当前位置:首页 >> 数学 >>

石景山12-13学年上学期高三期末考试数学(文)试卷及答案


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

1 1.设集合 U ? ? ,2,3,4?, A ? ? ,2?, B ? ?2,4?,则 CU A) B ? ( ( ? 1
A. ? ,2? 1 B. ?2,4? 3, C. ?3,4? ) C. 1 ? 3i

) D. ? ,2,3,4? 1

2. 若复数 Z1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. ?1 ? 3i

Z2 ?( Z1

B. 2 ? i

D. 3 ? i

3. AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, AB ? (2,4), AC ? (1,3), 则AD ? ( A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. (?1, ?1) )
?| x|

??? ?

??? ?

??? ?



4.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x
2

C. y ? cos x

D. y ? 2

5.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ? 开始 6.执行右面的框图,若输出结果为 3, 则可输入的实数 x 值的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 ) 输入 x



x >2




y =x 2 -1
输出 y 结束

y=log2 x

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.



8 3

B. 4 D.

C. 2

4 3
2 3

2 2 1 3

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

8. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 ? k ? , 即 ? k ? ? 5n ? k n ? Z , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论: ① 2013 ? ?3? ; ② ?2 ? ?2? ; ③ Z ? ?0?∪?1?∪?2?∪?3?∪?4? ;ks5u ④ 整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ??0? ” . 其中,正确结论的个数为( A. 1 B. 2 ) . C. 3 共 110 分) D. 4

?

?

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2

. .

10.直线 x +y ? 0 被圆 x 2 +4 x+y 2 ? 0 截得的弦长为

? y ? x, ? 11.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,则 a ? ? x?a ?
若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 12. 在等比数列 {an } 中, a1 = . ;



1 , a4 = - 4 ,则公比 q = 2
. .

a1 + a2 + a3 +L + an =

13.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 7 ,则 c ?

14. 给出定义:若 m ?

1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记 2 2

作 {x} ,即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x )=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x) 的最小正周期为 1 ; ④ 函数 y =f (x) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2
.ks5u

则上述命题中真命题的序号是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x ) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

16. (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的 点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC // 平面 A DE ; 1 (Ⅱ)求证: BC ? 平面 A1DC ; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A B 的长度最小,并求出最小值. 1 A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

17. (本小题共 13 分) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1 ? 2 ? 3 ? 4 .现从盒 子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率.

ks5u 18. (本小题共 13 分) 已知函数 f (x)=ln x ? ax+1, a ? R 是常数. (Ⅰ)求函数 y =f (x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明函数 y =f (x )(x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)若函数 y =f (x) 有零点,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为 交椭圆于不同的两点 A、B . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不经过椭圆上的点 M (4,1) ,求证:直线 MA、MB 的斜率互为相反数.

3 , 长轴长为 4 5 , 直线 l:y =x +m 2

20. (本小题共 13 分) 定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三 角形”数列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三 角形”数列,则称 y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) . (Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x

“保三角形函数” ,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 已知数列 {cn } 的首项为 2013 , n 是数列 {cn } 的前 n 项和, 且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 , S 证明 {cn } 是“三角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 2;6 12 13 14 ①③

?2,3?

2 2

- 2; n- 1 2

1 2

3

(9)题、11 题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) (Ⅰ)因为 cos x ? 0 ,所以 x ? k? +

?
2

,k ? Z .

| 所以函数 f (x) 的定义域为 {x x ? k? + f ( x) ? sin 2(sin x ? cos x) x cos x

?
2

,k ? Z }

ks5u???2 分

7? ? ? ? 2 x- ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 6 4 12 4 4
当 2 x当 2 x-

? 2 s i n ( 2 -? ) x 4 T ??

?2 i n ? s ix + cxo s s x n ? ?
1

2 = 2xs i n

x sin 2 +
?????5 分 ?????7 分 ?????9 分 ?????11 分 ???13 分

?

?

?

?

4

?

?

4

时,即 x ?

?

4

?-

?
2

4

时, f (x ) 的最大值为 2 ;

时,即 x ? ?

?
8

时, f (x ) 的最小值为 - 2+1 .

16. (本小题共 14 分) (Ⅰ)证明:? DE // BC, DE ? 面A DE, BC ? 面A DE 1 1

? BC // 面A1DE

??????????4 分

(Ⅱ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE,? A D ? BC. 1

BC ? CD, CD ? BC ? C,? BC ? 面A1DC .
(Ⅲ)设 DC ? x 则 A D ? 6 ? x 1

??????????9 分

由(Ⅱ)知,△ A1CB ,△ A DC 均为直角三角形. 1

A1B = A1C 2 ? BC 2 ? A1D 2 ? DC 2 ? BC 2
A1B ? x 2 ? 32 ? (6 ? x ) 2 ? 2 x2 ? 12 x ? 45
??????12 分

当 x =3 时, A B 的最小值是 3 3 . 1 即当 D 为 AC 中点时, A B 的长度最小,最小值为 3 3 .???????14 分 1 17. (本小题共 13 分) (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7 ”,任取三张卡片,三张卡片上的数 字全部可能的结果是 (1, 2, 3) , (1, 2, 4) , (1, 3, 4) , (2, 3, 4) . 其中数字之和大于 7 的是 (1, 3, 4) , (2, 3, 4) , 所以 P( A) ?
1 . 2

??ks5u??6 分

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3 ”, 第一次抽 1 张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2 , 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4 , 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) ,共 16 个基本结果.

