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2013-2014上学期期末高三五校联考数学文科试卷


2013-2014 上学期期末考试高三(14 届)数学文科试卷
命题:鞍山一中 1.设集合 P ? x x ? 1 , Q ? x x ? x ? 0 ,则下列结论正确的是
2

?

?

?

?

A. P ? Q 2.复数 A. ?1

B. Q ? P

C. P ? Q

D. P ? Q ? R

2 的实部与虚部之和为 1? i
B.2 C.1 D.0

3.已知 cos ? A.

?? ? 3 ? ? 3? ? ? ? ? 且? ? ? , ?2 2 ?2 ? 5

? ? ,则 tan ? ? ?

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

3 4

4.设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 等于 A.8 B.7 C. 6 D. 5

5.对于一组数据 xi ? i ? 1, 2,3, ?, n ? , 如果将它们改变为 xi ? c ? i ? 1, 2,3, ?, n ? , 其中 c ? 0 , 则下列结论正确的是 A.平均数与方差均不变 C.平均数不变,方差变

B.平均数变,方差保持不变 D.平均数方差均变

b ? ? m, 2m ? 3? 使平面内的任一个向量 c 都可以 6.已知直角坐标系内的两个向量 a ? ?1,3? ,
唯一的表示成 c ? ? a ? ? b ,则 m 的取值范围是 A. ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? B.

?

?

?

?

?

?

? ??, ?3? ? ? ?3, ?? ?

C.

? ??,3? ? ? 3, ?? ?

D.

? ?3,3?

2 7.已知 AB 是抛物线 y ? 2 x 的一条焦点弦, AB ? 4 ,则 AB 中点 C 的横坐标是

A.2

B.

1 2

C.

3 2

D.

5 2

8.设函数 f ? x ? ? log a x 在 ? ??, 0 ? 上单调递增,则 f ? a ? 1? 与 f ? 2 ? 的大小关系是 A. f ? a ? 1? ? f (2) B. f ? a ? 1? ? f (2) C. f ? a ? 1? ? f (2) D.不能确定 且a ?b,

9.在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、 若 ac o s B b ? c o s b、 c, 则角 B 等于 A.30° B.45° C.60° D.90°

An i sc ?C

10.已知 a, b 是实数,且 e ? a ? b ,其中 e 是自然对数的底数,则 a 与 b 的大小关系是
b a

1

A. a ? b
b

a

B. a ? b
b

a

C. a ? b
b

a

D. a 与 b 的大小关系不确定

b

a

11.某种程序如图所示,若该程序运行后输出的 k 的值是 6,则满足条件的整数一共有( ) 个

A.31

B.32

C.63

D.64

12.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC= 2 ,AC=2,若四面体 ABCD 体积的最

2 ,则这个球的表面积为 3 125? 25? A. B. 8? C. 6 16
大值为 13.双曲线

D.

25? 4
. .

y 2 x2 ? ? 1 的离心率为 4 2

14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
2 2

3

1

1

15.已知数列 ? an ? 满足 an ?

? 1 ? 1? 2 ? 3 ??? n ,则数列 ? ? 的前 n 项和为 n ? an an ?1 ?

.

16.三个正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 2a , b ? a ? c ? 2b ,则

b 的取值范围是 a

.

2

17.设函数 f ? x ? ? sin ? x ? sin ? ? x ? (1)若 ? ? (2)若 x ?

? ?

??

? , x?R. 2?

?

1 ,求 f ? x ? 的最大值及相应 x 的集合; 2
是 f ? x ? 的一个零点,且 0 ? ? ? 10 ,求 ? 的值和 f ? x ? 的最小正周期.

8

18.某市为了了解今年高中毕业生的体能情况,从本市某高中毕业班中抽取了一个班进行铅 球测试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格,把所得数据进行整理后,分成六组 画出频率分布直方图的一部分,如图,已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第六小组的频数是 7.
频率

0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

组距

O

5.25

6.15 7.05 7.95

8.85

9.75 10.65 成绩(米)

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若从第一小组和第二小组中随机抽取两个人的测试成绩,则两个人的测试成绩来自同 一小组的概率是多少?

19.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PAD 是正三角形, 底面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC, ∠ADC=90°,AD=2BC=2,CD= 3 ,平面 PAD⊥底面 ABCD,若 M 为 AD 的中点,E 是棱 PC 上的点.
P

D M A B

E

C

(1)求证:平面 EBM⊥平面 PAD; (2)若∠MEC=90°,求三棱锥 A-BME 的体积.
3

20.已知 M ? x1 , y1 ? 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上任意一点,F 为椭圆的右焦点. a 2 b2

(1)若椭圆的离心率为 e,试用 e、 a 、 x1 表示 MF ,并求 MF 的最值; (2)已知直线 m 与圆 x ? y ? b 相切,并与椭圆交于 A、B 两点,且直线 m 与圆的切点
2 2 2

Q 在 y 轴的右侧,若 a =2, b =1,求△ABF 的周长.

