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郑州市2013年高三三模理科数学试卷


郑州市 2013 年高三模拟考试 理科数学试卷
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚,并认真核对. 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答, 在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答 题卡上按如下要求答题: (1)选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹; (2)非选择题部分请按照题号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效; (3)请勿折叠答题卡.保持字体工整,笔迹清楚、卡面清洁. 3.本试卷共 5 页. 如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 z =

1+ i - 1 ,则 z 在复平面内对应的点位于 1- i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 2.若命题 p: $x0 ? [ 3,3], x0 + 2 x0 + 1? 0 ,则命题 p 的否定是 A. " x ? [ 3,3], x2 + 2x + 1> 0 C. $x0 ? [ 3,3], x + 2x0 + 1 < 0
2 0

B. " x ? ( ? , 3) U(3, + ? ), x2 D. $x ? ( ? , 3) U(3, + ? ), x
2

2 x + 1> 0 2x + 1? 0

3.设 m , n 是不同的直线, a , b 是不同的平面,且 m, n ? a . 则“ a ∥ b ”是“ m ∥ b 且

n ∥ b ”的
??? ? 2 AC) = 0 ,则△ABC 的形状为 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5.一个几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的表面积为
4.在△ABC 中,若 AB ?( AB A. 6 + 2 3 B . 6 + 4 2 C. 4 + 2 3 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

??? ? ??? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D. 4 + 4 2

开始

n=1, S=1 否


S=S+n n=n+1 图2 图1

输出 S
结束

6.已知数列 {an } 中, a1 = 1, an+ 1 = an + n ,若利用如图 2 所示的程序框图计算并输出该数 列的第 10 项,则判断框内的条件可以是 A. n ? 11? B. n ? 10? C. n ? 9?
2 2

D. n ? 8?

x y - 2 = 1( a, b > 0) 有相同的焦点 F,点 A 是两曲 2 a b AF ^ x 线的一个交点,且 轴,则双曲线的离心率为 A. 4 + 2 3 B. 3 + 2 2 C. 3 + 1 D. 2 + 1 8.定义区间 ( a, b) , [ a, b) , ( a, b] , [ a, b] 的长度均为 d ? b ? a .用 [ x ] 表示不超过 x 的最
7.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 与双曲线 大整数,其中 x ? R .设 f ( x) = [ x] ?( x [ x]) , g ( x) = x - 1 ,若用 d1 , d2 , d3 分别表示 不等式 f ( x) < g ( x) ,方程 f ( x) = g ( x) ,不等式 f ( x) > g ( x) 解集区间的长度,则当 0 剟x 2013 时,有 A. d1 = 2012 , d 2 = 1 , d3 = 0 B. d1 = 2011 , d 2 = 1 , d3 = 1 C. d1 = 2009 , d 2 = 1 , d3 = 3 D. d1 = 2007 , d 2 = 3 , d3 = 3

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记 分) 9. (几何证明选讲选做题)如图 3,△ ABC 的外角平分线 AD 交外接 圆于 D , BD = 4 ,则 CD = . 10. (坐标系与参数方程选做题) 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆C

ì ? x = 3 + 3cos q ,以 x 轴的非负半轴为 (q 为参数) ? ? y = 1 + 3sin q ? p 极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 r cos(q + ) = 0. 则直 6
的参数方程为 ? í

图3

线 l 被圆 C 所截得的弦长为 (二)必做题(12 ? 16 题)

. .

11. (不等式选做题)不等式 x ?1 ? x ? 4 ? 1 的解集为

12 . 已知集合 A = {x | log2 x < 3 } , B = {x | 0 < x < m} ,若 A ? B= B ,则 m 的取值范围 是 . . 13.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) 满足 f ( x) - g ( x) = a x - a- x - 2

(a > 0, 且a ? 1) ,若 g (2013) = a ,则 f (1) =

14.如图 4,设 D 是图中所示的矩形区域, E 是 D 内函数 y = cos x 图象上方的点构成的区域,向 D 中随机投一 点,则该点落入 E (阴影部分)中的概率为_______. 图4 ì 3x - y - 2 ? 0 ? ? ? 15.设实数 x,y 满足约束条件 í x - y …0 ,若目标函数 z = ax + by (a > 0, b > 0) 的最大 ? ? ? ? ? x 厖0, y 0 1 2 值为 1,则 + 的最小值为 . a b 16.将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、C,其中 A = {a1 , a2 ,?, an } , B = {b1 , b2 ,?, bn } , C = {c1 , c2 ,?, cn } ,若 A、B、C 中的元素满足条件: c1 < c2 < ? < cn , ak + bk = ck , k = 1,2,…, n ,则称 M 为“完并 集合”. (1)若 M = {1, x,3, 4,5,6} 为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 .(写出一个即

