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河北省邢台市2015届高三摸底考试数学文试题(word版)


河北省邢台市 2015 届高三摸底考试数学文试题(word 版)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将答题卡交回。 第I卷 一、 选择题:本大题包括 12 小题, 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A={x|-2≤x≤2},B={y|y= A.A ? ?R B

x ,0≤x≤4},则下列关系正确的是
C. ?R A ? ?R B D.A B =R

B.B ? ?R A

2.若复数 z 满足 iz =1 +2i,则在复平面内,z 的共轭复数 z 对应的点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3.已知数列{an}为等比数列,a5 =1,a9= 81,则 a7= A.9 或-9 B.9 C.27 或-27 D.第四象限 D.-27

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4.已知变量 x,y,满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z=2x-y 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?
A.2 B.3 C .4 D.6 5.“a=-1”是“直线 ax +3y +3 =0 和直线 x+(a-2)y+l =0 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 m 和 n 是两条不同的直线, ? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥

? 的是
A. ? ⊥ ? 且 m⊥ ? B. ? ⊥ ? 且 m∥ ? c.m∥n 且 n⊥ ? D.m⊥n 且 n// ?

7.在△ABC 中,AB =AC =3,∠BAC= 30o,CD 是边 AB 上的高,则 CD · CB = A. ?

9 4

B.

9 4

C.

27 4

D. ?

27 4

8.样本中共有五个个体,其值分别为 0,1,2,3,m.若该样本的平均值为 l,则其样本方差为



1第

A.

10 5

B.

30 5

C. 2

D.2

9.阅读右边的程序框图,输出的值为 A. ?

1 2

B.

1 2 3 2
且 f

C.-1

D. ?

10. 已知定义在 (-1, 1) 上的函数 f (x), 其导函数为 f ?( x ) =l+ cosx, (0)=0,如果 f (1 ? x) +f (l-x2)<0,则实数 x 的取值范围为 A. (0,1) C. (?2, ? 2) B. (1, 2 ) D. (1, 2 ) (- 2 ,-1)

11.先把函数 fx)=sin(x 一詈)图象上各点的横坐标变为原来的÷ 倍(纵坐标不变) .再把新得到的图象 向右平移手个单位,得到 y=g(髫)的图象,当戈∈(手,孚)时,函数 g(茹)的值域为 A. (?

3 ,1] 2

B. (?

1 ,1] 2

c. (?

3 3 , ) 2 2

D.[-1,0)

12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知(a10-1)3+11a10=0, (a2-1)3+11a2=22,则下列结论正确的是 A.S11 = 11 , a10 < a2 B.S11= 11, a10 > a2 C.S11 =22, a10 < a2 D.S11 = 22 , a10 > a2 笫 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题一第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题一 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分. 13.已知 tan ? =

1 1 ,tan( ? ? ? )= ? ,则 tan ? = 2 3



14.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则这个多面体外接球的表面积为 . 15.有一个底面半径为 1,高为 3 的圆柱,点 O1,O2 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心,在这个圆柱 内随机取一点 P,则点 P 到点 O1,O2 的距离都大于 1 的概率为 . 2 2 16.已知 M 是抛物线 x =4y 上一点,F 为其焦点,点 A 在圆 C: (x+1) +(y-5)2=1 上,则|MA|+|MF|的 最小值是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2c cosB=2a ? 3 b. (I)求 C; (Ⅱ)若 cosB=


2 ,求 cosA 的值. 3
2第

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体中,四边形 ABCD 是梯形,∠BAD=∠CDA= 90o,四边形 CDEF 是矩形, 平面 ABCD⊥平面 CDEF,AB= AD= DE=

1 CD =2,M 是线段 AE 的中点. 2

(I)求证:AC∥平面 MDF; (Ⅱ)平面 MDF 将该几何体分成两部分,求多面体 MDFE 和多面体 ABCDMF 的体积之比.

19. (本小题满分 12 分) 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为 A,B,C,D.E 五个 等级,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目盼成绩为 E 的学生有 8 人.

(I)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)已知该班学生中恰有 2 人的两科成绩等级均为 A,在至少一科成绩等级为 A 的学生中,随机抽 取 2 人进行访谈,求这 2 人的两科成绩等级均为 A 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知 A(-2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点, △APB 面积的最大值为 2 3 . (I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 AP 的倾斜角为

3? ,且与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,试判断以 BD 为直径的圆与直 4

线 PF 的位置关系,并加以证明. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=ax-ex(a∈R) ,g(x)=

1nx . x

(I)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ) ? x0∈(0,+∞) ,使不等式 f (x) ? g(x)-ex 成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑,
页 3第

按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点. (I)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC·BC =2AD·CD.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐标方程为:

? x ? 2 ? 2cos ? ? 1 ? sin(? ? ) ? ,曲线 C 的参数方程为: ? ( ? 为参数) . 6 2 ? y ? 2sin ?
(I)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+2|-|x-2| (I)解不等式 f(x)≥2; (Ⅱ)当 x∈R,0<y<1 时,证明:|x+2|-|x-2|≤

1 1 ? . y 1? y

参考答案
1. C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 13. 9.D 10.B 11.A 12.A

1 ; 7

14. 12? ;

15.

