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重庆八中2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题(树人部)


重庆市树人中学校 2013—2014 学年度(下)期末考试高一年级 数 学 试 题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心坐标是
2 2

(A) (?2,1) (2)在等差数列 (A) 5
2

(B) (2,1)

(C) (2,?1)

(D) (?2,?1)

{an } 中,已知 a3 ? a9 ? 10 ,则 a6 ?
(B) 10 (C) 15 (D) 20

(3)不等式 x ? 4 x ? 12 ? 0 的解集为 (A) (?2,6) (B) (?6,2) (C) ( 2,6) (D) (??,?2) ? (6,??)

(4)在各项都为正数的等比数列 (A) 2 (B) 3

{an } 中, a1 ? 2, a6 ? a1a2a3 ,则公比 q 的值为

(C)2 (D)3

(5) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 2, b ? 3, c ? 19 ,则 C ?

? (A) 6

? (B) 3

5? (C) 6

2? (D) 3

?x ? y ? 1 ? ? x ?1 ? 0 ? x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 (6)已知变量
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) ? 4

?, ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 (7)已知 m, n 是两条不同直线, ? ,
n‖? , 则m‖ n (A) 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? (C) 若m‖? ,
{an } 满足
a1 ? 1, an ?1 ? ?

? ?? , 则?‖ ? (B) 若? ? ? ,
n ?? , 则m‖ n . (D) 若m ? ? ,
1 1 ? an ,则 a2014 ?

(8)已知数列

-1第(9)题图

(A) ? 2

(B) ? 1

(C) 1

1 (D) 2 ?

(9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A) 19 ? 2 (C) 19 ? 2 2 (B) 17 ? 4 2 (D) 17 ? 2 2

( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 1 引切线,则切线长的最小值为 (10)由直线 y ? x ? 2 上的点向圆
2 2

(A) 4 2 ? 1

(B) 4 2

(C) 31

(D) 15

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上. (11) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 . (12)若直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行, 则实数 a 的值等于 (13)如图,在正方体 有 条. .
A1

A?

?
3

,C ?

?
4

,c ? 6

,则 a ?
D1 C1 B1

D A 第13题图 B

C

ABCD ? A1B1C1D1 中,与直线 AD1 异面的棱
1 n(n ? 1) ,则 {bn } 的前 n 项和 S n ?

(14)若数列

{bn } 满足

bn ?

. .

(15)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 4 y ? xy ,则 x ? 4 y 的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知数列

{an } 是公差为 2 的等差数列,且 a1 ? 1 . {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ;

(Ⅰ)求数列 (II)若数列

bn ? an ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

-2-

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与圆 C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 9 相交于 A, B 两点.
2 2

(Ⅰ)求弦长 | AB | ; (II)若圆 C2 的圆心坐标为 (4,5) ,且圆 C1 与圆 C2 外切,求圆 C2 的方程.

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行,为确保总决赛的顺利进行,组委会决定在位于 里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为 72m (如图所示). 要求矩形场地的一面利用体育场的外墙,其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留 一个长度为 2 m 的入口.现已知铁栏杆的租用费用为 100 元 / m .设该矩形区域的长为 x(单位:
2

y m) ,租用铁栏杆的总费用为 (单位:元)
(Ⅰ)将

y 表示为 x 的函数;

(Ⅱ)试确定 x ,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,并求出最小费用. 体育场外墙

x

入口
第 18 题图

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2, sin B sin C ? sin A ,求 ?ABC 的面积 S .
2

-3-

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, A1B1 ? B1C1 , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M 是 BC1 的中点. (Ⅰ)证明: BC1 ? 平面 A1 B1M ; (II)求三棱锥 M ? A1B1B 的体积.
A M B1 A1
第 18 题图

B C

C1

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 已知数列

{an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N*). {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅰ)证明:数列 (II)设

bn ? (an ? 1) ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

重庆市树人中学校 2013—2014 学年度 (下)期末考试高一年级 数学试题(文科)参考答案 命题:朱俊、曾文军 审核:方明 打印:朱俊 校对:曾文军、朱俊 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 C 9 D 10 C

