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2015-2016学年高中数学 2.4.2 等比数列的性质课时训练 新人教A版必修5


课时训练 12
一、等比数列性质的应用 1.若{an}是等比数列,那么( )

等比数列的性质

A.数列是等比数列 B.数列{}是等比数列 C.数列{}是等比数列 答案:A 解析:由等比数列的定义判断即可. 2.在等比数列{an}中,a2 013=8a2 010,则公比 q 的值为( A.2 答案:A 解析:∵a2 013=8a

2 010,∴a2 010q =8a2 010.
3

D.数列{nan}是等比数列

) D.8

B.3

C.4

∴q3=8.∴q=2.
3.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为 q1,q2(q1,q2≠1),则数列①{3an};②;③{};④ {2an-3bn};⑤{2an·3bn}中等比数列的个数是( A.1 答案:C 解析:在①中,=q1,是等比数列;在②中,,是等比数列;在③中,令 an=2 ,则数列{}为 3,3 ,3 ,…,因为, 故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,=q1·q2,是等比数列. 4.(2015 山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则
n-1
2 4

) D.4

B.2

C.3

a4a5a6=(
A.5 答案:A

) B.7 C.6 D.4

解析:a1a2a3=5? =5;

a7a8a9=10? =10. =a2a8,∴=50, ∴a4a5a6==5.故选 A.
5.(2015 河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2,则 2a7+a11 的最小值为( A.16 答案:B 解析:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2, ) B.8 C.2 D.4

∴a4·a14=(2)2=8, ∴a7·a11=8, ∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2=2=8.故选 B.

1

二、等差、等比数列的综合问题 6.等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) 答案:A 解析:因为 a2,a4,a8 成等比数列,所以=a2·a8,所以(a1+6) =(a1+2)·(a1+14),解得 a1=2.所以
2

)

B.n(n-1)

C.

D.

Sn=na1+d=n(n+1).
7.数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= 答案:1 解析:设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3) =(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1,故
2

.

q==1.
8.已知 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则的值为 答案:2.5 解析:∵a1+a2=1+4=5,

.

=1×4=4,且 b2 与 1,4 同号,∴b2=2, ∴=2.5.
9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为 a-d,a,a+d, (a-d)+a+(a+d)=48,即 a=16. 再设后三个数分别为,b,bq, 则有·b·bq=b =8 000,即 b=20.
3

∴四个数分别为 m,16,20,n. ∴m=2×16-20=12,n==25,
即这四个数分别为 12,16,20,25. 10.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d(d≠1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10. (1)求 a1 和 d 的值; (2)b16 是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得 所以 两式相除,得 3==d +d +1, 解得 d =-2 或 d =1(舍去). 所以 d=-,代入得 a1=-d=. (2)b16=a1d =×(-) =-32,
15 15 3 3 6 3

an=a1+(n-1)d=+(n-1)×(-) =-n+2.
令 an=-32,得-n+2=-32,解得 n=34∈N ,故 b16 是数列{an}中的第 34 项.
*

(建议用时:30 分钟)

2

1.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则 a9a10a11 的值为( A.48 答案:D 解析:∵=q =8(q 为公比),
9

)

B.72

C.144

D.192

∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
2.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=( A.1 答案:A 解析:∵a3a11==16,且 an>0,∴a7=4. 又 a7=a5·q =4a5,∴a5=1. 3.已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5 等于( A.33 答案:B 解析:由条件得,4a1+(a1q )=2×(2a1q), 即(q-2) =0,∴q=2.
2 2 2

)

B.2

C.4

D.8

)

B.84

C.72

D.189

∴a3+a4+a5=3×(22+23+24)=84.
4.等比数列{an}中,已知 a9=-2,则此数列的前 17 项之积为( A.2
16

)
17

B.-2

16

C.2

17

D.-2

答案:D 解析:∵数列{an}为等比数列,∴a1a2a3…a17=. 又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2) =-2 . 5.已知 1<a<b<c,且 a,b,c 成等比数列,且 n≥2,n∈N ,则 logan,logbn,logcn 的关系为( A.成等差数列 答案:C 解析:由已知 b =ac.∴lognb =lognac.
2 2 17 17

*

)

B.成等比数列 D.以上都不对

C.各项倒数成等差数列

∴2lognb=logna+lognc. ∴,
即成等差数列. 6.已知数列{an}是等比数列,公比 q>1,且 a1+a6=8,a3a4=12,则= 答案:3 解析:由已知 a3a4=12 得 a1a6=12, 又∵a1+a6=8.当 q>1 时,解得 a1=2,a6=6. 又∵a1a11=,∴=3. 7.在等比数列{an}中,若 an>0,a1·a100=100,则 lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100= 答案:100

.

.

3

解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lg

a100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.
8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8= 答案:16 解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,

.

∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16.
9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为 12, 求这三个数. 解:设这三个数为 a-d,a,a+d, 则(a-d)+a+(a+d)=12,所以 a=4. 所以这三个数可以表示为 4-d,4,4+d.

①若 4-d 为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得 d=12,或 d=0(舍去).
此时,这三个数是-8,4,16.

②若 4+d 为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得 d=-12,或 d=0(舍去).
此时,这三个数是 16,4,-8.

③若 4 为等比中项,则有 42=(4-d)×(4+d),
解得 d=0(舍去), 综上所述,这三个数是-8,4,16 或 16,4,-8. 10.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq =3+q . 由 b1,b2,b3 成等比数列,得(2+q) =2(3+q ), 即 q -4q+2=0,解得 q1=2+,q2=2-.
2 2 2 2 2

∴{an}的通项公式为 an=(2+)n-1 或 an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为 q, 则由(2+aq) =(1+a)(3+aq ), 得 aq -4aq+3a-1=0(*). 由 a>0 得 Δ =4a +4a>0, 故方程(*)有两个不同的实根. 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 代入(*)得 a=.
2 2 2 2

4


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