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2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题1 第1练 小集合,大功能 理


第1练

小集合,大功能

[题型分析·高考展望] 集合是高考每年必考内容,题型基本都是选择题、填空题,题目难 度大多数为最低档,有时候在填空题中以创新题型出现,难度稍高.在二轮复习中,本部分 应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不 等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题,研究问题的 切入点及集合知识在相关问题中所起的作用. 常考题型精析 题型一 单独命题独立考查 常用的运算性质及重要结论: (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A; (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A; (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U; (4)A∩B=A?A? B?A∪B=B. 例 1 (1)(2015·山东)已知集合 A={x|x -4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B 等于( A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) (2)(2014·湖北)设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B =?”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

)

A.充分而不必要条件 C.充要条件

(3)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A? B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞), 其中 c=________. 答案 (1)C (2)C (3)4 解析 (1)∵A={x|x -4x+3<0}={x|(x-1)(x-3)}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},
2

∴A∩B={x|2<x<3}=(2,3). (2)若存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC,则可以推出 A∩B=?; 若 A∩B=?,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C,同时满足 A? C,B? ?UC.

1

故“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的充要条件. (3)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A? B,如图所示,则 a>4,即 c=4.

点评 (1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键, 这主要看代表元素, 即“|”前面 的表述.(2)当集合之间的关系不易确定时,可借助 Venn 图或列举实例. 变式训练 1 (1)(2015·浙江)已知集合 P={x|x -2x≥0},Q
R 2

= {x|1 < x≤2} , 则 ( ?

P)∩Q 等于(

)

A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 答案 C 解析 ∵P={x|x≥2 或 x≤0},?RP={x|0<x<2}, ∴(?RP)∩Q={x|1<x<2},故选 C. (2)已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|0≤ax+1≤3}.若 A∪B=B,求实数 a 的取值范 围. 解 ∵A={x|x -3x+2=0}={1,2}, 又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2}, ∵A∪B=B,∴A? B. ①当 a=0 时,B=R,满足题意. 1 2 ②当 a>0 时,B={x|- ≤x≤ },
2 2

a

a

2 ∵A? B,∴ ≥2,解得 0<a≤1.

a

2 1 ③当 a<0 时,B={x| ≤x≤- },

a

a

1 1 ∵A? B,∴- ≥2,解得- ≤a<0. a 2

? 1 ? 综上,实数 a 的取值范围为?- ,1?. ? 2 ?
题型二 集合与其他知识的综合考查 集合常与不等式、向量、解析几何等知识综合考查.

2

集合运算的常用方法: (1)若已知集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知集合是抽象集合,用 Venn 图求解. 例 2 (2014·安徽)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点

Q 满足 OQ = 2(a + b) .曲线 C = {P| OP = acos θ + bsin θ ,0≤θ <2π } ,区域 Ω =
→ {P|0<r≤|PQ|≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( A.1<r<R<3 C.r≤1<R<3 答案 A → 解析 ∵|a|=|b|=1,a·b=0,又∵OQ= 2(a+b), → 2 2 2 2 ∴|OQ| =2(a+b) =2(a +b +2a·b)=4, ∴点 Q 在以原点为圆心,半径为 2 的圆上. B.1<r<3≤R D.1<r<3<R )





→ 又OP=acos θ +bsin θ , → 2 2 2 2 2 2 2 ∴|OP| =a cos θ +b sin θ =cos θ +sin θ =1. ∴曲线 C 为单位圆. → 又∵Ω ={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R},要使 C∩Ω 为两段分离的曲线,如图,可知 1<r<R<3, 其中图中两段分离的曲线是指 AB 与 CD .故选 A. 点评 以集合为载体的问题,一定要弄清集合中的元素是什么,范围如何.对于点集,一般 利用数形结合,画出图形,更便于直观形象地展示集合之间的关系,使复杂问题简单化. 变式训练 2 (2014·天津)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数. 设集合 M={0,1,2, ?,

q-1},集合 A={x|x=x1+x2q+?+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,?,n}.
(1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A; (2)设 s, t∈A, s=a1+a2q+?+anq
n-1