可) (2)对于“完并集合” M = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中, 其元素乘积最小的集合是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 我市某中学一研究性学习小组, 在某一高速公路服务区, 从小型汽车中按进服务区的先 后,每间隔 5 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速(km/h)分成六段: [70,75) ,[75,80) ,[80,85) ,[85,90) ,[90,95) ,[95,100] , 统计后得到如图 5 的频率分布直方图. (Ⅰ)此研究性学习小组在采样中,用到的是什么抽样方法?并求这 40 辆小型汽车车 速的众数和中位数的估计值. (Ⅱ)从车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 3 辆车,求车速在 [80,85) , [85,90) 内都有 车辆的概率. (Ⅲ)若从车速在 [70,80) 的车辆中任意抽取 3 辆,求车速在 [75,80) 的车辆数的数学期 望.

频率 组距 0.06 0.05 0.04

0.02 0.01 O 70 75 80 85 图5 90 95 100 车速

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 , AB = AC = AA1 = BC1 = 2 , ? AAC 1 1

60? , 平 面

ABC1 ^ 平面 AA1C1C , AC1 与 A1C 相交于点 D .
(Ⅰ)求证: BD ^ 平面 AA1C1C ; (Ⅱ)求二面角 C1 - AB - C 的余弦值.

B1

B

C1 D A1 图6 A

C

19. (本小题满分 12 分) 已知正项数列{ an }的前 n 项和为 S n = 且 b1 + b2 + b3 = 26 , b1b3 = 36 . (Ⅰ)求数列{ an },{ bn }的通项公式; a (Ⅱ)若数列{ c n }满足 cn = n ,数列{ cn }的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn < 3 . bn

( an + 2) 2 ,正项数列 { bn }是递增的等比数列, 8

20. (本小题满分 13 分) 在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所在平面与道路方向垂直, 且 ? ABC 120? ,路灯 C 射出的部分光线如图 7 中虚线所示,已知 ? ACD 60? ,路宽 AD = 18 米,设灯柱高 AB = h 米, ? ACB q ( 30鞍 剟q 45 ). (Ⅰ)求灯柱的高 h (用 q 表示) ; BC (Ⅱ) 若灯柱 AB 与灯杆 单位长度的造价相同, 问当 q 为多少时, 灯柱 AB 与灯杆 BC 的总造价最低?
C

B D

A

图7

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 P(4,1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P 的直线 l : y = 1 与椭圆的另一个交点为 Q ,A、B 是椭圆 C 上位于直线 l 两 侧的动点,且满足直线 AP 与 BP 关于 l 对称.试探究直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理 由,并求出四边形 APBQ 面积的最大值. y A Q O B 图8 P x

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = 2ln x - x2 - ax . (Ⅰ)当 a …3 时,讨论函数 y = f ( x) 在 [ , + ? ) 上的单调性; (Ⅱ)如果 x1 , x 2 ( x1 < x2 ) 是函数 f ( x) 的两个零点, f ? ( x) 为函数 f ( x) 的导数, 证明: f ? (

1 2

x1 + 2 x2 )< 0. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. B 2. A 3. A 4. B 5. D 6. C 7. D 8.B

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记 分) 9.4 10. 4 2 11.

{x | x < 3}

(二)必做题(12 ? 16 题) 12. m ? 8 13.

3 2

16. (1)7,9,11 中任一个

2 15. 3 + 2 2 p (2) {6,10,11,12}
14. 1 -

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)此研究性学习小组在采样中,用到的抽样方法是系统抽样.………2 分 ∴这 40 辆小型汽车车速众数的估计值为 87.5,中位数的估计值为 87.5.………4 分 (Ⅱ)车速在 [80,90) 的车辆共有(0.2+0.3)?40=20 辆.速在 [80,85) , [85,90) 内的车辆 分别有 8 辆和 12 辆. 记从车速在 [80,90) 的车辆中任意抽取 3 辆车, 车速在 [80,85) 内的有 2 辆, 在 [85,90) 内 的有 1 辆为事件 A, 车速在 [80,85) 内的有 1 辆,在 [85,90) 内的有 2 辆为事件 B, 则 P( A) + P( B) =
1 1 2 C82 鬃 C12 C8 C12 864 72 + = = .………………………8 分 3 3 C20 C20 1140 95

(Ⅲ) 车速在 [70,80) 的车辆共有 6 辆, 车速在 [70,75) 和 [75,80) 的车辆分别有 2 辆和 4 辆,设若从车速在 [70,80) 的车辆中任意抽取 3 辆,车速在 [75,80) 的车辆数为 x ,则 x 的可 能取值为 1,2,3.
2 1 C2 ×C4 4 1 = = ,…………………………………………………9 分 3 C6 20 5 1 2 C2 ×C4 12 3 = = ,…………………………………………………10 分 3 C6 20 5 0 3 C2 ×C4 4 1 = = ,…………………………………………………11 分 3 C6 20 5

P(x = 1) = P(x = 2) = P(x = 3) =

x

1

2

3

故分布列为

P

1 5

3 5

1 5

? 车速在 [75,80) 的车辆数的数学期望为 Ex = 1?

1 5

2?

3 5

3?

1 5

2 .………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解法一: (Ⅰ)已知侧面 AA1C1C 是菱形, D 是 AC1 的中点,

? BA = BC1 , \ BD ^ AC1 ………2 分 B B1 ? 平面 ABC1 ^ 平面 AA1C1C , 且 BD ? 平面ABC1 , 平面 ABC1 ? 平面 AA1C1C =AC1 ? BD ^ 平面 AA1C1C .………………5 分 C1 C E (Ⅱ)? 平面 ABC1 ^ 平面 AA1C1C , CA1 ^ AC1 , \ CD ^ 平面ABC1 …………6 分 D 作 DE ^ AB ,垂足是 E ,连结 CE , A1 A 则 ?DEC 为二面角 C1 - AB - C 的平面角.…………………………………… 8分 图6 在直角 DDAB 中, AD = 1, BD = 3, AB = 2 ………………………………9 分 AD ×DB 3 15 2 2 \ DE = = CE = DE + DC = , …………………………11 分 AB 2 2 DE 5 5 = 于是, cos ? DEC .即二面角 C1 - AB - C 的余弦值是 . ………12 分 CE 5 5 (Ⅱ)解法二如图,以 D 为原点,以 DA, DB, DC 所在直线分别为 x 轴, z 轴, y 轴建立空 间直角坐标系. 由已知可得 AC1 = 2, AD = 1, BD = A1D = DC = 3, BC = 6 ……………6 分

C (- 1,0,0), C(0, 3,0) ……………………7 分 ? D(0,0,0), A(1,0,0), B(0,0, 3), ?? 1

z 设平面 ABC 的一个法向量是 m = ( x, y, z) ??? ? ??? ? AB = (- 1,0, 3), BC = (0, 3, 3) B ??? ? ?? ??? ? ?? B 1 由 AB ?m 0, 且BC ?m 0 ì ? - x + 3z = 0 ?? 得? ,可得 m = ( 3, - 1,1) í ? ? ? 3 y + 3z = 0 C1 …………………8 分 ? 平面 ABC1 ^ 平面 AA1C1C , D CA1 ^ AC1 , \ CD ^ 平面ABC1 ???? A1 ∴DC 是平面 ABC1 的一个法向量是 DC = (0,1,0) , …………………… A 10 分 x ?? ???? ?? ???? m ×DC 5 , \ cos < m, DC > = ?? ???? = 5 m DC 即二面角 C1 - AB - C 的余弦值是

y C

5 .…………………………………………12 分 5

19. (本小题满分 12 分)

2 解: (Ⅰ)由已知及 an = Sn - Sn- 1 可得 an 2 - an - 1 = 4(an + an- 1 )

? an > 0

∴ an - an- 1 = 4
2

…………………………………2 分

( a1 + 2) ? a1 2 ∴ an = 4n - 2 . ………………………3 分 8 ∵数列{ bn }是各项均为正数的等比数列,且 b1b3 = 36 ? b2 6 .…4 分 6 6 + 6q = 26 ? 3q 2 10q + 3 = 0 , 设公比为 q ,则 b1 + b2 + b3 = 26 ? q
又 a1 = S1 =

1 (舍). 3 ∴ bn = b2 qn- 2 = 6篡 3n- 2 bn = 2? 3n- 1 .
解得: q = 3 或 q =

……………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an = 4n - 2 , bn = 2 ? 3n- 1 又 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn .

\ cn =

4n - 2 2n - 1 = n- 1 . 2 ? 3n- 1 3 ………7 分

2? 1 1 2? 2 1 2? 3 1 2? 4 1 2n - 1 …………① + + + + ?+ n- 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 2? 1 1 2? 2 1 2? 3 1 2? 4 1 2n - 1 …………② ? 3Tn + + + + ?+ n- 2 - 1 0 1 2 3 3 3 3 3 2? 1 1 2 2 2 2 2n - 1 由②—①得: ? 2Tn + 0 + 1 + 2 + ?+ n- 2 - 1 3 3 3 3 3 3n- 1 ………9 分 1 1 2(1 - n- 1 ) 1 - n- 1 2 n 1 3 3 3 - 2n - 1 , ? 2Tn 3 + ? Tn + n- 1 1 1 3 2 2 ? 3n- 1 113 3 n+ 1 ∴ Tn = 3 - n- 1 < 3 . ………………………………………………………12 分 3
所以: Tn = 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ ? ABC 120? , ? ACB q ,∴ ? BAC 60? - q . 又 ? BAD 90? , ? ACD 60? ,∴ ? CAD 30? + q , ? CDA

90? - q .

……………………2分 AD AC = 在△ ACD 中,由正弦定理可得: , sin 60? sin(90? - q)

AD? sin(90? - q) 18cos q = ? AC 12 3 cos q .……………………4分 sin 60? sin 60? 在△ ABC 中,由正弦定理可得: 12 3 cq os q sin AB AC ? AB = ? ? s i n 1 2 0 sin q sin120 ? AB 12sin 2q (30? #q 45? ) . ………………6分 ? AC
(Ⅱ)由题意可知,要灯柱 AB 与灯杆 BC 的总造价最低,即要使灯柱 AB 与灯杆 BC 的长度之和最小. 在△ ABC 中,同理由正弦定理可得: ……………………………7分

AC BC = ? BC ? sin120 sin(60? - q)
? BC 24cos q ? ( 3 cos q 2

12 3 cos q sin(60? - q) ? BC sin120?
1 sin q) 2

24cos q sin(60? - q)

? BC

12 3 cos2 q - 12cos q sin q

? BC

6 3 cos 2q - 6sin 2q + 6 3 . ……………………………………9 分

记灯柱 AB 与灯杆 BC 的长度之和为 S ,则有: ∴ S = AB + BC = 12sin 2q + (6 3cos2q - 6sin 2q + 6 3) ∴ S = 6 3 cos2q + 6sin 2q + 6 3

? S
?

12sin(2q + 60? ) + 6 3 (30? #q
45 蓿 120
? ? ?

45? ) .
?

…………………………11 分

又 30 #q

2q + 60 ? 150 ,

又易知正弦函数在此范围内单调递减, ∴当 2q + 60? = 150? 即 q = 45? 时, S 取得最小值 6 + 6 3 米. ∴当 q = 45? 时灯柱 AB 与灯杆 BC 的总造价最低. 21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设所求椭圆的标准方程为 由条件可得: ……………………13 分

x2 y 2 + = 1 ,焦距为 2c ,………………1 分 a 2 b2

c 3 = …………………① a 2

16 1 …………………②, + =1 a 2 b2 又 a 2 = b2 + c 2 …………………③ 由①②③解得: a 2 = 20 , b2 = 5 ………………………………………………4 分 x2 y2 + = 1 .………………………………………5 分 故所求椭圆的标准方程为 20 5 (Ⅱ)设直线 AP 的斜率为 k ,则直线 BP 的斜率为 ? k .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . ? 直线 AP 的方程为 y = k ( x - 4) + 1 ,……………………………………6 分 ì x2 ? y2 ? + =1 ? 联立 í 20 整理得 (4k 2 + 1) x2 + (8k - 32k 2 ) x + 64k 2 - 32k - 16 = 0 . 5 ? ? ? ? ? y = k ( x - 4) + 1

