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南开中学高2014级13-14学年(下)5月月考——数学理


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重庆南开中学高 2014 级高三 5 月月考 数学试题(理)
第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是 符合题目要求的。
2 1、若集合 A ? 0, m , B ? ?1, 2? ,则“ m ? 1 ”是“ A

?

?

B ? ?0,1, 2? ”的(



A、充分不必要条件 C、充分必要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ) D、 a ? b

2、设非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是( A、

1 1 ? a b

B、 ab ? b

2

C、 a ? b ? 0

3、函数 y ? sin ? 2 x ? A、 x ? ?

? ?

??

? 的一条对称轴为( 6?
B、 x ?

) C、 x ?

?
3

?
3

?
6

D、 x ? ?

5? 12


4、已知向量 a 、 b 满足 a ? 3, b ? 2 3 ,且 a ? a ? b ,则向量 a 与 b 的夹角是( A、

?

?

? 2

B、

2? 3

C、

3? 4

D、

5? 6


5、若在区间 ? 0, 2? 中随机地取两个数,则这两个数之和大于 1 的概率是( A、

3 4

B、

7 8

C、

9 16


D、

35 12

6、执行如题(6)图所示的程序框图,则输出的 S 为( A、 ? C、

1 2

B 、2 D、 ? 3

1 3

7、已知某几何体的三视图如题(7)图所示, 则该几何体的体积为( ) A、8 B、

8 3

C、4 D、12

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?x ? 2 y ? 2 2a b ? ? 取得最大值时, z ? bx ? ay 取 8、已知 a, b ? 0 ,实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ,则当 a ? b a ? x ? 0, y ? 0 ?
最大值的最优解为( A、 ? 0, 0 ? ) B、 ?1,0 ? C、 ? 0,1? D、 ?

?2 2? , ? ?3 3?

P ,满足 9、已知双曲线的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 , 且 双 曲 线 上 存 在 异 于 顶 点 的 一 点

?PF1 F 2 ?PF 2 F1 tan ? 3 tan ,则该双曲线离心率为( 2 2
A、2 B 、3 C、 3

) D、 5

10、如图所示,某地有一段网格状公路,小王开车从 A 处出发,选择最 近的路线去往 B 处。因道路检修,虚线处公路无法行驶。若行至 S 路口 处,小王会随机选择开向 C , D 两个路口之一,再选择避开 S 的最近路线 继续行至 B 处,则小王共有( A、11 B、20 )种不同的行驶路线 C、21

D、23

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位 置上。 11、已知复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i ?
2 12、已知随机变量 X 服从正态分布 N 1, ? ,则 P ?? X ? 3? X 2 ? 1 ? 0? ?



?

?

?

?



13、 若 ?x0? Z n , ?N

*

, 使f? 则称 ? x0 , n ? 为函数 f ? x ? 的 x 0?? f x? 0 ? 1? n ?? 6 3 成立, ? ?f x ?? 0 个。 则按前两

一个“生成点” 。已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,则 f ? x ? 的“生成点”共有 考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做, 题给分 14、如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 作圆 O 的切 线交 BA 的延长线于点 D 。若 CD ? 3, AB ? AC ? 2 , 则圆 O 的半径是 。

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? ? x ? ?2 ? ? 15、 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 若曲线 ? ? y ? ?4 ? ? ?
经过曲线 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? 16 、 若 不 等 式 2 x ? 3 ? 是 。

2 t 2 2 t 2

? a ? 0? 的焦点,则实数 a 的值为
a



a ? 2 ? 2a ? 2

对任意实数 a ?0 恒成立,则实数 x 的取值范围

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 13 分) 某射击测试规则为: 每人最多射击 3 次, 击中目标即终止射击, 第 i 次射击击中目标得 i ?i ? 1,2,3? 分,3 次均击中目标得 0 分。已知某射手每次击中目标的概率为 0.8 ,各次射击结果互不影响。 (I)求该射手至少射击两次并且击中目标的概率; (II)记该射手的得分为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望。

18、 (本小题满分 13 分)

?ABC 中, C 的对边分别为 a 、 b、 角 A 、B 、 c ,2b sin B ? 2a ? 3c sin A ? 2c ? 3a sin C ,
D 是 BC 边上的一点, AD ? 2, AB ? 2 3 。
(I)求 B 的大小; (II)求钝角 ..?ABD 的中线 AE 的长度。 19、 (本小题满分 13 分) 如图 1, ?ABC 为正三角形, ?BCD 为等腰直角三角形, ?BCD ? 90 ,将 ?ABC 沿 BC 边折叠 到 ?A ' BC 的位置,使 A ' B ? A ' D , E 为 BD 中点,如图 2。 (I)求证: A ' E ? 平面BCD ; (II)求二面角 B ? A ' C ? D 的余弦值。

?

?

?

?

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20、 (本小题满分 12 分)
3 2 x 已知函数 f ? x ? ? x ? ax e , a ? R 。

?

?

(I)若 f ? x ? 在 ??1,1? 上为单增函数,求 a 的取值范围; (II)若 f ? x ? 有两个极小值点 x1, x2 ? x1 , x2 ? 0? ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

4 ,求 a 的取值范围。 e2

21、 (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A 、 B ,垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 P 、 Q 两 4 2

点,过原点 O 作 OD ? AP 于 D, OC ? BQ 于 C 。 (I)求证:直线 AP 与 QB 的斜率之积为定值; (II)若直线 CD 交 x 轴于点 M ? m,0? ,求 m 的取值范围。

22、 (本小题满分 12 分) 设 同 时 满 足 以 下 两 个 条 件 的 有 穷 数 列 a1 , a2 , a3 , ① a1 ? a2 ? a3 ?

, an 为 n ? n ? 2,3,4,

? 阶“期待数列”:

? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ?
*

? an ? 1。

(I)若等比数列 ?an ? 为 2 k

,求公比 q ; ? k ? N ? 阶“期待数列”

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(II)记 n 阶“期待数列” ?ai ? 的前 k 项和为 Sk ? k ? 1,2,3, (1)求证: S k ?

, n? 。

1 ; 2

(2)若存在 m ??1,2,3,

, n? ,使得 S m ?

1 。试问:数列 ?Si ??i ? 1,2,3, 2

, n? 能否为 n 阶“期

待数列”?若能,求出所有这样的数列;否则,请说明理由。

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