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云南省红河州泸源中学2016届高三上学期第三次月考数学(文)试卷


泸源中学 2016 届高三第三次月考试题
数学(文科)试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤0},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0 } ( D.3 ) ( )

2.已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2-i)的模|z|= A. 1 B.

5

C. 3

3.根据表格中的数据,可以断定函数 f ( x) ? ln x ? A. (1, 2) B. (2, e)
0.2

3 的零点所在的区间是( x
D. (3,5) )

)

C. (e,3)

4.实数 a ? 0.2 2 , b ? log A. a ? c ? b
a b

0.2, c ? 2 的大小关系正确的是( 2
C. b ? c ? a ( )

B. a ? b ? c
a b

D. b ? a ? c

5. log 3 ? log 3 是“ 2 ? 2 ”的 A.必要而不充分条 C.充要条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要

6.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B, 则 sinC=( A. ) B.

3 2

1 2

C.

2 2

D.1

7.阅读右边程序框图,为使输出的数据为 31, 则判断框中应填入的条件为( A. i ? 4 C. i ? 6 B. i ? 5 D. i ? 7 )

8.已知两条不重合的直线 m、n 和两个不重合的平面 α、β,有下列命题:

①若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α ; ②若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则 α ∥β ; ③若 m、n 是两条异面直线,m ? α ,n ? β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β ; ④若 α ⊥β ,α ∩β =m,n ? β ,n⊥m,则 n⊥α . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

9. 下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸 ( 单位: cm) ,可知几何体的表面积是 ( )

A.18+ 3 C.17+2 3

B.16+2 3 D.18+2 3
2 /

10.已知函数 f ( x) 在 R 上可导, 且 f ( x) ? x ? 2 x ? f (2) , 则 f (?1) 与 f (1) 的大小关系为 ( A. f (?1) ? f (1) B. f (?1) ? f (1)
x ?x

)

C. f (?1) ? f (1)

D.不确定

11.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则


g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图像是(

12.设 P 是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上除顶点外的任意一点, F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点, 4 ????? ????? △ PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 相切于点 M ,则 F1 M ? MF2 ? ( )
B.4 C.2 D.1

A.5

二、填空题:(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分)
13.已知向量 a, b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则向量 a, b 夹角的余弦值为 14.已知等差数列 {a n } 中, a1 ? a4 ? a7 ?

5 ? ,那么 cos(a3 ? a5 ) ? 4



?x ? y ? 1 ? 0 ? 15. 在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域内随机地取一点 P , 则点 P 恰好落在第二 ?y ? 0 ?
象限的概率为

16.下列四个命题: (1)函数 y ? sin(2 x ? (2)函数 y ? cos( x ? (3)函数 y ? tan( x ?

?
3

)在区间(?

? ?

?
?

, ) 内单调递增。 3 6

) 的图像关于点 ( , 0) 对称。 3 6
) 的图像关于直线 x ?

?

?

3

(4)把函数 y ? 3sin(2 x ? 其中真命题的序号是

?
3

) 的图象向右平移


?

6 6

成轴对称。 得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象。

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 cos A ?

4 . 5

B?C ? cos 2 A 的值; 2 (2)若 b ? 2, ?ABC的面积S ? 3, 求a 的值。
(1)求 sin 2 18.(本题满分 12 分)

某校高三年级有男学生 105 人,女学生 126 人,教师 42 人,用分层抽样的方法从中抽取 13 人进行问卷调查,设其中某项问题的选择,分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做 了一种选择,下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息. (1)完成此统计表; (2)估计高三年级学生“同意”的人数; (3)从被调查的女学生中选取 2 人进行访谈,求选到两名学生中恰有一人 “同意”,一人 “不同意”的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)

ABC ? A1B1C1 中, D 是 BC 的中点, AA1 ? AB ? 1 。
(Ⅰ) 求证: A1C ∥平面 AB1D ; (Ⅱ)求点 C 到平面 AB1 D 的距离。

20. (本小题满分 12 分)

同意 教师 女学生 男学生 1

不同意

合计

x2 ? y 2 ? 1 的 左,右焦点。 4 ???? ???? ? (1)若 P 是该椭圆上一个动点,求 PF1 ? PF2 的
设 F1 , F2 分别是椭圆 最大值和最小值。

4 2

(2)设过定点 M(0,2)的 直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 斜率 k 的取值范围。 21.(本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)若 a ?

a , a 为常数. x ?1

9 ,求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的值域;( e 为自然对数的底数, e ? 2.72 ) 2

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 ?1,2? 上为单调减函数,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A、B 两点,AB 是⊙ O2 的直径,过 A 点作⊙ O1 的切线交⊙ O2 于点 E, 并与 BO1 的延长线交于点 P, PB 分别与⊙ O1 ,⊙ O2 交于 C,D 两点。 求证:(1)PA·PD=PE·PC; (2)AD=AE。 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为: ?

?x ? t (t为参数) 在以 O 为极点, ? y ? 1 ? 2t

以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲:已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? m (1)当 m ? 5 时,求 f ( x) ? 0 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

泸源中学 2016 届高三第三次月考
文科数学答案 第Ⅰ卷
1
A

选择题(每小题 5 分,共 60 分)
2
B

3
C

4
D

5
B

6
D

7
A

8
C

9
D

10
B

11
A

12
B

第二卷

非选择题

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) ? 1
2

(14) ?

