 ∵ h( x0 ) ? x02 e x0 在 (0, ??) 上 ∴ m ? x0 ? 1 ∵ h( x0 ) ? x02 e x0 在 (m,1] 上 ∴1 ? ∴ h(m) ? h( x0 ) ? h(1) (14 分) ,∴ x0 ? m (12 分)

a ?1 1 . ?e ∴a ? a e ?1


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