2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
数系的扩充与复数的引入

第三章

数系的扩充与复数的引入

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我们知道，在实数范围内，解方程 x2 ＋ 1 ＝ 0 是无能为力的，只有把实数集扩充到复数 集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实 数集扩充到复数集可不是件容易的事．

第三章

数系的扩充与复数的引入

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16 世纪意大利米兰学者卡当(1501～1576)在 1545 年发表的 《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法(“卡当公 式”)，他把 10 分成两部分，使它们的乘积等于 40，即(5＋ －15)(5－ －15)＝40，尽管他认为(5＋ －15)和(5－ －15) 这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的．法国数学 家笛卡儿(1596～1650)在《几何学》中使用“虚的数”与“实 的数”相对应，从此，虚数才流传开来．但这引起了数学界的 一片困惑，很多大数学家都不承认虚数．

第三章

数系的扩充与复数的引入

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然而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验，并最终占有 一席之地．许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展 了复数理论，才使得在数学领域游荡了 200 年的“幽灵”—— 虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不 虚．虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了 复数集． 同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本 章的学习吧！

第三章

数系的扩充与复数的引入

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随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要

性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在
系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力 学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤 坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了 重要的理论依据．

第三章

数系的扩充与复数的引入

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第三章 3.1
3.1.1

数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念

第三章

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

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3.1.1

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自主预习学案

第三章

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1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数
学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示． 3．理解复数相等的充要条件．

第三章

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重点：1.复数的概念与复数的代数形式．

2．复数的分类．
难点：复数的概念及分类，复数相等．

第三章

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数系的扩充与复数的概念
思维导航 我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，

再扩充到有理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无
理数到实数集，但在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)，当Δ＝b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种 方法使得Δ<0时方程也有解呢？

第三章

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新知导学
1．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 －1 i叫做虚数单位，满足i2＝__________.

复数集 ． 全体复数构成的集合叫做__________
2 ．复数的代数表示：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋ bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫 实部 与__________ 虚部 做复数z的__________ ．

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牛刀小试
1．复数1－i的虚部是( A．－1 C．i [答案] A [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A． ) B．1 D．－i

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2．若复数 z ＝a2 －3＋2ai 的实部与虚部互为相反数，则实
数a的值为__________. [答案] 1或－3 [解析] 由题意可得a2－3＝－2a，即a2＋2a－3＝0，解得 a＝1或a＝－3.

第三章

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复数的相等与复数的分类 新知导学
3．复数相等的充要条件 设 a 、 b 、 c 、 d 都 是 实 数 ， 那 么 a ＋ bi ＝ c ＋ di? a＝c且b＝d _____________. 4 ． 复 数 z ＝ a ＋ bi(a 、 b∈R) ， z ＝ 0 的 充 要 条 件 是 a＝0且b＝0 ，a＝0是z为纯虚数的________________ 必要不充分条件 ． ______________

第三章

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5．复数的分类 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，z 为实数?b＝0，z 为虚数? b≠0，z
? ?a＝0 为纯虚数?? ? ?b≠0

.

(2)集合表示：

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牛刀小试
3．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( A．－1 C．±1 [答案] C [解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是 a2－1 ＝0，∴a＝±1. B．1 D．不存在 )

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4．若a－2i＝bi＋1，a、b∈R，则a2＋b2＝________
[答案] 5
[解析] ∵a－2i＝bi＋1，
? ?a＝1 ∴? ? ?b＝－2

，故 a2＋b2＝5.

第三章

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5 ．若复数 z ＝ (m ＋ 1) ＋ (m2 － 9)i<0 ，则实数 m 的 值 等于
__________. [答案] －3
2 ? ?m －9＝0 ∵z<0，∴? ? ?m＋1<0

[解析]

，∴m＝－3.

第三章

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6 ．实数 k 为何值时，复数 z ＝ (k2 － 3k － 4) ＋ (k2 － 5k － 6)i 是
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
[解析] (1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，z 是实 数． (2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
2 ? ?k －3k－4＝0 (3)当? 2 ? ?k －5k－6≠0 2 ? ?k －3k－4＝0 (4)当? 2 ? ?k －5k－6＝0

，即 k＝4 时，z 是纯虚数． ，即 k＝－1 时，z 是零．

第三章

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典例探究学案

第三章

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数集之间的关系
设 C ， R ， I 分别表示复数集、实数集、纯虚数 集，取C为全集，则有( A．R∪I＝C C．C∩I＝R ) B．R∩I＝{0} D．R∩I＝?

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3.1.1

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[解析] 选项 判断 原因分析 复数集C包含实数、纯虚数、不是纯虚数的

A
B C D

×
× × √

虚数，而R∪I内不含不是纯虚数的虚数
R∩I＝?，而?≠{0} C∩I＝I，很明显I≠R 由Venn图及复数的有关概念易得R∩I＝?

