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导数与函数的单调性第二课时


第二课时

一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在 该区间有下面的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数; 如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.

根据导数确定函数的单调性的步骤:

1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f’(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f’(x)<0,得函数单减区间.

例1:求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2, 则f(x)的单增区间为(-∞,0)和 (2,+∞). 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.

例2 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解:函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时,解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时,解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是(0,1/e).

应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息:

分析:
? f ( x )在此区间递减

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0;

当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; ? f ( x )在此区间递增 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0. ? f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解: f ( x )的大致形状如右图:

变化,切线平行x轴
y ? f ( x)

y A B

这里,称A,B两点为“临界点”
o

2

3 x

知识应用 1.应用导数求函数的单调区间 基础训练:
(1).函数y=x-3在[-3,5]上为 增 ______函数(填“增”或“减”)。

(2).函数 y = x2-3x

在[2,+∞) 函数

上为______函数,在(-∞,1]上为___ 减 增
既不是增函数 函数,在[1,2]上为又不是减函数

(填“增”或“减”或“既不是增函
数,也不是减函数”)。

y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, ? f '( x )的图象如 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

课 堂 小结
1、利用导数法确定函数的单调性及单调区间 2、利用导数法确定函数的大致图像


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