, t=b1+b2q+?+bnq

n-1

, 其中 ai, bi∈M, i=1,2, ?,

n.
证明:若 an<bn,则 s<t.
3

(1)解 当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·2 ,xi∈M,i=1,2,3},可 得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明 由 s, t∈A, s=a1+a2q+?+anq
n-1

2

, t=b1+b2q+?+bnq

n-1

, ai, bi∈M, i=1,2, ?,

n 及 an<bn,可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+?+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1
≤(q-1)+(q-1)q+?+(q-1)q ?q-1??1-q = 1-q 所以 s<t. 题型三 与集合有关的创新问题 与集合有关的创新题目,主要以新定义的形式呈现,考查对集合含义的深层次理解.在新定 义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等. 例 3 (2015·湖北)已知集合 A={(x, y)|x +y ≤1, x, y∈Z}, B={(x, y)||x|≤2, |y|≤2,
2 2

n-2

-q

n-1

n-1

? n-1 -q =-1<0.

x,y∈Z},定义集合 A?B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A?B 中元素
的个数为( ) D.30

A.77 B.49 C.45 答案 C

解析 如图,集合 A 表示如图所示的所有圆点“ ”,集合 B 表示如图所示的所有圆点“ ” +所有圆点“ ”,集合 A?B 显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点 {(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的 点),即集合 A?B 表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,共 45 个.故 A?B 中元素的个数为 45.故选 C. 点评 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新 定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄 清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集 合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试 题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的 运算与性质. 变式训练 3 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k], 即[k]={5n+k|n∈Z,k=0,1,2,3,4}.给出如下四个结论: ①2 016∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”.

4

其中,正确结论的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C

)

解析 对于①:2 016=5×403+1, ∴2 016∈[1],故①正确; 对于②:-3=5×(-1)+2,∴-3∈[2],故②不正确; 对于③:∵整数集 Z 被 5 除,所得余数共分为五类. ∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确; 对于④:若整数 a,b 属于同一类,则

a=5n1+k,b=5n2+k,
∴a-b=5n1+k-(5n2+k)=5(n1-n2)=5n, ∴a-b∈[0],若 a-b=[0],则 a-b=5n,即 a=b+5n,故 a 与 b 被 5 除的余数为同一个 数,∴a 与 b 属于同一类,所以“整数 a,b 属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故 ④正确,∴正确结论的个数是 3. 高考题型精练 1 . (2015· 天 津 ) 已 知 全 集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} , 集 合 A = {2,3,5,6} , 集 合 B = {1,3,4,6,7},则集合 A∩(?UB)等于( A.{2,5} C.{2,5,6} 答案 A 解析 由题意知,?UB={2,5,8},则 A∩(?UB)={2,5},选 A. 2.(2014·安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B 解析 ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴-1<x<0. ∵x<0 是-1<x<0 的必要不充分条件,故选 B. 3.(2015·陕西)设集合 M={x|x =x},N={x|lg x≤0},则 M∪N 等于( A.[0,1] C.[0,1) 答案 A 解析 由题意得 M={0,1},N=(0,1],故 M∪N=[0,1],故选 A. 4.(2014·山东)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩B 等于( A.[0,2] B.(1,3)
5
x
2

) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

B.(0,1] D.(-∞,1]

)

C.[1,3) 答案 C

D.(1,4)

