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高考调研数学4-3


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

第四章 三角函数

第四章

三角函数

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第3课时 两角和与差的三角函数

第四章

第3课时

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2012· 考纲下载
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切 公式 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦

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请注意!
本课主要题型有:(1)三角函数式的化简与求值;(2) 三角函数式的简单证明.这部分知识难度已较以前有所降 低,应适当控制其难度.如 2010· 全国,6 题;2010· 广东, 17 题等

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1.两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ . (2)cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ . tanα+tanβ (3)tan(α+β)= 1-tanαtanβ .

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2.两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ-cosαsinβ= sin(α-β). (2)cosαcosβ+sinαsinβ= cos(α-β). tanα-tanβ (3) = tan(α-β). 1+tanαtanβ

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3.常用公式的变化形式 ①asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ), 其中 cosφ=

a a2+b2 .sinφ=

b a2+b2

或 asinx+bcosx= a2+b2cos(x-θ),

b 2 2 a + b 其中 cosθ= .sinθ=

a a2+b2 .

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②tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) 1-tanα π ③ =tan(4-α) 1+tanα 1+tanα π ④ =tan(4+α) 1-tanα

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1.sin119° sin181° -sin91° sin29° 的值为______.
答案
解析

1 -2
sin119° · sin181° -sin91° · sin29°

=cos29° · (-sin1° )-cos1° · sin29° =-(sin1° · cos29° +cos1° · sin29° ) 1 =-sin30° =-2.
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2.cos 8-sin 8等于( A.0 C .1
答案 B





) 2 B. 2 2 D.- 2

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π 4 π 3.已知 α∈(-2,0),sinα=-5,则 tan(α+4)等于 ( ) A.-7 1 C. 7
答案 B

1 B.-7 D.7

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π 4 解析 ∵α∈(- ,0),sinα=- , 2 5 3 4 ∴cosα=5,∴tanα=-3, 4 1-3 π 1+tanα 1 ∴tan(α+4)= = 4=-7. 1-tanα 1+3

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1 4. 已知 tan(α+β)=1, tanβ=3, 则 tanα 的值为( A.-2 1 C.2
答案 C
解析 ∵tanα=tan(α+β-β) 1 1 - tan?α+β?-tanβ 3 1 = = 1=2. 1+tan?α+β?tanβ 1+3
第四章 第3课时

)

1 B.-2 D.2

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π π π 1 5.(2011· 浙江理)若 0<α<2,-2<β<0,cos(4+α)=3, π β 3 β cos(4-2)= 3 ,则 cos(α+2)=( 3 A. 3 5 3 C. 9
答案 C

)

3 B.- 3 6 D.- 9

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解析

β π π β π 对于 cos(α+ )=cos[( +α)-( - )]=cos( 2 4 4 2 4

π β π π β +α)cos(4-2)+sin(4+α)sin(4-2), π π 3π π β π π π 2 2 而( +α)∈( , ), ( - )∈( , ), 因此 sin( +α)= , 4 4 4 4 2 4 2 4 3 π β 6 β 1 3 2 2 6 5 3 sin( - )= ,则 cos(α+ )= × + × = . 4 2 3 2 3 3 3 3 9

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题型一

知角求值

sin7° +cos15° sin8° 例 1 ①求 的值. cos7° -sin15° sin8° ②求 cot20° cos10° + 3sin10° · tan70° -2cos40° 的值.

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sin?15° -8° ?+cos15° sin8° 【解析】 ①原式= cos?15° -8° ?-sin15° sin8° sin15° cos8° = = tan15° = tan(45° - 30° ) = cos15° cos8° tan45° -tan30° 1+tan45° tan30° 3 1- 3 3-1 = = =2- 3. 3 3+1 1+ 3
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②原式=tan70° · cos10° + 3sin10° tan70° -2cos40° =tan70° (cos10° + 3sin10° )-2cos40° =2tan70° · sin40° -2cos40° sin70° =2( · sin40° -cos40° ) cos70° sin70° sin40° -cos40° cos70° =2 cos70° -cos110° cos70° =2 cos70° =2· =2. cos70°
【答案】 ①2- 3 ②2
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探究 1 ①注意观察各角之间的内在关系. ②注意公式的逆运用进行化简.

