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【精品】高中数学函数专题(文科)


专题 1
一、强化训练 选择题

函数

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 f ( x) ? ? ? log a x, x ? 1 2.已知 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是
(A) (0,1)

1 (0, ) 3 (B)

1 1 [ , ) (C) 7 3

1 [ ,1) (D) 7

3.在下列四个函数中,满足性质: “对于区间 (1, 2) 上的任意

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x2 ? x1 | 恒成立”
(C) f ( x) ? 2
x

f ( x) ?
的只有 (A)

1 x

(B)

f ? x ? ?| x |

(D) f ( x) ? x

2

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 5 2 2 则 4.已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设
(A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

f ( x) ?
5.函数

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1)
的定义域是

1 (? , ??) A. 3

1 (? ,1) 3 B.

1 1 (? , ) 3 3 C.

1 (??, ? ) 3 D.

6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
3 A. y ? ? x , x ? R

B. y ? sin x , x ? R

C. y ? x , x ? R

1 y ? ( )x , x ? R 2 D.

?1 7、函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) 的图像与 y 轴交于点 P(0, 2) (如右图所示) ,则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根

是x? A.4

B.3

C. 2

D.1

y 2
(B)

8、设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 9、已知函数 y ? e 的图象与函数
x

4 y ? f ?1 ( x)

f ( x) f (? x)

是奇函数

(D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数

?1 O

3

x

y ? f ? x?

的图象关于直线 y ? x 对称,则 C.

A.

f ? 2x ? ? e2 x ( x ? R)

B.

f ? 2x ? ? ln 2? ln x( x ? 0)

f ? 2x ? ? 2ex ( x ? R)

D.

f ? 2x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0)

10、设 (A)0 -1-

x ?1 ? ?2e , x<2, f ( x) ? ? 则f ( f (2))的值为 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

(B)1

(C)2

(D)3

?a , a ? b ? b, a<b ,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小值是 11、对 a,b ? R,记 max{a,b}= ?
1 (B) 2 3 (C) 2

(A)0

(D)3

( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? 1 ? k ? 0 x 12、关于 的方程 ,给出下列四个命题:
①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中假命题的个数是 A.0 B.1 填空题

C.2

D.3

13.函数

f ? x?

对于任意实数 x 满足条件

f ? x ? 2? ?

1 f ? x?

,若

f ?1? ? ?5,



f ? f ?5?? ?

_______________。

? e x , x ? 0. 1 g ( x) ? ? g ( g ( )) ? lnx , x ? 0. ? 2 14.设 则 __________
f ? x? ? a ? 1 , 2 ? 1 ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。
x

15.已知函数

16. 设 a ? 0, a ? 1 ,函数 解答题

f ( x) ? loga ( x2 ? 2x ? 3) 有最小值,则不等式 log a ( x ? 1) ? 0 的解集为________。

18、已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5] (I)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (II)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

?2 x ? b f ( x) ? x ?1 2 ? a 是奇函数。 19. 已知定义域为 R 的函数
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

c2 , 2 20.设函数 f(x)= x ? ax ? a 其中 a 为实数.
(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围;(Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间.

f ( x) ?
21. 已知定义在正实数集上的函数

1 2 x ? 2ax 2 2 , g ( x) ? 3a ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) ,

y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . -2-

一、选择题

1 2 解:依题意,有 0?a?1 且 3a-1?0,解得 0?a? 3 ,又当 x?1 时, (3a-1)x+4a?7a-1,当 x?1 时,logax?0, 1 所以 7a-1?0 解得 x? 7 故选 C

x -x 1 1 1 1 1 1 - |=| 2 1 |= |x1-x 2 ? | - ? x1,x 2 ? ( 1, 2) ? x1x 2 ?1 x1x 2 ?1? x1 x 2 |?|x1-x2|故 x x2 x1x 2 |x1x 2 | 3 解: 1 | |
选A

6 4 4 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) 5 5 5 , 4 解 : 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? lg x . 设 3 1 1 5 1 b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) c ? f ( ) ? f ( ) 2 2 2 , 2 2 <0,∴ c ? a ? b ,选 D.

?1 ? x ? 0 1 ? ? ? x ?1 ? 3x ? 1 ? 0 3 5 解:由 ? ,故选 B.
6 解: B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数, 是减函数;故选 A. 7 解: f ( x) ? 0 的根是 x ? 2,故选 C 8 解:A 中 F ( x) ? f ( x) f (? x) 则 F (? x) ? f (? x) f ( x) ? F ( x) ,

F ( x) ? f ( x) f (?x) F (?x) ? f (?x) f ( x) 即函数 F ( x) ? f ( x) f (? x) 为偶函数,B 中 , 此时 F ( x) 与 F (? x) 的
关系不能确定,即函数

F ( x) ? f ( x) f (?x)

的奇偶性不确定,

C 中 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x) , F ( ? x ) ? f ( ? x) ? f ( x ) ? ? F ( x ) , 即 函 数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x) 为 奇 函 数 , D 中

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? F ( x) ,即函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为偶函数,故答案 D。
9 解:函数 y ? e 的图象与函数
x

y ? f ? x?

