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2.3对数


2.2.1 对数与对数的运算性质
一、新课导航
【课时目标】 1.理解对数的定义,了解对数与指数的关系, 2.掌握对数式和指数的互化,运用对数运算性质进行求值、化简 【课时重点】 对数的概念及指数式与对数式的互化,对数运算性质 【课时难点】 对数的概念,对数运算性质的运用 【自主预习】 1.若 2 ? 8 ,则 x ?
x

;那

你能求 2 ? 9 中的 x 的值?(请阅读教材第 62 页)
x

2.对数的定义:一般地,如果 a x ? N (a ? 0 且 a ? 1) ,那么数 记作: x ? loga N 3.两个特殊的对数: (1)常用对数 4.填写下表: 式子 指数式 对数式 5.你能知道:零和负数为什么没有对数吗? 6.对数的两个重要性质: (1) loga 1 ? 7.对数的运算性质 如果 a ? 0 且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么 ① loga M ? N ? ; ② log a ; 名称 其中 a 叫做对数的 ; ; N 叫做

叫做以 ;

为底 N 的对数,

log10 N 记作为: (2)自然对数 l o g e N 记作为:

;你知道自然对数的底 e 是一个怎样的数吗?

a
底数

b

N

ab ? N

(2) loga a ?



M ? N



loga M n ? 二、新课导学
③ 【新知探究】

; (n?R )

1. 式子 x ? loga N 中,你知道底数 a 的取值范围吗? 真数 N 的取值范围呢? 你能说出式子 log2 ( x ? 2) 中 x 的取值范围吗? 2. 你能由指数的运算性质 a ? a ? a
m n m? n

推导出对数的运算性质 loga M ? N ? loga M ? loga N 吗?对数

还有哪些运算性质呢? 等式 log2 (?4) ? (?8) ? loga (?4) ? loga (?8) 成立吗? 3.你能根据对数的定义推导 (1) a
loga N

? N ( a ? 0 且 a ? 1, N ? 0 ) ,

(2) loga b ?

logc b ( a ? 0 且 a ? 1; c ? 0 且c ? 1;b ? 0 ) logc a
1

【典例探究】 知识点 1:指数式与对数的互化 例 1:将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式 (1) 4 ? 64
3

(2) 3

?2

?

1 9

(3) log1 8 ? ?3
2

(4) lg10000? ?4

变式 1:求下列各式中 x 的值 (1) log5 125 ? x 变式 2:求下列各式的值 (1) lg 0.01 (2) log 3 (2) logx 16 ? 2 (3) lg x ? 2 (4) ? ln e ? x
3

(5) log2 (lg x) ? 0

1 27

(3) log1 16
2

(4) ln

1 e

知识点 2:利用对数的运算性质,进行化简求值 例 2:求下列各式的值 (1) lg 2 ? lg 5 (2)

2 9 log 2 27 ? log 2 3 4

(3) log3

27 ? 7 log7 2 ? (?9.8) 0

变式 1:已知 lg 2 ? 0.3010,求 lg 5 ? 变式 2: lg a 和 lg b 互为相反数,则( ) A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0 C. a ? b ? 1 D. a ? b

变式 3:若 log5 2 ? a , log5 3 ? b ,请用 a 和 b 表示下列各式 (1) log5 12 知识点 3:换底公式的应用 例 3:求下列各式的值 (1) log2 3 ? log3 2 (2) (log2 3 ? log4 9 ? log8 27) ? log9 (2) log 5

4 9

(3) log2 3

27

变式 1:已知 2 ? 3 , log 4
x

8 ? y ,则 x ? 2 y ? 3
b

变式 2:已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,用 a , b 表示 log36 45

思考: (1)已知 lg M ? lg N ? 2(lg M ? 2 N ) ,求 log

2

M 的值 N

(2)已知 a , b , c 均为正数,且满足 3 ? 4 ? 6 ,则( )
a b c

A.

1 1 1 ? ? c a b
a b

B.

1 2 2 ? ? c a b
c

C.

2 1 2 ? ? c a b

D.

2 2 1 ? ? c a b

(提示:令 3 ? 4 ? 6 ? m )
2


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