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2015届高三理科高考数学之应用题精选


2015 届高三理科高考数学<应用题>精选试卷
姓名:____________ 学号:___________ 成绩:_______
1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m ,如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,记该水池底面一边的长度 x (Ⅰ)写出

m

? x ? 0 ? ,该水池的总造价为 y 元.

(Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元? y 关于 x 的函数表达式 ;

2.某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外 每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年 增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 (万元) ; (2)问为使该企业的年 平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

y

3.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件.(1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响 力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公 1 2 1 司拟投入 (x -600) 万元作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣 6 5 传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.

4.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元购得一块土地,该土 地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整 层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每平方米建筑费用为 800 元.(1)若建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出 y=f(x)的表达式;(2)为 了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少元?

5.(2007 山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不 超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为 该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙 两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)标 准煤的几组对照数据.

(1)请画出上表数据的散点图;
? x+ a ?; ? =b (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测 生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

7. .某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示. (1)请根 据图中所给数据,求出 a 的值; (2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的 成绩都在[60,70)内的概率; (3)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生 中随机选取 3 人的成绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数 学期望.

8..为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况, 从中随机抽取了 16 名男同学和 14 名女 同学,调查发现,男、女同学中分别有 12 人和 6 人喜爱运动,其余不喜爱。 (1)根据以上数据完成以下 2× 2 列联表: 喜爱运动 不喜爱运动 总计 16 男 14 女 30 总计 (2) 根据列联表的独立性检验, 能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为性别与喜爱运动有关? (3) 将以上统计结果中的频率视作概率, 从我市中学生中随机抽取 3 人, 若其中喜爱运动的人数为 ? , 求 ? 的分布列和均值。 参考数据:

P( K 2 ? k0 )

0.40 0.708

0.25 1.323

0.10 2.706

0.010 6.635

k0

2015 届高三理科数学高考<应用题>精选试卷 参考答案
1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m ,如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,记该水池底面一边的长度 x (Ⅰ)写出

m ? x ? 0 ? ,该水池的总造价为 y 元.

(Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元? y 关于 x 的函数表达式 ; 4800 解: (Ⅰ)因水池底面一边的长度为 x m ,则另一边的长度为 m ,--1 分 3x 4800 4800 根据题意,得 y =150× +120(2×3 x +2×3× ) ---------5 分 3 3x =240000+720( x +

1600 ) x
-----------6 分
1600 +240000 x

? 所求的函数表达式为: y ? 720( x +
(Ⅱ)由(Ⅰ)得

1600 )+240000 x

y ? 720( x +

1600 )+240000≥720×2 x

x?

----9 分

=720×2×40+240000=297600.

----------10 分

当且仅当 x = 1600 ,即 x =40 时, y 有最小值 297600. 此时另一边的长度为 =40 m (---11 分) 3x x 因此,当水池的底面是边长为 40 m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元. --12 分 2.某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外 每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年 增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 (万元) ; (2)问为使该企业的年 平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

4800

y

解: (1)

y?

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) y x 即
y ? x?

? x?

100 ? 1. 5 x ( x ? 0) ;

(2)由均值不等式得: 当且仅当
x? 100 x ,即

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 x x (万元)

x ? 10 时取到等号.

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.
3.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件.(1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响 力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公 1 2 1 司拟投入 (x -600) 万元作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣 6 5 传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.

t-25 解:(1)设每件定价为 t 元,依题意,有?8- ×0.2?t≥25×8, 1 ? ? 整理得 t2-65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 1 (2)依题意,x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解. x 6 5 150 1 150 1 ∵ + x≥2 ·x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立),∴a≥10.2. x 6 x 6

因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.
4.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元购得一块土地,该土 地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整 层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每平方米建筑费用为 800 元.(1)若建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出 y=f(x)的表达式;(2)为 了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少元?

解:(1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元, 建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72+(x-1)×2=2x+70(万元), 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y=f(x)=72x+ 综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x), 则 g(x)=
=10x+ 1 000 +710≥2 x f?x?×10 000 10f?x? 10?x2+71x+100? = = 1 000x x x x?x-1? ×2+100=x2+71x+100, 2

1 000 1 000 10x· +710=910.当且仅当 10x= ,即 x=10 时等号成立. x x

综上可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.
5.(2007 山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不 超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为 该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙 两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和
? x ? y ≤ 300, ? ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? 元,由题意得 ? x ≥ 0,y ≥ 0. 目标函数为 z

y 分钟,

y 500 400 300

总收益为 z

? 3000 x ? 2000 y .

