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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 新人教A版选修4-1




直角三角形的射影定理

课标解读

1.了解射影定理的推导过程. 2.会用射影定理进行相关计算与证明.

1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上 的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. (3)射影:点和线段的正射影简称为射影. 2.射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜 边上射影与斜边的比例中项. (2)图形语言 如图 1-4-1,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高, 则有 CD =AD·BD.
2

AC2=AD·AB. BC2=BD·AB.

1.如何使用射影定理? 【提示】 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图形去记忆定理,当所给条

1

件中具备定理条件时,可 直接运用,有时也可通过作垂线使之满足定理的条件,在处理一些综合问题时,常常与 三角形的相似相联系. 2.如何用射影定理证明勾股定理? 【提示】

如图所示,在 Rt△ABC 中,AC⊥CB,CD⊥AB 于 D,则由射影定理可得 AC =AD·AB,BC =BD·BA, 则 AC +BC =AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB , 即 AC +BC =AB .
2 2 2 2 2 2

2

2

由此可见, 利用射影定理可以证明勾股定理. 过去我们是用面积割补的方法证明勾股定 理的, 现在我们又用射影定理证明勾股定理, 而且这种方法简捷明快, 比面积法要方便得多. 3.直角三角形射影定理的逆定理是什么?如何证明? 【提示】 直角三角形射影定理的逆定理:

如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项, 那么这个三角形是 直角三角形. 符号表示:如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于 D,若 CD =AD·BD,则△ABC 为直角三角形. 证明如下: ∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°, 又∵CD =AD·BD,即 AD∶CD=CD∶BD, ∴△ACD∽△CBD,∴∠CAD=∠BCD. 又∵∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠CAD=90°,即△ABC 为直角三角形.
2 2

2

与射影定理有关的计算 已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高,如果两直角边 AC,BC 的 长度比为 AC∶BC=3∶4. 求:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长. 【思路探究】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值;再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值.最后由射影定理 CD =AD·BD,求得 CD 的长. 【自主解答】 (1)∵AC =AD·AB,BC =BD·AB, ∴ ∴
2 2 2

AD·AB AC2 = , BD·AB BC2 AD AC 2 3 2 9 =( ) =( ) = , BD BC 4 16

即 AD∶BD=9∶16. (2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16, 9 ∴AD= ×25=9(cm). 25

BD= ×25=16(cm),
∴CD= AD·BD= 9×16=12(cm).

16 25

1.解答本题(1)时,关键是把 转化为( ) . 2.解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角 三角形中有关线段的长度.在解 题时,要紧抓线段比 之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件,紧扣等式结构形式, 达到最终目的.

AD BD

AC BC

2

3

图 1-4-2 如图 1-4-2,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,若 AD=2 cm,DB=6 cm,求 CD,

AC,BC 的长.
【解】 ∵CD =AD·DB=2×6=12, ∴CD= 12=2 3(cm). ∵AC =AD·AB=2×(2+6)=16, ∴AC= 16=4(cm). ∵BC =BD·AB=6×(2+6)=48, ∴BC= 48=4 3(cm). 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm. 与射影定理有关的证明
2 2 2

图 1-4-3 已知如图 1-4-3,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于

F.
求证:CD =AE·BF·AB. 【思路探究】 ∠ACB=90°,CD⊥AB→CD =AD·DB→CD =AE·BF·AB. 【自主解答】 ∵∠BCA=90°,CD⊥BA, ∴CD =AD·BD. 又∵DE⊥AC,DF⊥BC,
4
2 2 3 3

∴AD =AE·AC,BD =BF·BC, ∴CD =AD ·BD =AE·AC·BF·BC=AE·BF·AC·BC. 1 1 而 S△ABC= AC·BC= AB·CD, 2 2
4 2 2

2

2

∴CD =AE·BF·AB·CD. 即 CD =AE·BF·AB.
3

4

1 1 1.解答本题的关键是利用 S△ABC= AC·BC= AB·CD 进行转化. 2 2 2.在证明与直角三角形有关的问题时,常用射影定理来构造比例线段,从而为证明三 角形相似创造条件.