21.已知 a 为常数, a ? R ,函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x , g ? x ? ? e (其中 e 是自然对数的
2 x

底数). (1)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ? x ? 的切线,设切点为 P ? x0 , y0 ? ,求 x0 的值; (2)令 F ? x ? ?

g ? x?

f ? x?

,若函数 F ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是单调函数,求 a 的取值范围.

22.已知圆 O 的弦 CD 与直径 AB 垂直并交于点 F,点 E 在 CD 上,且 AE=CE. (1)求证: CA ? CE ? CD ;
2

(2)已知 CD=5,AE=3,求 sin∠EAF.

23.倾斜角为 ? 的直线 l 过点 P(8,2) ,直线 l 和曲线 C: ?

? ? x ? 4 2 cos ? ( ? 为参数)交于 y ? 2 sin ? ? ?

不同的两点 M1、M2. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并写出直线 l 的参数方程; (2)求 PM 1 ? PM 2 的取值范围.

24.已知函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? a . (1)若不等式 f ? x ? ? 6 的解集为 ? 2, 3? ,求实数 a 的值; (2)若在(1)的条件下,存在实数 t,使得 f ? 围.

?t? ? ? m ? f ? ?t ? 成立,求实数 m 的取值范 ?2?

4

数学(文)科试卷答案
一、选择题 1~6 ADBDBB 二、填空题 13、 7~12CABABD

6 2

14、11

15、

2n n ?2

16、[ , ]

2 3 3 2

三、解答题 17、解:由已知: f(x ) ? sin ?x ? cos ?x ?

2 sin( ?x ?

?
4

)……..2

(1)若 ? ?

1 则 f(x ) ? 2
2 ,此时

2 sin(

1 ? 1 ? x ? ),又 x ? R 则 2 sin( x ? ) ? 2 2 4 2 4

? f(x )max ?

1 ? ? 3? x ? ? 2k? ? 即 x ? {x x ? 4k? ? ,k ? Z } 2 4 2 2
………………7

(2) ? x ?

? ? ? ? ? 是函数的 f (x )的一个零点,? 2 sin( ? ? ) ? 0 ? ? ? ? k? ,k ? Z 8 8 4 8 4
2 sin( 2x ?

又 0 ? ? ? 10 ? ? ? 2 ? f(x ) ?

? ,此时其最小正周期为 ? ………12 )
4

18.解: (1)第 6 小组的频率为:1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14 则此次测试总人数为 50 人,又第四、五、六组成绩均合格,所以合格的人数为 50(0.28+0.30+0.14)=36 人 ………………….4 (2)由已知可知第一组含两个样本,第二组含 5 个样本,将第一组的学生成绩编号为 (a1 , a2)将第二组的学生成绩编号为(b1,b2,b3,b4,b5)从一二组中随机取两个元素的基本事 件空间 ? 中共有 21 个元素,而且这些基本事件出现时等可能的。用 A 表示“两个元素来自 同一组”这一事件,则 A 里包含的基本事件有 11 个,? P(A ) ? 11 21 答:所求事件概率为 11 ……………………………………………12
21

19 解: (1)? M是AD的中点且AD ? 2 ? MD ? 1 又 ? AD || BC,BC ? 1

? MBCD 为平行四边形? ?ADC ? 90 o , DC || MB ,? ?AMB ? 90 o 即BM ? AD

? 平面PAD ? 平面ABCD ,BM ? 平面ABCD ? BM ? 面PAD
? 平面EBM ? 面PAD ……………………………….4

5

(2)V A ? BME ?

V E ? ABM BM ? 3 且? AM ? 1, BM ? AM ? S ?ABM ?

3 2

过 E 做 EG||PM 交 MC 于 G ?

PM ? 平面ABCD ,? EG ? 平面ABCD ,
3 ,MC ? 2

则 EG 为三棱锥 E-AMB 的高,在直角三角形 PMC 中: PM ? 又 ME ? PC ? ME ?

2 3 4 4 3 , EC ? ? EG ? 7 7 7
…………10

(平面几何摄影定理,也可以利用解析法求解点 E 到底面的距离)

? V A ? BME ? V E ? ABM ?

