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2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件:第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念


成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
数系的扩充与复数的引入

第三章

数系的扩充与复数的引入

成才之路

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我们知道,在实数范围内,解方程 x2 + 1 = 0 是无能为力的,只有把实数集扩充到复数 集上才能解决,可是,历史上引进虚数,把实 数集扩充到复数集可不是件容易的事.

第三章

数系的扩充与复数的引入

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16 世纪意大利米兰学者卡当(1501~1576)在 1545 年发表的 《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法(“卡当公 式”),他把 10 分成两部分,使它们的乘积等于 40,即(5+ -15)(5- -15)=40,尽管他认为(5+ -15)和(5- -15) 这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的.法国数学 家笛卡儿(1596~1650)在《几何学》中使用“虚的数”与“实 的数”相对应,从此,虚数才流传开来.但这引起了数学界的 一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.

第三章

数系的扩充与复数的引入

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然而,真理性的东西一定可以经得住时间的考验,并最终占有 一席之地.许多数学家经过长期不懈的努力,深刻探讨并发展 了复数理论,才使得在数学领域游荡了 200 年的“幽灵”—— 虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不 虚.虚数成为了数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了 复数集. 同学们,你想了解复数的初步知识吗?那就让我们步入本 章的学习吧!

第三章

数系的扩充与复数的引入

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随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要

性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在
系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力 学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用,并在解决堤 坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了 重要的理论依据.

第三章

数系的扩充与复数的引入

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第三章 3.1
3.1.1

数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念

第三章

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3.1.1

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

3.1

3.1.1

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自主预习学案

第三章

3.1

3.1.1

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1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数
学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用. 2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示. 3.理解复数相等的充要条件.

第三章

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3.1.1

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重点:1.复数的概念与复数的代数形式.

2.复数的分类.
难点:复数的概念及分类,复数相等.

第三章

3.1

3.1.1

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数系的扩充与复数的概念
思维导航 我们认识数的过程是先认识了自然数,又扩充到整数集,

再扩充到有理数(分数、有限小数和无限循环小数),再扩充无
理数到实数集,但在实数集中,我们已知一元二次方程ax2+bx +c=0(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时无实数解,我们能否设想一种 方法使得Δ<0时方程也有解呢?

第三章

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3.1.1

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新知导学
1.复数的定义:形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中 -1 i叫做虚数单位,满足i2=__________.

复数集 . 全体复数构成的集合叫做__________
2 .复数的代数表示:复数通常用字母 z 表示,即 z = a + bi(a、b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫 实部 与__________ 虚部 做复数z的__________ .

第三章

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3.1.1

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牛刀小试
1.复数1-i的虚部是( A.-1 C.i [答案] A [解析] 虚部是i的系数,为实数,故选A. ) B.1 D.-i

第三章

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2.若复数 z =a2 -3+2ai 的实部与虚部互为相反数,则实
数a的值为__________. [答案] 1或-3 [解析] 由题意可得a2-3=-2a,即a2+2a-3=0,解得 a=1或a=-3.

第三章

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复数的相等与复数的分类 新知导学
3.复数相等的充要条件 设 a 、 b 、 c 、 d 都 是 实 数 , 那 么 a + bi = c + di? a=c且b=d _____________. 4 . 复 数 z = a + bi(a 、 b∈R) , z = 0 的 充 要 条 件 是 a=0且b=0 ,a=0是z为纯虚数的________________ 必要不充分条件 . ______________

第三章

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5.复数的分类 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R),z 为实数?b=0,z 为虚数? b≠0,z
? ?a=0 为纯虚数?? ? ?b≠0

.

(2)集合表示:

第三章

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3.1.1

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牛刀小试
3.若复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则a=( A.-1 C.±1 [答案] C [解析] (a+1)+(a2-1)i(a∈R)为实数的充要条件是 a2-1 =0,∴a=±1. B.1 D.不存在 )

第三章

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3.1.1

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4.若a-2i=bi+1,a、b∈R,则a2+b2=________
[答案] 5
[解析] ∵a-2i=bi+1,
? ?a=1 ∴? ? ?b=-2

,故 a2+b2=5.