在本例条件不变的情况下,求证:

DE3 AE = . DF3 BF

【证明】 根据题意可得,DE=CF,CE=DF,

DE2=AE·CE, DF2=BF·CF,
∴DE ·BF·CF=DF ·AE·CE, ∴DE ·BF=DF ·AE, 即
3 3 2 2

DE3 AE = . DF3 BF

(教材第 22 页习题 1.4 第 1 题)在△ABC 中,∠C=90°,CD 是斜 边 AB 上的高,已知 CD=60,AD=25,求 BD,AB,AC,BC 的长.

(2013·商丘模拟)如图 1-4-4, 已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC、

BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD=______cm.

5

图 1-4-4

【命题意图】 本题主要考查直角三角形的射影定理及运算求解能力. 【解析】 连接 CD,则 CD⊥AB. 由 AC=3cm,BC=4cm 得 AB=5cm. 由射影定理得 BC =BD·BA, 即 4 =5BD. 16 所以 BD= cm. 5 【 答 案 】 16 5
2 2

1. 如图 1-4-5,在 Rt△ABC 中,AC⊥CB,CD⊥AB 于 D 且 CD=4,则 AD·DB=( A.16 B.4 C.2 D.不确定

)

图 1-4-5
6

【解析】 由射影定理 AD·DB=CD =4 =16. 【答案】 A 2.已知:在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,BC= 15 cm,BD=3 cm,则

2

2

AD 的长是(
A.5 cm C.6 cm

) B.2 cm D.24 cm
2

【解析】 ∵BC =BD·AB, ∴15=3AB,即 AB=5, ∴AD=AB-BD=5-3=2(cm). 【答案】 B 3. 如图 1-4-6 所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,CD=2,BD=3, 则 AC=________.

图 1-4-6 4 2 【解析】 由 CD =BD·AD 得 AD= , 3 4 13 ∴AB=BD+AD=3+ = , 3 3 4 13 52 2 ∴AC =AD·AB= × = , 3 3 9 2 ∴AC= 13. 3 【答案】 2 13 3

4.一个直角三角形两条直角边的长分别为 1 cm 和 5 cm,则它们在斜边上的射影比为 ________.

7

【解析】 如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AC=1 cm,BC= 5 cm, ∵AC =AD·AB=1,BC =BD·AB=5, ∴
2 2

AD 1 = . BD 5

【答案】

1∶5

一、选择题 1.△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,BD=2,则 AC∶BC 的值是( A.3∶2 C. 3∶ 2 D. 2∶ 3 B.9∶4 )

【解析】 如图,在 Rt△ACB 中,CD⊥AB,由射影定理知 AC =AD·AB,

2

BC2=BD·AB,
又∵AD=3,BD=2,∴AB=AD+BD=5, ∴AC =3×5=15,BC =2×5=10. ∴
2 2

AC 15 3 = = ,即 AC∶BC= 3∶ 2, BC 10 2

故选 C. 【答案】 C 2.

8

图 1-4-7 如图 1-4-7 所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D 为垂足,若 CD=6,AD∶DB =1∶2,则 AD 的值是( A.6 B.3 2 C.18 D.3 6 )

AD 1 ? ? = , 【解析】 由题意知?DB 2 ? ?AD·DB=36,
∴AD =18, ∴AD=3 2. 【答案】 B 3.在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,若 A. 3 4 4 16 B. C. 3 9 D. 9 16
2

AC 3 BD = ,则 等于( AB 4 CD

)

【解析】 如图,由射影定理,得 AC =CD·BC,AB =BD·BC, ∴ 即

2

2

AC2 CD 3 2 = =( ) , AB2 BD 4 CD 9 BD 16 = ,∴ = . BD 16 CD 9

【答案】 C 4.在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,若 BD:AD=1:4,则 tan∠BCD 的值是 ( ) A. 1 4 1 B. 3 1 C. 2 D.2
2