1 4 3 3 2 ? ? ? 7 2 7 3
(x 1 ? c )2 ? y 1
2

0)为椭圆的两个焦点,则| MF |? 20、解: (1)设 F(c,

x y x 2 b2 又 12 + 12 =1 则 y 1 ? (1 ? 12 ) a b a

2

2

2

b2 2 c2 2 2 x 1 ? 2cx 1 ? a = 2 x 1 ? 2cx 1 ? a 2 所以| MF |? (1 ? 2 ) a a
= (ex 1 ? a ) ? ?a ? x 1 ? a且0 ? e ? 1
2

| MF |? a ? ex 1
且 | MF |max ? a ? ae ,| MF |min ? a ? ae (2)设 B(x 2 ,y 2 )(x 1 ,x 2 ? 0)在 ?OQA 中 ……………….4

| AQ | ? x 1 ? y 1 ? b 又 y 1
2 2
2

2

2

2

x ? (1 ? 12 ) b2 a

2

| AQ |2 ?

cx 1 cx 2 c 2x 1 ? ? 则| AQ | 同理| BQ | 2 a a a
c a c c c x 2 ) ? x 1 ? x 2 ? 2a a a a

| AB | ? | AF | ? | BF |? 2a ? ( x 1 ?
又 a ? 2 所以所求周长为 4

…………………………………..12

6

21、解: (1)f’(x)=2x+a-

1 x 0 ? ax0 ? ln x 0 1 (x>0)所以切线的斜率 k=2x0+a= x0 x0 x

2

整理得 x02+lnx0-1=0 显然 x0=1 是这个方程的解,又因为 y=x2+lnx-1 在(0.+ ? )上是增函数 所以方程 x2+lnx-1=0 有唯一实数解,故 x0=1 ---------------5

f ( x ) x 2 ? ax ? ln x ’ (2) F(x)= = F (x)= g ( x) ex
设 h(x)=-x2+(2-a)x+ah’(x) ? h’(1)=2-a

? x 2 ? (2 ? a) x ? a ? ex

1 ? ln x x

1 1 1 +lnx 则 h’(x)=-2x+ 2 + +2-a 易知 h’(x)在(0.+ ? )上是减函数, 从而 x x x

(1) 当 2-a ? 0 时,即 a ? 2 时, h’(x) ? 0,h(x)在(0.1)上是增函数∵h(1)=0, ∴h(x) ? 0 在 ?0,1? 上 恒成立,即 F’(x) ? 0 区间 ?0,1? 上是单调递减函数,所以 a ? 2 满足题意------ 10 (2) 当 2-a<0 时,即 a>2 时,设函数 h’(x)的唯一零点为 x0, 则 h(x)在(0,x0)上单调递增, 在(x0,1) 单调递减,又∵ h(1)=0, ∴ h(x0)>0, 又∵ h(e )<0 ∴ h(x) 在 (0,1) 内有唯一一个零点 m, 当 x ? (0,m)时,h(x)<0,当 x ? (m,1) 时,h(x)>0,从而 F(x)在(0,m)上单调递减,在(m,1)上单调递增, 与在区间 ?0,1? 上是单调函数矛盾,∴a>2 不合题意, 综合(1)(2)得 a ? 2 ----------12
-a

7

22、 (1)证明:连接 AD 则 ? ACD= ? ADC, ? CE ?

AE ? ?ACD ? ?EAC

? ?AEC 与?CAD 相似 ?

AC CE ? ? AC 2 ? CD ? CE ……………….5 CD AC
25 1 25 ? CF ? CD ? 3 2 6

(2) CA ? 5,AE ? 3 ? CE ? 3,CD ?

7 7 7 …………………………….10 则 EF ? ? sin ?EAF ? 6 ? 6 3 18
23 、 解 ( 1 ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 为

x2
32

?

y2
4

? 1 直线 L 的参数方程为

?x ? 8 ? t cos ? (?为参数) ? ?y ? 2 ? t sin ?

(8 ? t cos (2) 将 L 的参数方程为代入曲线 C 的方程得: (8sin 整理得
2

2 ?) ? 8(2 ? t sin ? )2 ? 32

? ? cos 2 ?)t 2 ? (16 cos ? ? 32 sin ? ) t ? 64 ? 0
64 ? [8, 64]…………….10 1 ? 7 sin 2?
?6 ? a ? 0 ?a ? 6 ? 2x ? a ? 6 ? a
即a ? 1 ……………….4

? | PM 1 || PM |2 ? t1t 2 ?

? 6 ? a? ? 24、解: (1)原不等式可化为| 2x ? a |
? a ? 3 ? x ? 3(a ? 6 )
又原不等式解集为 x | ?2 ? x ? 3 ? a ? 3 ? ?2

?

?

(2)? f ( ) ? m ? f (?t ) ? | t ? 1 | ? | 2t ? 1 | ?2 ? m ? y ?| t ? 1 | ? | 2t ? 1 | ?2

t 2

1 ? ?? 3t ? 2, t ? ? 2 ? 1 ? ? ?t ? 4, ? ? t ? 1 2 ? t ?1 ?3t ? 2, ? ?

? y min ?

7 2

7 ? m ? …………………………..10 2

8


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