的图象关于直线 ,选 D.

y ? x 对称,所以

f ( x) 是 y ? ex 的反函数,即 f ( x)

= ln x ,∴

f ? 2x ? ? ln 2x ? ln x ? ln 2( x ? 0)

10 解:f(f(2) )=f(1)=2,选 C 11 解:当 x?-1 时,|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因为(-x-1)-(2-x)=-3?0,所以 2-x?-x-1;

1 1 当-1?x? 2 时,|x+1|=x+1,|x-2|=2-x,因为(x+1)-(2-x)=2x-1?0,x+1?2-x;当 2 ?x?2 时,
x+1?2-x;当 x?2 时,|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,显然 x+1?x-2;

-3-



?2 ? x( x ? (??, ?1) ? ?2 ? x( x ? [?1, 1 )) ? 2 f ( x) ? ? 1 ? x ? 1( x ? [ , 2)) ? 2 ? x ? 1( x ? [2, ??)) ?
2

3 据此求得最小值为 2 。选 C

?x 12 解:关于 x 的方程
?x 或
2 2

?1 ? x2 ?1 ? k ? 0

?

2

1 ?k ?( 0 x ? 1或x ? -) 1 ? x ?1? ?(x -) 可化为 ?(1)
2 2 2

? 1? +(x 2-1 ) ?k ?0

(-1?x?1)????(2)

当 k=-2 时,方程(1)的解为? 3 ,方程(2)无解,原方程恰有 2 个不同的实根

1 6 2 当 k= 4 时,方程(1)有两个不同的实根? 2 ,方程(2)有两个不同的实根? 2 ,即原方程恰有 4 个不同的
实根 当 k=0 时,方程(1)的解为-1,+1,? 2 ,方程(2)的解为 x=0,原方程恰有 5 个不同的实根

2 15 2 3 3 6 当 k= 9 时,方程(1)的解为? 3 ,? 3 ,方程(2)的解为? 3 ,? 3 ,即原方程恰有 8 个不同的实根
选A 二、填空题。

f ? x ? 2? ?
13 解 : 由

1 f ? x?

f ? x ? 4? ?


1 ? f ( x) f ? x ? 2?

, 所 以

f (5) ? f (1) ? ?5 , 则

f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? f (?1 ? 2) 5。

1 ln 1 1 1 g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? 2 2 2. 14 解:

f ( x) ? a ?
15 解:函数

1 1 1 . a? 0 ?0 2 ? 1 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 2 ?1 ,a= 2 .
x

16 解:由 a ? 0, a ? 1 ,函数

f ( x) ? loga ( x2 ? 2x ? 3) 有最小值可知 a?1,所以不等式 loga ( x ? 1) ? 0 可化为 x

-1?1,即 x?2. 三、解答题 18 解: (I)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5]∴x=1 时,f(x)的最小值为 1 x=-5 时,f(x)的最大值为 37 (II)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 图象的对称轴为 x=-a∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数 ∴-a≤-5 或-a≥5 故 a 的取值范围是 a≤-5 或 a≥5.

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a ? 2 x ?1 19 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 a ? 2

-4-

1 1? 1? 2 ? ? 2 ? a ? 2. a ?1 又由 f(1)= -f(-1)知 a ? 4
f ( x) ?
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 奇函数,从而不等式:
2

1 ? 2x 1 1 ?? ? x x ?1 2?2 2 2 ? 1 ,易知 f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数。又因 f ( x) 是

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,因 f ( x) 为
2 2

减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,

1 1 ? 2x ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . f ( x) ? 3 解法二:由(Ⅰ)知 2 ? 2 x ?1 . 又 由 题 设 条 件 得 : 从而判别式

1 ? 2t 2 ? 2t

2

? 2t

2

? 2t ?1

?
2

1 ? 22 t 2 ? 22 t

2

?k

2

? k ?1

?0

2t ,即 : (2

2

?k ?1

? 2)(1 ? 2t

2

?2t

) ? (2t

2

?2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0,

整 理 得

23t

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 上 式 对 一 切 t ? R 均 成 立 , 从 而 判 别 式

1 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3
2 2 20 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R ,? x ? ax ? a ? 0 恒成立,?? ? a ? 4a ? 0 ,? 0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4

时 f ( x ) 的定义域为 R .

f ?( x) ?
(Ⅱ)

x( x ? a ? 2)e x ( x 2 ? ax ? a)2 ,令 f ?( x) ≤ 0 ,得 x( x ? a ? 2) ≤ 0 .由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又

? ? ? ?0 ? a ? 4 , ? 0 ? a ? 2 时, 由 f ( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? a ; 当 a ? 2 时,f ( x) ≥ 0 ; 当 2 ? a ? 4 时, 由 f ( x) ? 0 2 ? a) ;当 2 ? a ? 4 时, f ( x) 的单调减区间为 得 2 ? a ? x ? 0 ,即当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0,

(2 ? a, 0) .

( x ,y ) ∵ f ?( x) ? x ? 2a , 21 解: (Ⅰ) 设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 0 0 处的切线相同.

g ?( x) ?

3a 2 x ,

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? ?2 ? 2 3a 2 ? x0 ? 2a ? 3a , x0 ? 2a ? x0 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) .即 ? x0 得: x0 ? a ,或 ? 由题意 由

x0 ? ?3a (舍去) .
b?
即有 -5-

1 2 5 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a h(t ) ? t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) ? 2 2 2 .令 ,则 h (t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是

3 3 ? ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h (t ) ? 0 ;当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 时, h (t ) ? 0 .
1 2 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 3 3 3 3 3 0 , e e , ? ∞ h e ? e ? ? ? ? ? ? ? ∞) 的最大值为 ? ? 2 . ? 为增函数,在 ? ? 为减函数,于是 h(t ) 在 (0, 故 h(t ) 在 ?

1

1

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
( Ⅱ ) 设

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) 2





F ?( x)

? x?2 ?

3a 2 a? x

?

(x? x

a) ? (

(x 3a ) x 0 ) ? ∞) 为增函数, .故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a,

? ∞) 上的最小值是 于是函数 F ( x) 在 (0,

F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .

故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) .

-6-


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