? x ? y ≤ 300, ? ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? 二元一次不等式组等价于 ? x ≥ 0,y ≥ 0.

l

200 100

M

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.
? x ? y ? 300, ? 联立 ?5x ? 2 y ? 900. 解得 x

0

100

200300

x

? 100,y ? 200 .? 点 M 的坐标为 (100, 200) .

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)

答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元.
6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)标 准煤的几组对照数据.

(1)请画出上表数据的散点图;
? x+ a ?; ? =b (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测 生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)



(1)散点图如下图:

(2) x =

3? 4?5?6 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =4.5, y = =3.5 4 4

?x y
i ?1

4

i i

=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.

?x
i ?1

4

2 i

=3 +4 +5 +6 =86

2

2

2

2

?= ∴b

?x y
i ?1

4

i i

? 4x ? y ? 4x 2

=

66.5 ? 4 ? 3.5 ? 4.5 86 ? 4 ? 4.5 2

=0.7

? x =3.5-0.7×4.5=0.35. ? = y -b a

?x
i ?1

4

2 i

? =0.7x+0.35. ∴所求的线性回归方程为 y

(3)现在生产 100 吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35,∴降低 90-70.35=19.65(吨)标准煤. 7. .某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示. (1)请根 据图中所给数据,求出 a 的值; (2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的 成绩都在[60,70)内的概率; (3)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生 中随机选取 3 人的成绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数 学期望.

解: (1)根据频率分布直方图中的数据,可得

a?

1 ? (0.005 ? 0.0075 ? 0.0225 ? 0.035) ?10 ? 0.1 ? 0.07 ? 0.03 ,所以 10
………4 分

a ? 0.03 .

……2 分

(2)学生成绩在 [50,60) 内的共有 40× 0.05=2 人,在 [60,70) 内的共有 40× 0.225=9 人, 成绩在 [50,70) 内的学生共有 11 人.

设“从成绩在 [50,70) 的学生中随机选 3 名,且他们的成绩都在 [60,70) 内”为事件 A,
3 则 P( A) ? C9 ? 28 .所以选取的 3 名学生成绩都在 [60,70) 内的概率为 28 . 3

…6 分

C11

55

55

(3)依题意,

X 的可能取值是 1,2,3.

……7 分

P( X ? 1) ?

2 1 C2 C9 3 ; ? 3 C11 55

P( X ? 2) ?

1 2 C2 C9 24 ; ? 3 C11 55

P( X ? 3) ? P ( A) ?

28 . 55

……10 分

所以 X 的分布列为

X
P
EX ? 1? 3 24 28 27 . ? 2 ? ? 3? ? 55 55 55 11

1 3 55 ………12 分

2 24 55

3 28 55

8..为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况, 从中随机抽取了 16 名男同学和 14 名女 同学,调查发现,男、女同学中分别有 12 人和 6 人喜爱运动,其余不喜爱。 (1)根据以上数据完成以下 2× 2 列联表: 喜爱运动 不喜爱运动 总计 16 男 14 女 30 总计 (2) 根据列联表的独立性检验, 能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为性别与喜爱运动有关? (3) 将以上统计结果中的频率视作概率, 从我市中学生中随机抽取 3 人, 若其中喜爱运动的人数为 ? , 求 ? 的分布列和均值。 解: (1) 男 女 总计 喜爱运动 12 6 18 不喜爱运动 4 8 12 总计 16 14 30

(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得: 30 ? (12 ? 8 ? 6 ? 4)2 K2 ? ? 3.2143 ? 6.635 …………………..5 分 (12 ? 4)(6 ? 8)(12 ? 6)(4 ? 8) 因此,在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关….6 分 (3)统计结果中喜爱运动的中学生所占的频率为 3 .

喜爱运动的人数为 ? 的取值分别为:0,1,2, 3, 则有:

5

………………………..7 分

8 0 ? 3? ? 2? P(? ? 0) ? C3 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
54 2 2 ? 3? P(? ? 2) ? C3 ?? ? ? 5 ? 5 ? 125
?
2

0

3

3 ?2? 36 P(? ? 1) ? C1 ?? ? ? 3 5 ? 5 ? 125
27 ? 3? P(? ? 3) ? C3 3? ? ? ? 5 ? 125
3

2

……….10 分

喜爱运动的人数为 ? 的分布列为: 0

1

2

3

P

8 125

36 125

54 125

27 125

因为 ? ~ B (3, 3 ) , 所以喜爱运动的人数 ? 的值为 E? ? 3 ? 3 ? 9 ….12 分 5 5 5


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