? x1 + 4 =

32k 2 - 8k 16k 2 - 8k - 4 - 4k 2 - 8k + 1 x = y = , , ………7 分 ? 1 1 4k 2 + 1 4k 2 + 1 4k 2 + 1 16k 2 + 8k - 4 - 4k 2 + 8k + 1 y = 将上式中的 k 用 ? k 代入可得 x2 = , ……8 分 2 4k 2 + 1 4k 2 + 1

- 4k 2 + 8k + 1 - 4k 2 - 8k + 1 y - y 16k 4k 2 + 1 4k 2 + 1 = = 1 ,……………10 分 ? k AB = 2 1 = 2 2 16 k + 8 k 4 16 k 8 k 4 x2 - x1 16k 4k 2 + 1 4k 2 + 1

? 直线 AB 的斜率为定值 1.
64 | k | 64 = ? 16 , 2 4k + 1 4 | k | + 1 |k| 故四边形 APBQ 面积的最大值为 16.…………………………………………13 分
而四边形 APBQ 的面积 S =

1 | PQ | ?| y2 2

y1 |=

22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ? ( x) =

2 - 2x - a , x

…………………………………………………1 分 …………………………………2 分

易知 f ? ( x) 在 [ , + ? ) 上单调递减, ∴当 x ? [ , ? ) 时, f ? ( x) ? f / ( )

1 2

1 2

1 2

3 - a .…………………………………3 分

当 a ? 3 时, f ? ( x) ? 0 在 [ , + ? ) 上恒成立. ∴当 a ? 3 时,函数 y = f ( x) 在 [ , + ? ) 上单调递减.………………………5 分 (Ⅱ)∵ x1 , x2 ( x1 < x2 ) 是函数 f ( x ) 的两个零点,

1 2

1 2

f ( x1 ) = 2ln x1 - x12 - ax1 = 0

……………(1) ……………(2)……………………………6 分

f ( x2 ) = 2ln x2 - x2 - ax2 = 0 由(2)—(1)得:

2

x 2 2ln 2 - ( x2 - x12 ) - a( x2 - x1 ) = 0 ? a x1
∵ f? ( x) =

x2 x1 - ( x2 + x1 ) …………………8 分 x2 - x1 2ln

2 - 2 x - a ,所以: x x + 2 x2 x + 2 x2 2 6 2 f? ( 1 )= - 2( 1 )- a = - ( x1 + 2 x2 ) - a , x + 2 x 3 3 x1 + 2 x2 3 1 2 3 x - 2ln 2 x + 2 x2 x1 6 1 ( 1 )= + - ( x2 - x1 ) ………9 分 将 a 代入化简得: f ? 3 x2 - x1 x1 + 2 x2 3 x - 2ln 2 x1 6 1 + 因为 - ( x2 - x1 ) < 0 ,故只要研究 的符号 x2 - x1 x1 + 2 x2 3 x x - 2ln 2 3( 2 - 1) x1 6 x x1 - 2 + 令 h( x ) = ? h( x ) [ln 2 ] …………10 分 x2 - x1 x1 + 2 x2 x2 - x1 x1 2 ? x2 1 x1

x 令 2 = t ,则 t > 1 ,且 ? h( x) x1
令 j (t ) = ln t -

x2 - 1) x2 x1 - 2 - 2 3(t - 1) [ln ]= [ln t ], x2 - x1 x1 2 ? x2 1 x2 - x1 2t + 1 x1 3(

3(t - 1) (t > 1) ,…………………………………………………11 分 2t + 1 1 9 (t - 1)(4t - 1) (t ) = = 所以: j ? , 2 t (2t + 1) t (2t + 1) 2
当 t ? 1 时, j ? (t ) ? 0恒 成 立, 所以 j (t ) 在 [1, + ? ) 上 单调 递增 ,所 以当 t > 1 时,

j (t ) > j (1)= 0 ,所以 h( x) < 0 ,又 -

1 ( x2 - x1 ) < 0 , 3

- 2ln


x2 x1 6 1 x + 2 x2 + - ( x2 - x1 ) < 0 ,所以 f ? ( 1 ) < 0 .……………13 分 x2 - x1 x1 + 2 x2 3 3


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