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河南省开封市2014届高三第二次模拟考试试卷 数学(文)


开封市 2014 届高三第二次模拟考试
高二数学试题(文科)

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知全集 U ? ?0,1,2,3,4? ,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3,4? ,则 A. 2
2

的子集个数是

B. 4

C.8

D.16

2.已知复数 z ? (a ? 1) ? (a ? 2)i(a ? R) ,则“ a ? 1 ”是“z 为纯虚数”的 A. 充分非必蕞条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 3.在一次独立性检验中,得出 2×2 列联表如下:

且最后发现,两个分类变量 X 和 y 没有任何关系,则 m 的可能值是 A.200 B.720 C.100 D.180

?2 x3, x ? 0 ? ? 4.已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( )) = 4 ? tan x,0 ? x ? ? ? 2
A.2 B.1 C.-2 5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.4 B.6 C.12 D.18 6.在等比数列 ? an ? 中, 若 a4 , a8 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两
2

D.-1

根,

则 a6 的值是
·1 ·

A. ? 3 C. 3

B. ? 3 D. ?3

7.设函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? )( ? ? 且其图象关于直线 x=0 对称,则 A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x) 的最小正周期为

?
2

),

?
2

) 上为增函数

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数 4 2 ? C. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, ) 上为减函数 2 ? ? D. y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 4 2
x2 y 2 8 存在直线 x ? ?m 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B、C、D 四点,若四边形 ABCD a b
为正方形,则双曲线离心率的取值范围为. A. ( 2, ??) B. ( 3, ??) C. (1, 2) D. (1, 3) ?3

9.若曲线与曲线在交点(0,m)处有公切线,则 a+b= A.1 B.2 C.3 10.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是

D.4

A.1

B.2

C.3
?

D.4

11.在平行四边形 ABCD 中, AD ? 1, ?BAD ? 60 ,E 为 CD 的中点.若 AD ? BE ? 则 AB 的长为 A.

???? ??? ?

1 , 2

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

?1 ? x ? 1 , x ? ? 0, 2? ? 12.函数 f ( x ) ? ? 1 ,则下列说法中正确命题的个数是 ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2
①函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点;
·2 ·

②若 x ? 0 时,函数 f ( x) ?

k ?3 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ? , ?? ? ; x ?2 ?

③函数 f ( x) 的极大值中一定存在最小值, ④ f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ),(k ? N ) ,对于一切 x ? ? 0, ?? ? 恒成立. A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x ? 0, ? 13.已知 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0, ,则 z ? x ? 3 y ? 5 的最大值是_________. ? 2 x ? y ? 5 ? 0, ?
14.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A、B 两
2

点,若线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为_________. 15.在△ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3 ,则 sin ?BAC ? __________.
3 AB ,

16.已知四面体 P- ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 平面 ABC, 2 AC ? 若四面体 P - ABC 的体积为

3 ,则该球的表面积为_________. 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知 ? an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 (I)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ? an ? 和数列 ?bn ? 满足等式: an ? 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 18.(本小题满分 10 分) 某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的 6 名男生和 9 名女生的身高,数据用茎叶图 表示如下(单位:cm) ,应聘者获知:男性身高在区间[174,182],女性身高在区间[164,172]的才 能进入招聘的下一环节.
·3 ·

b1 b2 b3 b (n 为正整数) ? 2 ? 3 ? ??? ? n 2 2 2 2n

(I)求 6 名男生的平均身高和 9 名女生身高的中位数; (Ⅱ)现从能进入下一环节的应聘者中抽取 2 人,求 2 人中至少有一名女生的概率, 19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,CA=CB,

AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60? .
(I)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2, A1C ? 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 则点 N (

6 ,求三棱锥 C ? ABC1 的体积。

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 3, ) ,离心率 e ? ,若点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上, 2 2 a b 2

x0 y0 ,直线交椭圆 C 于 A、B 两点,若点 A、B 的“椭点”分别 , ) 称为点 M 的一个“椭点” a b

是 P、Q,且以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 的右顶点为 D,上顶点为 E,试探究 ?OAB 的面积与 ?ODE 的面积的大小关系,并 证明. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? x)ln x (I)求 f ( x) 在 x=l 处的切线方程; (Ⅱ)设 g ( x) ?

1 f ( x) ,对任意 x ? (0,1) ,都有 g ( x) ? ?2 ,求实数 a 的取值范围. a (1 ? x)

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 ? O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证. (I) ?DEA ? ?DFA ; (Ⅱ) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
·4 ·

极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 为极点,以 x 铀正半轴为极轴,已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,曲线 C2 的参数方程为

? x ? m ? t cos a ? ? (t 为参数, 0 ? a ? ? ) ,射线 ? ? ? ,? ? ? ? ,? ? ? ? 与曲线 C1 交于(不包 ? 4 4 ? y ? t sin a
括极点 O)三点 A、B、C. (I)求证: OB ? OC ? (Ⅱ)当 ? ?

2 OA ;

?
12

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 a 的值.

24.本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 , x ? R . (I)解不等式 f ( x) ? ?1 ; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? x ? a ? 4 ,且 g ( x) ? f ( x) 在 x ? ? ?2,2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

·5 ·

·6 ·

·7 ·

·8 ·


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