事件 B 包含的基本结果有 (1, 3) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 3) , 共 7 个基本结果. 所以所求事件的概率为 P( B) ?
7 . 16

???????13 分

18.(本小题共 13 分) (Ⅰ) f ?(x )=

1 ?a x

???????2 分

f (1)= ? a +1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .
(Ⅱ)令 F ( x)=f (x ) ? (1-a )x =lnx ? x +1 ,x >0, 则

???????4 分

F ?( x )=

1 1 ? 1= (1 ? x ) , 解F ?( x )=0得x =1. x x

x
F ?( x)

(0 , 1)

1

(1 , ? ?)

?


0
最大值

?


F (x)

F (1)<0 ,所以 ?x > 0 且 x ? 1 , F ( x)<0 , f ( x )<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. (Ⅲ) y =f ( x) 有零点,即 f (x)=lnx ? ax+1 =0 有解, a = ???????9 分

ln x +1 . x ln x +1 ln x +1 1 ? ( ln x +1) ln x )?= =? 2 , 令 g (x )= , g ?(x )=( 2 x x x x
解 g ?(x)=0 得 x =1 . ??ks5u?11 分

则 g (x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,+?) 上单调递减, 当 x =1 时, g (x ) 的最大值为 g (1)=1 , 所以 a ? 1 . ???????13 分

19. (本小题共 14 分) (Ⅰ)由题意知, 2a ? 4 5 ,又因为 e ?

3 ,解得 a=2 5,b= 5, c= 15 2
???????4 分

x2 y 2 ? ?1. 故椭圆方程为 20 5
(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5
???????7 分

解得 ?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0, ?5 ? m ? 5 .

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 .

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8m 4m2 ? 20 , x1x2 ? . 5 5

?ks5u???9 分

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
???????14 分

所以直线 MA、MB 的斜率互为相反数. 20. (本小题共 13 分)

(Ⅰ)显然 an ? n ? 1, an ? an?1 ? an?2 对任意正整数都成立,即 {an } 是三角形数列. 因为 k ? 1 ,显然有 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) ?? ,
n n ?1 n?2 由 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) 得 k ? k ? k

解得

1- 5 1? 5 <k ? 2 2 . 1? 5 ) 时, 2
???????3 分

所以当 k ? (1,

f ( x) ? k x 是数列 {an } 的保三角形函数.
(Ⅱ)由 4sn?1 ? 3sn ? 8052 ,得 4sn ? 3sn?1 ? 8052 , 两式相减得 4cn?1 ? 3cn ? 0 ,所以 cn ? 2013 ? ? 经检验,此通项公式满足 4sn?1 ? 3sn ? 8052 . 显然 cn ? cn?1 ? cn? 2 ,
n ?1 ( n 因为 cn ?1 ? cn ? 2 ? 2013 )+2013( ) ?

? 3? ?4?

n ?1

??ks5u??5 分

3 4

3 4

21 3 ? 2013 )?1 ? cn , ( n 16 4
???????8 分

所以 {cn } 是三角形数列.

(Ⅲ) g (cn ) ? lg[2013 ? ?

? 3? ?4?

n ?1

? 3? ]=lg 2013+(n-1)lg ? ? , ?4?

所以 g (cn) 是单调递减函数. 由题意知, lg 2013+(n-1) lg ? ? >0 ①且 lg cn?1 ? lg cn ? lg cn?2 ②,

? 3? ?4?

( lg 由①得 n-1)
由②得 n lg

3 >-lg 2013 ,解得 n ? 27.4 , 4

3 >- lg 2013 ,解得 n ? 26.4 . 4
ks5u???13 分

即数列 {bn } 最多有 26 项. 【注:若有其它解法,请酌情给分. 】


相关文章:
北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学文...
石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(文)试卷共 5 页,...共 30 分. 题号 答案 9 1 10 7 11 0.125,120 12 13 14 2.2,600 ...
2015-2016年北京石景山高三上学期期末数学(文)试题及答案
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高三数学(文),2016.1 ...共 30 分. 题号 答案 9 1 10 7 11 0.125,120 12 13 14 2.2,600 ...
北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学理...
北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学理科试题及参考答案_数学_...5 11 12 13 72 14 2.2,600 2 6 3 2 3 三、解答题共 6 小题,共 ...
2016石景山高三期末文科数学
北京市石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试 高三数学(文)试卷第一部分(...共 30 分. 题号 答案 9 1 10 7 11 0.125,120 12 13 14 2.2,600 ...
北京市石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高...
北京市石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高三数学(文)_高三数学_数学...共 30 分. 题号 答案 9 10 11 2p 3 12 13 14 (13 题、 ?1 ? 3i...
2014-2015石景山区高三上期末考试理科数学试题
2014—2015 学年石景山区第一学期期末高三数学(理) 考试试卷 第一部分(选择题...每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 4029 11 1 12 13 10 14 ②...
北京市石景山区2016届高三上学期期末考试数学理试题与...
石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷 ...学年第一学期期末考试 高三数学(理科)参考答案一、...5 11 12 13 72 14 2.2,600 2 6 3 2 3 ...
...2014学年高三年级第一学期期末数学(文)试题(WORD精...
高三数学(文科)试卷第 5 页(共 12 页) 20. (本小题满分 13 分) 2 ,,...石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试 高三数学(文科)参考答案一、选择题...
...2016学年度第一学期期末高三数学(文)试题及答案
石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(文),2016.1 第一...共 30 分. 题号 答案 9 1 10 7 11 0.125,120 12 13 14 2.2,600 ...
...2016学年第一学期期末考试高三数学(文)试卷
北京市石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学(文)试卷_数学_高中教育...共 30 分. 题号 答案 9 1 10 7 11 0.125,120 12 13 14 2.2,600 ...
更多相关标签: