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浙江省金丽衢十二校2014-2015学年高三第二次联考 数学文(含答案)


浙江省金丽衢十二校 2014-2015 学年高三第二次联考 数学试卷(文科)
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟,试卷总分为 150 分。请考生将所有试 题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2}

B=

D. {x | 0 ? x ? 2}

2.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 13, a13 ? 33 ,则数列 ?an ? 的公差为 A.1 3. 若 0 ? x ? B.2 C.3 D.4

?
2

,则 x sin x ? cos x 是 x sin x ? 1 的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 4.设

1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1 ,那么 2 2 2
a b a

A. a ? a ? b

B. a ? b ? a
a a

b

C. a ? a ? b
b a

a

D. a ? b ? a
b a

a

5. 已知角 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ? A.

1 3

B.
?

9 13
? ?

3 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan ? ? 5 3 13 C. D. 3 9
?

6. 已知平面向量 a ? (1, 3 ), a ? b ? 1, 则 b 的取值范围是 A. ?0,1? B. ? 1,3? C. ?2,4? D. ?3,4?

7. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) = 则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? a ? b
2 2

ax ? b 的图象如图所示, x2 ? c

C. b ? a ? c

D. a ? c ? b

8. 如图,已知双曲线 C :

x y ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为 2 a b

圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q .若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则双曲线

C 的离心率为

y

A.

2 3 3

B.

7 2

C.

39 6

D. 3

Q O P A x

(第 8 题图) 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分。 9. 函数f ?x? ? lo g 2 (4 ? x 2 )的定义域为 ,值域为 ,不等式 f ?x ? ? 1 的解

集为 . 10. 一个简单几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是等腰直角三 角形,则该几何体的体积为 ,表面积为 .

?2 x ? y ? 0 y ? 11.如果实数 x,y 满足: ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的取值 x ?x ? 3 ?
范围是 ,z ?

y x ? 的最大值为 x y



12. 已知数列 ?an ? 满足:a1 ? 2, (n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 n ? 2, n ? N ? , 则 列{an}的通项公式为 .

?

?

a3 ? a1

,数

13. 已知点 A?2,0? , B?? 2,4? , C ?5,8? , 若线段 AB 和 CD 有相同的中垂线,则点 D 的坐标 是 .
2 2 2

14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , CD 是 AB 边上的高, 且a ?c ? b ,

sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ,则 sin ? A ? B ? ?



P F E D A B C

15. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,点 E , F 为 PA, PD 的中点,则面 BCFE 将四棱锥 P ? ABCD 所分成的上下 两部分的体积的比值为 .

(第 15 题图) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本题满分 15 分)在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且满足:

a 2 ? (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc, 又 sin A sin B ?
(Ⅰ)求角 A 的大小 ; (Ⅱ)若 a=2,求△ABC 的面积 S.

1 ? cos C . 2

17.(本题满分 15 分) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且直线 PA⊥平面 ABCD,又棱 PA=AB=2,E 为 CD 的中点, ?ABC ? 60 .
?

P

(Ⅰ) 求证:直线 EA⊥平面 PAB; (Ⅱ) 求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正切值.

A E B C

D

18. (本题满分 15 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2S n ? 4an ? 1 . 在数列 ?bn ? 中, bn?1 ? bn ? 2 , b4 ? b8 ? ?16 . (Ⅰ)求 an , bn ; (Ⅱ)设 cn ?

bn 求数列 {cn } 的前项和 Tn . an

19.(本题满分 15 分) 已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px ,准线与 x 轴的交点为 P ? ?2,0? . (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ)如图, Q ?1,0 ? ,过点 P 的直线 l 与抛物线 ? 交于 不同的两点 A, B , AQ 与 BQ 分别与抛物线 ? 交于 点 C , D ,设 AB, DC 的斜率分别为 k1 , k2 , AD, BC 的
Y

B

A P Q D C
(第 19 题图)
X

O

斜率分别为 k3 , k4 ,问:是否存在常数 ? ,使得

k1k3k4 ? ?k2 ,若存在,求出 ? 的值,若不存在,
说明理由.

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx 2

x 3 ?a ? 0? , g ( x) ? 4 x ? 2 ? 1 ,且 4 b 4

1 ? ? y ? f ? x ? ? 为偶函数.设集合 A ? ?x t ? 1 ? x ? t ? 1?. 4a ? ?
(Ⅰ)若 t ? ?

b ,记 f ?x ? 在 A 上的最大值与最小值分别为 M , N ,求 M ? N ; 2a

(Ⅱ)若对任意的实数 t ,总存在 x1 , x 2 ? A ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x) 对 ?x ? ?0,1? 恒 成立,试求 a 的最小值.

金丽衢十二校 2014 学年第二次联合考试 数学参考答案及评分标准(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

B

A

C

D

B

D

B

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题6分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分。 9、 (?2,2)

?? ?,2?
10 3
14、 - 1

??

2, 2

?
12、

10、

3 3

3 ? 7 ?1
4 n?n ? 1?

11、[ , 2 ]

1 3

1 6

13、 ?6,7 ?

15、

3 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。 16、解: (1)∵ a 2 ? (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc,

b2 ? c2 ? a2 3bc 3 ? ? ∴ b ? c ? a ? 3bc ,又∵ cos A ? 2bc 2bc 2
2 2 2

∴A?

?
6

——————————————7 分

(2)∵ sin A sin B ?

1 ? cos C 2

∴ 2 sin A sin B ? 1 ? cosC ? 1 ? cos(A ? B) , ∴ cos A cos B ? sin A sin B ? 1 即 cos(A ? B) ? 1 ——————————————12 分

∴ A ? B ? 0, 即B ? A ?

?

6 1 又∵ a ? 2, S ? ab sin C 2

,C ?

2? 3
P

∴ S ? 3 ——————————————15 分
H

17、解: (1)证明:∵∠ADE=∠ABC=60°,ED=1,AD=2 ∴△AED 是以∠AED 为直角的 Rt△ 又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB 又 PA⊥平面 ABCD,∴EA⊥PA, ∴EA⊥平面 PAB, ——————————————7 分 (2)如图所示,连结 PE,过 A 点作 AH⊥PE 于 H 点 ∵CD⊥EA, CD⊥PA ∴CD⊥平面 PAE,∴AH⊥CD,又 AH⊥PE ∴AH⊥平面 PCD ∴∠AEP 为直线 AE 与平面 PCD 所成角————————11 分 在 Rt△PAE 中,∵PA=2,AE= 3 ∴ tan?AEP ?
B C A E D

PA 2 2 3 ———————————15 分 ? ? AE 3 3
1 , an ? 0 2
将 n ? 1 代入得 a1 ?

解: (Ⅰ)由题意知 2a n ? S n ? 当 n ? 2时, S n ? 2a n ? 整理得:

1 2

1 1 , S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 2

两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ( n ? 2 )

an ? 2(n ? 2) a n ?1
1 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 2

∴数列 ?an ? 是

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2

a n ? a1 ? 2 n ?1 ?

——————————————4分

?bn ?为等差数列,公差为 ? 2 , b4 ? b8 ? ?16 ? 2b6
? b1 ? 2
(Ⅱ) cn ?

? b6 ? ?8 即 b1 ? 10 ? ?8

bn ? 4 ? 2n

——————————————8分

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

Tn ?

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ... ? ? 2 2 2 2 n ?1 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ... ? ? n ?1 2 2 2 2n 2 1 2

…… ① …… ② —————————10

分 ①-②得 Tn ? 4 ? 8(

1 1 1 16 ? 8n ? 3 ? ... ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? 4(1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n 2
? Tn ?
2

8n 2n

——————————————15 分 ——————————4 分

19 解:(Ⅰ) y ? 8x (Ⅱ)假设存在实数 ?

设 AB 的直线方程为 x ? my ? 2 , A ?

? y2 ? ? y12 ? ? y2 ? ? y2 ? , y1 ? , B ? 2 , y3 ? , C ? 3 , y3 ? , D ? 4 , y4 ? ? 8 ? ? 8 ? ? 8 ? ? 8 ?

由?

? x ? my ? 2 ? y ? 8x
2

化简得: y ? 8my ? 16 ? 0
2

所以 ?

? y1 ? y2 ? 8m ——————————7 分 ? y1 y2 ? 16

? y2 y2 ? ? y2 ? AQ ? ?1 ? 1 , ? y1 ? , AC ? ? 3 ? 1 , y3 ? y1 ? 8 ? ? ? 8 8 ?
由 AQ / / AC 化简可得 y1 y3 ? ?8 ,同理可得 y2 y4 ? ?8 ——————————10 分 易得 k1 ?

yy 8 8 8 ? ?? 1 2 , , k2 ? y3 ? y4 ?8 ? ?8 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 y2

k3 ?

8 8 8 ? ? y2 , k4 ? ? y1 y1 ? y4 y ? 8 y2 ? y3 1 y2

所以代入 k1k3k4 ? ? k2 得

yy 8 y1 y2 ? ?? 1 2 所以存在 ? ? ?8 y1 ? y2 y1 ? y2
——————————15 分

20、解: (1) y ? f ? x ? 所以 b ? ?

? ?

1? 1 b 3 1 ? ? 2 ? ? 为偶函数, ? ? ax ? ? b ? ? x ? 2 ? 16a 4a 4 4a ? ?

1 .———————————2分 2 1 1 ? 1, ? 1] 上, 在区间 [ 4a 4a 1 3 1 1 3 1 ? M ? f ( ? 1) ? a ? ( ? ), N ? f ( ) ? ?( ? ) 4a 4 16 a 4a 4 16 a
?M ? N ? a
(2)设 2 ? t
x

———————————4分

? x ? [0,1],? t ? 2 x ? [1,2]
1 4
所以 g ?x ? 的最大值为

g ? x ? ? t 2 ? 2t ?

1 4

依题意原命题等价于

在 A 上,总存在两个点 x1、x 2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 即只需满足在 A 上

1 4

f max ( x) ? f min ( x) ?

1 4

———————7分

因为对任意的 t 都成立,所以当 t ? ?

b 也成立,由(1)知 2a

a?

1 ———————9 分 4

1 1 当a ? 时, f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,下面证明在 [t ? 1, t ? 1] 上总存在两点 x1、x2 , 使得 4 4 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 成立. 4

当t ? 1时,f ( x)在[t , t ? 1]上是增函数 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (t ? 1) ? f (t ) ? 当t ? 1时,f ( x)在[t ? 1, t ]上是减函数 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (t ? 1) ? f (t ) ?
综上所述, a的最小值为

1 1 1 t? ? 2 4 4

3 1 1 ? t? 4 2 4

1 . 4

——————————————14 分


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