第三章

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3.1.1

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5 .若复数 z = (m + 1) + (m2 - 9)i<0 ,则实数 m 的 值 等于
__________. [答案] -3
2 ? ?m -9=0 ∵z<0,∴? ? ?m+1<0

[解析]

,∴m=-3.

第三章

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3.1.1

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6 .实数 k 为何值时,复数 z = (k2 - 3k - 4) + (k2 - 5k - 6)i 是
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
[解析] (1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,z 是实 数. (2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,z 是虚数.
2 ? ?k -3k-4=0 (3)当? 2 ? ?k -5k-6≠0 2 ? ?k -3k-4=0 (4)当? 2 ? ?k -5k-6=0

,即 k=4 时,z 是纯虚数. ,即 k=-1 时,z 是零.

第三章

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3.1.1

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典例探究学案

第三章

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3.1.1

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数集之间的关系
设 C , R , I 分别表示复数集、实数集、纯虚数 集,取C为全集,则有( A.R∪I=C C.C∩I=R ) B.R∩I={0} D.R∩I=?

第三章

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3.1.1

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[解析] 选项 判断 原因分析 复数集C包含实数、纯虚数、不是纯虚数的

A
B C D

×
× × √

虚数,而R∪I内不含不是纯虚数的虚数
R∩I=?,而?≠{0} C∩I=I,很明显I≠R 由Venn图及复数的有关概念易得R∩I=?

[答案] D

第三章

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[ 方法规律总结 ] N? Z? Q? R? C.

数集的包含关系反映了数集的扩充顺

序 , 即 数 集 的 扩 充 顺 序 为 N→Z→Q→R→C , 且 关 系 为

第三章

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3.1.1

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(1)计算1+i+i2的值为( A.1 C.1+i (?IM)∩(?IN)=( A.{复数} C.{有理数} )

) B.i D.1-i

(2) 全集 I = { 复数 } ,集合 M = { 有理数 } , N = { 虚数 } ,则 B.{实数} D.{无理数}

[答案] (1)B (2)D

第三章

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[解析] (1)∵1+i+i2=1+i-1=i,∴应选B. (2)∵?IM={无理数、虚数},?IN={实数},∴(?IM)∩(?IN) ={无理数}.

第三章

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3.1.1

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复数的概念 下列命题中,正确命题的个数是________. ①若x、y∈C则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1; ②若a、b∈R且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0; ④若a∈R,则(a+1)i为纯虚数. [分析] (1)是两复数相等,用复数相等的充要条件判断; ②是复数比较大小,必须全是实数才可比较;③是在实数条件

下x2≥0求得结果,当x为复数时,x2≥0未必成立;(4)要按复数是
纯虚数的充要条件判断.
第三章 3.1 3.1.1

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[ 解析 ]

①由于 x ,y∈C ,所以 x + yi 不一定是复数的代数

形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题. ②由于两个虚数不能比较大小, ∴②是假命题. ③当x=1,y=i时 x2+y2=0成立,∴③是假命题. ④ 当a=-1时,a∈R,但(a+1)i=0不是纯虚数. [答案] 0

第三章

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3.1.1

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[方法规律总结 ]
义,牢记i的性质.

解答复数概念题,一定要紧扣复数的定

(1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a、b∈R时,a才是z的实部,b才是z的 虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和 虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概 念.

第三章

3.1

3.1.1

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(3)虚数单位i的性质
①i2=-1. ②i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律. ③由于 i2<0 与实数集中 a2≥0(a∈R) 矛盾,所以实数集中很 多结论在复数集中不再成立. 例如:复数集中不全是实数的两数不能比较大小.

第三章

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3.1.1

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下列结论错误的是(

)

A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集是实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数集与实数集的交集为空集 [答案] C [解析] 实数集与虚数集的交集为?.

第三章

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3.1.1

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复数的分类
m2-m-6 m 取何实数时,复数 z= +(m2-2m- m+3 15)i (1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?
2 ? ?m -2m-15=0 为实数,∴? ? ?m+3≠0

[解析] (1)∵z



? ?m=5或m=-3 ∴? ? ?m≠-3

,∴m=5.