[答案] D

第三章

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[ 方法规律总结 ] N? Z? Q? R? C．

数集的包含关系反映了数集的扩充顺

序 ， 即 数 集 的 扩 充 顺 序 为 N→Z→Q→R→C ， 且 关 系 为

第三章

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(1)计算1＋i＋i2的值为( A．1 C．1＋i (?IM)∩(?IN)＝( A．{复数} C．{有理数} )

) B．i D．1－i

(2) 全集 I ＝ { 复数 } ，集合 M ＝ { 有理数 } ， N ＝ { 虚数 } ，则 B．{实数} D．{无理数}

[答案] (1)B (2)D

第三章

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[解析] (1)∵1＋i＋i2＝1＋i－1＝i，∴应选B． (2)∵?IM＝{无理数、虚数}，?IN＝{实数}，∴(?IM)∩(?IN) ＝{无理数}．

第三章

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3.1.1

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复数的概念 下列命题中，正确命题的个数是________. ①若x、y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a、b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数． [分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断； ②是复数比较大小，必须全是实数才可比较；③是在实数条件

下x2≥0求得结果，当x为复数时，x2≥0未必成立；(4)要按复数是
纯虚数的充要条件判断．
第三章 3.1 3.1.1

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[ 解析 ]

①由于 x ，y∈C ，所以 x ＋ yi 不一定是复数的代数

形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题． ②由于两个虚数不能比较大小， ∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时 x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． ④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数． [答案] 0

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[方法规律总结 ]
义，牢记i的性质．

解答复数概念题，一定要紧扣复数的定

(1)复数的代数形式： 若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的 虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和 虚数是复数的两大构成部分．学习本章必须准确理解复数的概 念．

第三章

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(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1. ②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． ③由于 i2<0 与实数集中 a2≥0(a∈R) 矛盾，所以实数集中很 多结论在复数集中不再成立． 例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小．

第三章

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下列结论错误的是(

)

A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集是实数集 C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集 [答案] C [解析] 实数集与虚数集的交集为?.

第三章

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复数的分类
m2－m－6 m 取何实数时，复数 z＝ ＋(m2－2m－ m＋3 15)i (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
2 ? ?m －2m－15＝0 为实数，∴? ? ?m＋3≠0

[解析] (1)∵z

，

? ?m＝5或m＝－3 ∴? ? ?m≠－3

，∴m＝5.

∴当 m＝5 时，z 是实数．
第三章 3.1 3.1.1

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(2)∵z

2 ? m ? －2m－15≠0 为虚数，∴? ? ?m＋3≠0

，

? ?m≠5且m≠－3 ∴? ? ?m≠－3

，∴m≠5 且 m≠－3.

∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．

第三章

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?m2－m－6＝0 ? (3)∴z 为纯虚数，∴?m＋3≠0 ?m2－2m－15≠0 ? ?m＝3或m＝－2 ? ∴?m≠－3 ?m≠5且m≠－3 ?

，

，∴m＝3 或 m＝－2.

∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．

第三章

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[方法规律总结 ]

1. 判断一个含有参数的复数在什么情况

下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有 意义， 其次要注意复数代数形式的条件， 另外对参数值的取舍， 是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要 的． 2．形如 bi 的数不一定是纯虚数，只有限定条件 b∈R 且 b≠0 时，形如 bi 的数才是纯虚数．

第三章

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若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为

(

)
A．－1 C．－1或4 [答案] B B．4 D．不存在

[解析]

2 ? ?m －3m－4＝0， 由条件知，? 2 ? ?m －5m－6≠0，

? ?m＝－1或4， ∴? ? ?m≠－1或m≠6，

∴m＝4.

第三章

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复数相等 已知集合 M ＝ {1,2 ， (m2 － 3m － 1) ＋ (m2 － 5m － 6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．

[分析]

由集合的运算列出等式关系，再根据复数相等的

定义求m的值即可．

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[解析] 由题设知 3∈M， ∴(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3.根据复数相等的定义，
2 ? m ? －3m－1＝3， ∴? 2 ? ?m －5m－6＝0.

? ?m＝4或m＝－1， ∴? ? ?m＝6或m＝－1.

∴m＝－1.

[方法规律总结 ]

复数相等的充要条件是“化复为实”的

主要依据，多用来求解参数的值．步骤是：分别分离出两个复

数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解．
第三章 3.1 3.1.1

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已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，

求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数．
? ?2x－1＝x－y 由复数相等的充要条件，知? ? ?y＋1＝－x－y ? ?x＝3 所以? ? ?y＝－2

，

.

第三章

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准确掌握概念

在下列命题中，正确命题的个数是(
①两个复数不能比较大小；

)

②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；

③若 a 、 b 是两个相等的实数，则 (a － b) ＋ (a ＋ b)i 是纯虚
数． A．0 C．2 B．1 D．3

第三章

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[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确． 若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0， 所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确． 综上可知：①②③都正确，故选D．

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[ 辨析 ]

两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小

的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数 与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代 数形式上，纯虚数为 bi(b∈R 且 b≠0) 虚数为 a ＋ bi(a ， b∈R ，且 b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．

第三章

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[ 正解 ]

两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小

的，故①是不正确的； 设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)， ∵b＝d，∴z2＝c＋bi. 当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当 a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋ b)i＝0是实数，故③错误，因此选A．

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课时作业
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