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思考题 1 求 tan20° +4sin20° 的值.
【解】 sin20° 原式=cos20° +4sin20°

sin20° +4sin20° cos20° sin20° +2sin40° = = cos20° cos20° sin?30° -10° ?+2sin?30° +10° ? = cos20° 3 3 + 2 sin10° 2cos10° = cos20°
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3 1 +2sin10° 2 cos10° = 3 cos20° cos?30° -10° ? = 3 cos20° = 3.
【答案】 3

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题型二

知值求值

π 4 π π 例 2 (1)已知 sin(α+6)=-5, α∈(-2, 求 sinα 的值. 2),
【解析】 π π ∵α∈(- , ), 2 2

π π 2π ∴α+ ∈(- , ), 6 3 3 π 4 又 sin(α+6)=-5<0,

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π π ∴α+ ∈(- ,0), 6 3 π ∴cos(α+ )= 6 π 3 1-sin ?α+ ?= . 6 5
2

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π π ∴sinα=sin[(α+6)-6] π π π π =sin(α+ )cos -cos(α+ )· sin 6 6 6 6 4 3+3 4 3 31 =(-5) 2 -5· 2=- 10 .
4 3+3 【答案】 (1)- 10
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π 3 π 3 3π (2)已知 0<β< <α< π,cos( -α)= ,sin( +β) 4 4 4 5 4 5 =13,求 sin(α+β)的值. 【思路】 比较给出的角与待求式中的角的关系, 不 3π π π π 难发现( 4 +β)-(4-α)=2+(α+β), 或者是先将 cos(4-α) π π 3 变化为 sin( +α),再考虑( +α)+( π+β)=π+(α+β), 4 4 4 再利用诱导公式即可出现 α+β,故只需求出相应角的正 余弦值,利用两角和与差的三角公式即可.
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π π 3 【解析】 cos(4-α)=sin(α+4)=5, π π ∵2<α+4<π, π 4 ∴cos(α+4)=-5. 3π 5 3π 3π ∵sin( +β)= , <β+ <π, 4 13 4 4 3π 12 ∴cos( +β)=- . 4 13

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π 3π ∴sin(α+β)=-sin(α+4+β+ 4 ) π 3π 3π π =- [sin(α + 4 )cos(β + 4 ) + sin(β + 4 )· cos(α + 4 )] = 56 65.
56 【答案】 65

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探究 2 本题属“给值求值”问题,通常是认真观察 所给函数值中的角与所求函数式中的角之间的联系, 通过 “变角”“拼角”等手段来求解.

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π π 3 思考题 2 (1)已知- <β<0<α< ,cos(α-β)= ,sinβ 2 2 5 5 =- ,求 sinα 的值. 13 1 1 (2)若 cosα+cosβ=2,sinα+sinβ=3,求 cos(α-β)的 值.

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π π 【解】 (1)∵- <β<0<α< ,∴0<α-β<π. 2 2 3 4 ∵cos(α-β)=5,∴sin(α-β)=5. 5 π 12 又∵sinβ=-13,-2<β<0,∴cosβ=13. 故 sinα = sin[(α - β) + β] = sin(α - β)cosβ + cos(α - 4 12 3 5 33 β)· sinβ=5×13+5×(-13)=65.

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(2)【思路】 公式的熟练运用.

本题主要考查两角和与差的正、余弦

因为 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以将已知两 式平方后相加可得.

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1 【解析】 ∵cosα+cosβ= ,① 2 1 sinα+sinβ=3,② ①2+②2,得 1 1 2+2(cosα· cosβ+sinα· sinβ)=4+9

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13 59 即 2+2cos(α-β)=36.∴cos(α-β)=-72.
33 59 【答案】 (1) (2)- 65 72
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题型三

知值求角

4 16 例 3 已知:α,β 为锐角,且 cosα=5,cos(α+β)=-65, 求 cosβ 的值. 【思路】 本题需要将 β 变为(α+β)-α,创造条件利用 公式.