∴当 m=5 时,z 是实数.
第三章 3.1 3.1.1

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(2)∵z

2 ? m ? -2m-15≠0 为虚数,∴? ? ?m+3≠0



? ?m≠5且m≠-3 ∴? ? ?m≠-3

,∴m≠5 且 m≠-3.

∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数.

第三章

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?m2-m-6=0 ? (3)∴z 为纯虚数,∴?m+3≠0 ?m2-2m-15≠0 ? ?m=3或m=-2 ? ∴?m≠-3 ?m≠5且m≠-3 ?



,∴m=3 或 m=-2.

∴当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.

第三章

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[方法规律总结 ]

1. 判断一个含有参数的复数在什么情况

下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使虚数表达式有 意义, 其次要注意复数代数形式的条件, 另外对参数值的取舍, 是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要 的. 2.形如 bi 的数不一定是纯虚数,只有限定条件 b∈R 且 b≠0 时,形如 bi 的数才是纯虚数.

第三章

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若(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i是纯虚数,则实数m的值为

(

)
A.-1 C.-1或4 [答案] B B.4 D.不存在

[解析]

2 ? ?m -3m-4=0, 由条件知,? 2 ? ?m -5m-6≠0,

? ?m=-1或4, ∴? ? ?m≠-1或m≠6,

∴m=4.

第三章

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复数相等 已知集合 M = {1,2 , (m2 - 3m - 1) + (m2 - 5m - 6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},求实数m的值.

[分析]

由集合的运算列出等式关系,再根据复数相等的

定义求m的值即可.

第三章

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3.1.1

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[解析] 由题设知 3∈M, ∴(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.根据复数相等的定义,
2 ? m ? -3m-1=3, ∴? 2 ? ?m -5m-6=0.

? ?m=4或m=-1, ∴? ? ?m=6或m=-1.

∴m=-1.

[方法规律总结 ]

复数相等的充要条件是“化复为实”的

主要依据,多用来求解参数的值.步骤是:分别分离出两个复

数的实部和虚部,利用实部与虚部分别相等列方程组求解.
第三章 3.1 3.1.1

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已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,

求实数x、y的值.
[解析] 因为 x、y 为实数, 所以 2x-1、y+1、x-y、-x-y 均为实数.
? ?2x-1=x-y 由复数相等的充要条件,知? ? ?y+1=-x-y ? ?x=3 所以? ? ?y=-2



.

第三章

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准确掌握概念

在下列命题中,正确命题的个数是(
①两个复数不能比较大小;

)

②若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2;

③若 a 、 b 是两个相等的实数,则 (a - b) + (a + b)i 是纯虚
数. A.0 C.2 B.1 D.3

第三章

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[错解] 两个复数不能比较大小,故①正确;
设z1=mi(m∈R),z2=ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等,∴m=n,∴z1=z2,故②正确. 若a、b是两个相等的实数,则a-b=0, 所以(a-b)+(a+b)i是纯虚数,故③正确. 综上可知:①②③都正确,故选D.

第三章

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[ 辨析 ]

两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小

的,错解①中忽视了这一特殊情况导致错误;而错解②将虚数 与纯虚数概念混淆,事实上纯虚数集是虚数集的真子集,在代 数形式上,纯虚数为 bi(b∈R 且 b≠0) 虚数为 a + bi(a , b∈R ,且 b≠0).③中要保证a+b≠0才可能是纯虚数.

第三章

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[ 正解 ]

两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小

的,故①是不正确的; 设z1=a+bi(a、b∈R,b≠0),z2=c+di(c、d∈R且d≠0), ∵b=d,∴z2=c+bi. 当a=c时,z1=z2,当a≠c时,z1≠z2,故②是错误的,③当 a=b≠0时,a-b+(a+b)i是纯虚数,当a=b=0时,a-b+(a+ b)i=0是实数,故③错误,因此选A.

第三章

3.1

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课时作业
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第三章

3.1

3.1.1


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