【解析】 如图,由射影定理得 CD =AD·BD,

又∵BD:AD=1:4, 令 BD=x,则 AD=4x(x>0). ∴CD =AD·BD=4x ,∴CD=2x,
2 2

9

在 Rt△CDB 中,tan∠BCD= 【答案】 C 二、填空题

BD x 1 = = . CD 2x 2

图 1-4-8 5.如图 1-4-8,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD,OF⊥AB.DE∶EB=1∶3,OF=a,则对角线

BD 的长为________.
【解析】 ∵OF=a, ∴AD=2a, ∵AE⊥BD, ∴AD =DE·BD. 1 ∵DE∶EB=1∶3,∴DE= BD, 4 1 2 ∴AD = BD·BD. 4 ∴BD =4AD =4×4a =16a ,∴BD=4a. 【答案】 4a 6.已知在梯形 ABCD 中,DC∥AB,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10 cm,AC=6 cm,则此梯 形的面积为________. 【解析】 如图,过 C 点作 CE⊥AB 于 E.
2 2 2 2 2

在 Rt△ACB 中, ∵AB=10 cm,AC=6 cm, ∴BC=8 cm, ∴BE=6.4 cm,AE=3.6 cm. ∴CE= 6.4×3.6=4.8(cm), ∴AD=4.8 cm. 又∵在梯形 ABCD 中,CE⊥AB, ∴DC=AE=3.6 cm.

10

?10+3.6?×4.8 2 ∴S 梯形 ABCD= =32.64(cm ). 2 【答案】 32.64 cm 三、解答题 7.已知直角三角形周长为 48 cm,一锐角平分线分对边为 3∶5 两部分. (1)求直角三角形的三边长; (2)求两直角边在斜边上的射影的长.
2

【解】 (1)如图,设 CD=3x,BD=5x,则 BC=8x,过 D 作 DE⊥AB, 由题意可得,

DE=3x,BE=4x,
∴AE+AC+12x=48. 又 AE=AC, ∴AC=24-6x,AB=24-2x, ∴(24-6x) +(8x) =(24-2x) , 解得:x1=0(舍去),x2=2, ∴AB=20,AC=12,BC=16, ∴三边长分别为:20 cm,12 cm,16 cm. (2)作 CF⊥AB 于 F, ∴AC =AF·AB, ∴AF=
2 2 2 2

AC2 122 36 = = (cm); AB 20 5

BC2 162 64 同理:BF= = = (cm). AB 20 5
36 64 ∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm, cm. 5 5

图 1-4-9 8.如图 1-4-9,Rt△ABC 中有正方形 DEFG,点 D、G 分别在 AB、AC 上 ,E、F 在斜边

11

BC 上,求证:EF2=BE·FC.

【证明】 如图,过点 A 作 AH⊥BC 于 H.

∴DE∥AH∥GF. ∴

DE BE = , AH BH

GF FC = . AH CH


DE·GF BE·FC = . AH2 BH·CH
2

又∵AH =BH·CH,∴DE·GF=BE·FC. 而 DE=GF=EF.∴EF =BE·FC.
2

图 1-4-10 9.如图 1-4-10,已知:BD,CE 是△ABC 的两条高,过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长 线于 G、H,交 CE 于 F,且∠H=∠BCF,求证:GD =GF·GH. 【证明】 ∵∠H=∠BCE,∠EBC=∠GBH, ∴△BCE∽△BHG, ∴∠BEC=∠BGH=90°, ∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC,在 Rt△BCD 中, 由射影定理得,GD =BG·CG. ① ∵∠FGC=∠BGH=90°,∠GCF=∠H, ∴△FCG∽△BHG, ∴
2 2

FG CG = , BG GH

∴BG·GC=GH·FG. ② 由①②得,GD =GH·FG.
2

12

10.

如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,过 D 作 DE⊥AB,DF⊥AC,E,F 为垂足.求 证: (1)AE·AB=AF·AC; (2)△AEF∽△ACB. 【证明】 (1)∵AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 在 Rt△ABD 中, 由射影定理得 AD =AE·AB, 在 Rt△ADC 中, 由射影定理得 AD =AF·AC, ∴AE·AB=AF·AC. (2)∵AE·AB=AF·AC, ∴
2 2

AE AF = . AC AB

又∵∠EAF=∠CAB, ∴△AEF∽△ACB.

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