解析 由|x-1|<2, 解得-1<x<3, 由 y=2 , x∈[0,2], 解得 1≤y≤4, ∴A∩B=(-1,3)∩[1,4] =[1,3). 5.设常数 a∈R,集合 A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若 A∪B=R,则 a 的取 值范围为( A.(-∞,2) C.(2,+∞) 答案 B 解析 方法一 代值法、排除法. 当 a=1 时,A=R,符合题意; 当 a=2 时,因为 B=[1,+∞),A=(-∞,1]∪[2,+∞). 所以 A∪B=R,符合题意. 综上,选 B. 方法二 因为 B=[a-1,+∞),A∪B=R, 所以 A? (-∞,a-1),又(x-1)(x-a)≥0. 所以当 a=1 时,x∈R,符合题意; 当 a>1 时,A=(-∞,1]∪[a,+∞),1≥a-1,解得 1<a≤2; 当 a<1 时,A=(-∞,a]∪[1,+∞),a≥a-1,∴a<1. 综上,a≤2. 6.设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 答案 C 解析 x-y 的取值分别为-2,-1,0,1,2. 7.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩(?IM)=?,则 M∪N 等于( A.M B.N C.I D.? 答案 A 解析 如图,因为 N∩(?IM)=?,所以 N? M, 所以 M∪N=M. ) ) ) B.(-∞,2] D.[2,+∞)

x

8. 在 R 上定义运算?: x?y=

, 若关于 x 的不等式(x-a)?(x+1-a)>0 的解集是集合{x| 2-y

x

6

-2≤x≤2}的子集,则实数 a 的取值范围是( A.-2≤a≤2 C.-2≤a≤1 答案 C

)

B.-1≤a≤1 D.1≤a≤2

x-a 解析 因为(x-a)?(x+1-a)>0,所以 >0,即 a<x<a+1,则 a≥-2 且 a+1≤2,即 1+a-x
-2≤a≤1. 9.已知集合 A={x|y=lg(x-x )},B={x|x -cx<0,c>0},若 A? B,则实数 c 的取值范围 是( )
2 2

A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 答案 B 解析 A={x|y=lg(x-x )} ={x|x-x >0}=(0,1),
2 2

B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),
因为 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.应选 B.

4 1 10.已知 a,b 均为实数,设集合 A={x|a≤x≤a+ },B={x|b- ≤x≤b},且 A、B 都是 5 3 集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把 n-m 叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”,那么集合 A∩B 的“长度”的最小值是________. 答案 2 15 1 ? ?b- ≥0, 1 ,∴0≤a≤ ,∵? 3 5 ? ?b≤1,

a≥0, ? ? 解析 ∵? 4 a+ ≤1 ? ? 5

1 1 1 2 ∴ ≤b≤1,利用数轴分类讨论可得集合 A∩B 的“长度”的最小值为 - = . 3 3 5 15 11.对任意两个集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M,且 x?N},M*N=(M-N)∪(N-M),设 M ={y|y=x ,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},则 M*N=__________. 答案 {y|y>3 或-3≤y<0} 解析 ∵M={y|y=x ,x∈R}={y|y≥0},N={y|y=3sin x,x∈R}={y|-3≤y≤3},∴M -N={y|y>3},N-M={y|-3≤y<0},∴M*N=(M-N)∪(N-M)={y|y>3}∪{y|-3≤y<0} ={y|y>3 或-3≤y<0}.
2 2

7

12.已知集合 A={x|x -3x+2≤0},集合 B={y|y=x -2x+a},集合 C={x|x -ax- 4≤0}.命题 p:A∩B≠?;命题 q:A? C. (1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 解 (1)A=[1,2],B=[a-1,+∞), 若 p 为假命题,则 A∩B=?, 故 a-1>2,即 a>3. (2)命题 p 为真,则 a≤3. 命题 q 为真,即转化为当 x∈[1,2]时,f(x)=x -ax-4≤0 恒成立, 方法一 ?
?f?1?=1-a-4≤0, ? ?f?2?=4-2a-4≤0, ?
2

2

2

2

解得 a≥0.

4 方法二 当 x∈[1,2]时,a≥x- 恒成立,

x

4 ? 4? 而 x- 在[1,2]上单调递增,故 a≥?x- ?max=0.

x

?

x?

故实数 a 的取值范围是[0,3].

8


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