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π 【解析】 ∵0<α,β<2,∴0<α+β<π, 16 63 由 cos(α+β)=-65,得 sin(α+β)=65. 4 3 又∵cosα=5,∴sinα=5. ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 16 4 63 3 5 =(- )× + × = . 65 5 65 5 13
5 【答案】 13
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探究 3 在解决三角函数求值问题时, 一定要注意已 知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧, 如: α=(α+β)-α=β-(β-α); 1 α= [(α+β)+(α-β)]; 2 1 α=2[(β+α)-(β-α)]等.

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1 13 π 思考题 3 已知 cosα=7, cos(α-β)=14, 且 0<β<α<2, (1)求 tan2α 的值; (2)求 β.
【解析】 1 π (1)由 cosα= ,0<α< ,得 7 2
2

sinα= 1-cos α=

12 4 3 1-? ? = , 7 7

sinα 4 3 7 ∴tanα= = × =4 3. cosα 7 1

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2×4 3 2tanα 8 3 于是 tan2α= = =- . 47 1-tan2α 1-?4 3?2 π π (2)由 0<β<α<2,得 0<α-β<2, 13 又∵cos(α-β)= . 14 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?=
2

13 2 3 3 1-?14? = 14 .

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由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = , 7 14 7 14 2 π 所以 β=3.
8 3 π 【答案】 (1)- (2)β= 47 3

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题型四
例4 化简

三角函数的化简与证明

sin?α+β?-2sinαcosβ (1) ; 2sinαsinβ+cos?α+β? 1 1 (2) - ; 1-tanθ 1+tanθ (3)3 15sinx+3 5cosx.

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【解析】 (1)原式 sinα· cosβ+cosα· sinβ-2sinα· cosβ = 2sinα· sinβ+cosα· cosβ-sinα· sinβ -?sinα· cosβ-cosα· sinβ? = cosα· cosβ+sinα· sinβ sin?α-β? =- =-tan(α-β). cos?α-β? ?1+tanθ?-?1-tanθ? (2)原式= 1-tan2θ 2tanθ = =tan2θ. 1-tan2θ

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(3)3 15sinx+3 5cosx 3 1 =6 5( sinx+ cosx) 2 2 π π =6 5(sinx· cos6+cosx· sin6) π =6 5sin(x+ ). 6

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π 【答案】 (1)-tan(α-β) (2)tan2θ (3)6 5sin(x+ ) 6

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探究 4 (1)对此类化简题,对公式既要会正用,又要 会逆用,甚至变形应用. (2)应用公式时特别注意角不要化错,函数名称、符 号一定要把握准确. (3)对 asinx+bcosx 化简时,辅助角 φ 的值如何求要 清楚.

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思考题 4 化简下列各式: π π 2π (1)sin(x+ )+2sin(x- )- 3cos( -x); 3 3 3 sin?2α+β? (2) sinα -2cos(α+β).

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π π π 【解析】 (1)原式=sinxcos +cosxsin +2sinxcos - 3 3 3 π 2π 2 2cosxsin - 3cos cosx- 3sin πsinx 3 3 3 π π 2π π π = (cos + 2cos - 3sin )sinx + (sin - 2sin - 3 3 3 3 3 3 2π cos 3 )cosx 1 3 3 1 =(2+1- 3× 2 )sinx+( 2 - 3+ 3×2)cosx=0.

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sin[?α+β?+α]-2cos?α+β?sinα (2)原式= sinα sin?α+β?cosα-cos?α+β?sinα = sinα sin[?α+β?-α] sinβ = =sinα. sinα
sinβ 【答案】 (1)0 (2)sinα

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解答三角题目,既要学会差异分析,又要活用三角公 式,要善于瞄准解题目标进行有效变形. 解三角问题的一般思维模式是: ①发现差异:观察角、函数、运算间的差异; ②寻找联系:运用相关公式,找出差异间的联系; ③合理转化:选择恰当公式,促进差异转化.

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请做:课时作业(十九)

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