部分题目详解: (10)切线长

l ? | PC |2 ?r 2 ? d 2 ? r 2 ? (4 2 ) 2 ? 1 ? 31

,其中 P 是直线上的点,C

是圆心, d 表示圆心到直线的距离, r 表示半径 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上. 题号 11 12 13 14 15
-4-

答案

3 6

?2 或 1

6

n n ?1

16

部分题目详解:

1 4 4 1 16y x ? ?1 x ? 4 y ? ( x ? 4 y)( ? ) ? 8 ? ? x y x y (15)由 x ? 4 y ? xy 得: y x ,于是

16 y x ? y 即 x ? 4 y 即 x ? 8, y ? 2 时取“=” ? 8 ? 2 16 ? 16 ,当且仅当 x
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分)

解: (Ⅰ)依题意有: (II)依题意有: 则

an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,

Sn ? n ?1 ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2

bn ? (2n ? 1) ? 2n

Tn ? (1 ? 21 ) ? (3 ? 22 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n ) ? (1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) ? (21 ? 22 ? ? ? 2n )
2 ? (1 ? 2 n ) ? n 2 ? 2 n?1 ? 2 1? 2

? n2 ?

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 解: (Ⅰ)依题意:圆心 (1,1) 到直线 l 的距离 故弦长

d?

|1?1? 2 | ?2 2 2

| AB |? 2 r1 ? d 2 ? 2

2

(II)依题意:圆心距 | C1C2 |? 5 ,而两圆外切 | C1C2 |? r1 ? r2 ? 3 ? r2 ? 5 ,解得 r2 ? 2 故圆 C2 的方程为 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4
2 2

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分)

y ? 100 (
解: (Ⅰ)依题意有:

72 ? 2 ? x ? 2) x ,其中 x ? 2 72 144 ? 2 ? x ? 2) ? 100 ( ? x ? 2) x x

y ? 100 (
(Ⅱ)由均值不等式可得:

144 ?x ? 100(2 144 ? 2) ? 2200,当且仅当 x 即 x ? 12 时取“=”

-5-

综上:当 x ? 12 时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,最小费用为 2200 元

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分)
2 2 2 解: (Ⅰ)由余弦定理: b ? c ? a ? 2bc cos A ,于是 2bc cos A ? bc ,

cos A ?


1 ? A? 2 ,即 3
2 2

(Ⅱ)由于 sin B sin C ? sin A ,再结合正弦定理可得: bc ? a ? 2

S?
于是:

1 1 3 3 bc sin A ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 解: (Ⅰ)因为 ?B1BC1 为等腰三角形, M 是 BC1 的中点,所以 BC1 ? B1M ① 又因为 ?A1BC1 为等腰三角形, M 是 BC1 的中点,所以 BC1 ? A1M ② 由①②可得: BC1 ? 平面 A1 B1M
1 (II)由于 BB1 ? 平面 ABC ,所以 BB1 ? A1B1 ,又 A1B1 ? B1C1 ,所以 A1 B1 ? 平面 BMB

1 VM ? A1B1B ? V A1 ? BMB1 ? ? S ?BMB1 ? A1 B1 3 于是: S ?BMB1 ? 1 1 ? BM ? MB1 ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2 , A1 B1 ? 2

可以计算:

1 2 VM ? A1B1B ? ? 1 ? 2 ? 3 3 所以:
(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分)

an?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 ? ?2 a ? 1 a ? 1 n n 解: (Ⅰ)因为 (常数)
所以数列 于是:

{an ? 1} 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列

an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1 bn ? n ? 2n ,下面使用错位相减法来求和

(II) 依题意有:

-6-

Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
2Sn ?
1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1

两式相减得:

? Sn ? 2 ? 1? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? n ? 2n?1
4 ? (1 ? 2 n?1 ) ? 2 ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 4 ? (1 ? n) ? 2 n?1 ? 2 1? 2

? 2 ? n ? 2 n?1 ? 1 ?

所以:

Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

-7-


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