3 2

(15) 2
9

(16)(2)(4)

三、解答题(共 70 分)
17.解: (1) sin 2

B?C 1 ? cos( B ? C ) ? cos 2 A ? ? cos 2 A ………………2 分 2 2
…………4 分

?

1 ? cos(? ? A) 1 ? cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2

?

1?

4 5 ? 2 ? ( 4 ) 2 ? 1 ? 59 ……………………6 分 2 5 50
4 且0 ? A ? ? 5 ? sin A ? 1 ? cos 2 A ? 3 5
…………8 分

(2)? cos A ? 由 S ?ABC ?

1 1 3 bc sin A得3 ? ? 2c ? 2 2 5

?c ? 5
4 ? 13 5

………10 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ?

? a ? 13 ………12 分

18、(本题满分 12 分) 【解】(1) 同意 教师 女学生 男学生 1 2 3 不同意 1 4 2 合计 2 6 5

(2)

2 3 ?126 ? ?105 ? 105 (人) 6 5

(3)设“同意”的两名学生编号为 1,2,“不同意”的编号为 3,4,5,6 选出两人共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2, 4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5, 6)共 15 种结果, 其中恰有一人“同意”,一人“不同意”的(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,6)共 8 种结果满足题意.每个结果出现的可能性相等,所 以恰好有 1 人“同意”,一人“不同意”的概率为 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D,

8 . 15

∴A1C∥平面 AB1D.

(Ⅱ)由体积法 VC ? AB D ? V B ? ACD ? d ? 1 1

5 5

20.解:(1)易知 a=2,b=1,c= 3 ,所以 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0), 设 P(x,y),则

???? ???? ? x2 1 2 2 2 PF1 ?PF2 ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ? ? 3 ? (3x 2 ? 8) 4 4
因为 x ? ? ?2, 2? ,故当 x=0,时有 最小值-2:当 x ? ?2 时,有最大值 1. (2)显然直线 x=0 不满足题设条件,故设直线 l:y=kx+2

? y ? kx ? 2 ? 由方程组 ? x 2 消去 y 得: ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
3 3 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 或k ? 2 2 ?16k 12 则 x1 ? x2 ? , , x1 ? x2 ? 2 2 4k ? 1 4k ? 1 ??? ? ??? ? 00 ? 角AOB ? 900 ? CosAOB ? 0 ? OA? OB ? 0 ? ? 4k 2 ? 3 ? 0, k ? ?
即:x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即k 2 ? 4 ? ?2 ? k ? 2 ,
所以 k 的 取值范围是: ? ?2, ?

? ? ?

3? ? 3 ? 。 ,2? ??? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

21、(本题满分 12 分) 【解】(1)由题意 f ?( x) ?

1 a ? x ( x ? 1) 2 ,

9 1 9 2 ? ( x ? 2)(2 x ? 1) 当 a ? 时, f ?( x) ? ? x ( x ? 1) 2 2 x( x ? 1) 2 2
? x ? [1, e] ? f ( x) 在 [1, 2) 为减函数, [2, e] 为增函数
4分

3 9 9 , f (1) ? , f (e) ? 1 ? 2 4 2e ? 2 3 9 ? f ( x) 的值域为 [ln 2 ? , ] 2 4
又 f (2) ? ln 2 ?

比较可得 f (1) ? f (e) 6分

(2)由题意得 g ?( x) ?

1 a ? ? 1 ? 0 在 x ? [1, 2] 恒成立 x ( x ? 1) 2
8分

?a ?

( x ? 1) 2 1 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 恒成立 x x
1 ? 3(1 ? x ? 2) x

设 h( x ) ? x 2 ? 3 x ?
?

1 ? 0 恒成立 x2 27 27 ? ? h( x) max ? h(2) ? ?a ? 2 2 27 即实数 a 的取值范围是 [ , ??) 2
当 1 ? x ? 2 时 h?( x) ? 2 x ? 3 ?

12 分

22.(Ⅰ)? PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB ○ 1 又? PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA 2 ? PC ? PB 由○ 1,○ 2得 PA ? PD ? PE ? PC (Ⅱ)连结 AC 、 ED , 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径,∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. 由(Ⅰ)知 (6 分)
A

(2 分) 2 ○ (4 分) (5 分)
E O2

P

C

D

F
O1 B

PA PC ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE (8 分) ? PE PD

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE 23.解:(1)将直线 l 的参数方程经消参可得直线的普通方程为 l : y ? 2 x ? 1 ? 0. 由 ? ? 2 2 sin(? ?
2 2

(10 分) 3分

?
4

) 得 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? ,

? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 即圆 C 直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ?? 6 分
(2) 由 (1) 知 , 圆 C 的 圆 心 C (1,1) , 半 径 r ?

2 , 则圆心 C 到直线 l 的距离

d?

1 ? 2 ?1 ? 1 5

?

2 5 ? 2, 5

故直线 l 与圆 C 相交 ?? ?? ?? 10 分

由题意,不等式 x ? 1 + x ? 2 ? m ? 2 的解集是 R , 则 m ? x ? 1 + x ? 2 ? 2 在 R 上恒成立. 而 x ?1 + x ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 , 故 m ? 1. 10 分


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