5 ; 9

16.5. ………2 分

17. 解: (I)法一:由正弦定理得 2sin C cos B ? 2sin A ? 3 sin B 即 2sin C cos B ? 2sin(C ? B) ? 3sin B ∴


2sin C cos B ? 2sin C cos B ? 2cos C sin B ? 3 sin B
4第

………4 分

得 cos C ?

? 3 , 0 ? C ? ? ?C ? . 6 2
a 2 ? c 2 ? b2 2ac

………6 分

法二:由余弦定理得 cos B ?

………2 分

即 2c ?

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2a ? 3b 2ac

a2 ? b2 ? c2 ? 3ab

………4 分

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 3 ? 2ab 2

?C ?

?
6

………6 分

(II)∵ cos B ?

2 5 , 0 ? C ? ? ,∴ sin B ? , 3 3

………8 分

∴ cos A ? ? cos( B ? C ) ? ?(cos B cos C ? sin B sin C ) =

5 ?2 3 . 6

………12 分

18. (I)证明:连结 CE ,交 DF 于 N ,连结 MN ,由题意知 N 为 CE 的中点, ……… 3 分 在 V ACE 中, MN // AC , 且 MN ? 面MDF, AC ? 面MDF ,

? AC P 平面 MDF .

………6 分

(II) 解:将多面体 ABCDEF 补成三棱柱 ADE ? B?CF ,如图, 则三棱柱的体积为

1 V ? SV ADE gCD ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 8 , 2


………8 分

V多面体ABCDEF =V三棱柱ADE-B?CF -VF-BB?C ? 8 ?

4 20 ? 3 3

………10 分

而三棱锥 F ? DEM 的体积 VM ? DEF ?

VM ? DEF 1 4 ? , VABCDMF 4 3

………12 分

19. 解: (I)因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的考生有 8 人,所以该班有 8 ? 0.2 ? 40 人,所以该班学生 中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 .

………4 分

(II)由题意可知,至少有一科成绩等级为 A 的有 4 人,其中恰有 2 人的两科成绩等级均为 A,另 2 人 ………6 分 只有一个科目成绩等级为 A . 设这 4 人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙是两科成绩等级都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取 2 人进行访谈,基本事件空间为 ? ? {(甲,乙) , (甲,丙) , (甲,丁) , (乙, 丙) , (乙,丁) , (丙,丁)},一共有 6 个基本事件.………10 分 设“随机抽取 2 人进行访谈,这 2 人的两科成绩等级均为 A”为事件 M,所以事件 M 中包含的事件有 1 个,为(甲,乙) ,则 P ( M ) ?


1 . 6
5第

………12 分

20. 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a 2 b2

?1 ? ? 2a ? b ? 2 3 , 解得 b ? 3 . 由题意知 ? 2 ? a?2 ?
故椭圆 C 的方程为

………2 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………4 分

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可知, c ? 1 , F (1, 0) ,直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 2 . 则点 D 坐标为 (2, -4) , BD 中点 E 的坐标为 (2, -2) ,圆的半径 r ? 2 ………6 分

? y ? ?x ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得 7 x 2 ? 16 x ? 4 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ?4
2 ? x0 ? ? ? ? 7 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? 12 ?y ? ? 0 ? 7 ?
因为点 F 坐标为 (1, 0) ,直线 PF 的斜率为 点 E 到直线 PF 的距离 d ? 所以 d ? r .

………8 分

4 ,直线 PF 的方程为: 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 3
………10 分 ………12 分 ………2 分 ………4 分

8?6?4 ? 2. 5

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

21.解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? a ? e x , x ? R 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递减; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的单调递增区间为 (??,ln a) ; 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的单调递减区间为 (ln a, ??) .

………6 分

(Ⅱ)因为 ?x0 ? (0, ??) ,使不等式 f ( x) ? g ( x) ? e x ,则 ax ? 设 h( x ) ?

ln x ln x , 即a ? 2 , x x

ln x ,则问题转化为 a 小于或等于 h( x) 的最大值, ………8 分 x2



6第

由 h?( x ) ?

1 ? 2 ln x ,令 h?( x) ? 0 ,则 x ? e x3

当 x 在区间 (0, ??) 内变化时, h?( x) 、 h( x) 变化情况如下表

x
h?( x)

(0, e )
+

e
0

( e , ??)
-

h( x )

1 2e

由上表可知,当 x ? 所以 a ?

e 时,函数 h( x) 有最大值,且最大值为

1 . 2e

1 . 2e

………12 分
B D E A O C

? 的中点, 22. 解: (Ⅰ) 连接 BD , 因为 D 为 BC 所以 BD ? DC .
因为 E 为 BC 的中点,所以 DE ? BC . B ? B C 因为 AC 为 e O 的直径, 所以 ?ABC ? 90? , 即A ………5 分 所以 AB // DE .

? 的中点,所以 ?BAD ? ?DAC , (Ⅱ)因为 D 为 BC
又 ?BAD ? ?DCB ,则 ?BCD ? ?DAC .又因为 AD ? DC , DE ? CE , 所以 ?DAC ∽ ?ECD . 所以

AC AD ? , AD ? CD ? AC ? CE ,? 2 AD ? CD ? AC ? BC ………10 分 CD CE



7第



8第


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