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2.2.1向量的加法及其几何意义


绍兴市柯桥区高中数学学科导学案

《必修 4》第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 【学习目标】 1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟 练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义 .掌握有

特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。 3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数 学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。 【课前预习】 1. 复习:向量的定义以及有关概念。 2.预习教材 P80—P84 【课堂导学】 一、概念构建 思考 1、上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单 位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.那么,向量是否和我们熟 悉的数一样也可以进行加减运算呢? 思考 2、 2004 年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这 两次位移之和是什么?怎样列出数学式子? 思考 3、猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同? 活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成, 如图 1.某对象从 A 点经 B 点到 C 点,两次位移 AB 、 BC 的结果,与 A 点直接到 C 点的位移 AC 结果相同。力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问:

图1 图2 图 2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC 的方向伸长了 EO;图 2(2)表示撤去 F1 和 F2,用一个力 F 作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度. 改变力 F1 与 F2 的大小和方向,重复以上的实验,你能发现 F 与 F1、F2 之间的关系吗? 力 F 对橡皮条产生的效果与力 F1 与 F2 共同作用产生的效果相同,物理学中把力 F 叫做 F1 与 F2 的合力. 合力 F 与力 F1、 F2 有怎样的关系呢?由图 2(3)发现,力 F 在以 F1、 F2 为邻边的平行 四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长。
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数的加法启发我们,从运算的角度看,F 可以认为是 F1 与 F2 的和,即位移、力的合成看作向量 的加法。 讨论结果:①向量加法的定义:如图 3, 已知非零向量 a 、 b ,在平面内任取一点 A, 作

AB = a , BC = b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 a ? b = AB + BC = AC .

求两个向量和的运算,叫做向量的加法。 ②向量加法的法则: 1°向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时要特别 注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点 ,则由第一个向量的起点指 向第二个向量的终点的向量即为和向量. 2°向量加法的平行四边形法则

图4 如图 4,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法 则. 思考 4、对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢? 思考 5、两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加 法与数的加法有什么关系? 思考 6、思考 a ? b , a , b 存在着怎样的关系? 思考 7、数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否 也有运算律呢? 活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况 下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意

a, b ? R ,有 a ? b ? b ? a , (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 。任意向量 a , b 的加法是否也满足交
换律和结合律?引导学生画图进行探索。 讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定 a ? 0 ? 0 ? a ? a 。 ②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点; 在数轴上的两个向量相加,它们的和 仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段。
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③当 a, b 不共线时, a ? b ? a ? b (即三角形两边之和大于第三边); 当 a, b 共线且方向相同时, a ? b ? a ? b ; 当 a, b 共线且方向相反时, a ? b ? a ? b (或 b ? a )。其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时, a ? b ? a ? b ;当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时, a ? b ? b ? a 。 一般地,我们有 a ? b ? a ? b 。 ④如图 5,作 AB = a , AD = b ,以 AB 、 AD 为邻边作

ABCD ,则 BC = b , DC = a 。

因为 AC = AB + AD = a ? b , AC = AD + DC = b ? a ,所以 a ? b ? b ? a 。 如图 6,因为 AD = AC + CD =( AB + BC )+ CD = (a ? b) ? c ,

AD == AB + BD = AB +( BC + CD )= a ? (b ? c) ,所以 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 。
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.

图5 二、巩固与反馈 例 1:如图 7,已知向量 a 、 b ,求作向量 a ? b

图6

图7

图8

变式训练 化简:(1) BC + AB ;(2) DB + CD + BC ;(3) AB + DF + CD + BC + FA .

例 2:如图 8, O 为正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量: (1) OA + OC ;(2) BC + FE ;(3) OA + FE .

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例 3: 在长江的某渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度是 25 km/h,渡船要垂 直地渡过长江,其航向应如何确定?

三、随堂训练 1.必修 4 P84 练习 1-4

2. 课堂小结 (1) 先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四 边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用. (2) 教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨 论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法 .这种迁移类比的方法将把我们引向 数学的王国,科学的殿堂. 【课后巩固】 1.化简: MB ? BA ? AC ? ____________ 2.若 C 是线段 AB 的中点,则 AC ? BC =( A. AB B. BA C. 0 D. 0 )

OA ? OC ? BO ? CO ? _______________


3.已知 ?ABC 中, D 是 BC 的中点,则 3 AB ? 2BC ? CA =( A. AD B. 3 AB C. 0 D. 2 AD

4.已知正方形 ABCD 的边长为 1 , AB ? a , AC ? c , BC ? b ,则 a ? b ? c 为( A. 0 B. 3 C. 2 D. 2 2 )



5.在矩形 ABCD , AB ? 4 , BC ? 2 ,则向量 AB ? AD ? AC 的长度等于( A. 2 5 B. 4 5 C. 12 D. 6

6.已知 AB ? 8 , AC ? 5 ,则 BC 的取值范围? 7.如图,在重 300 N 的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分 别为 30° 、60° ,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力.

答案: 1. MC , BA 2.C 3.D 4.D 5.B 6.[3,13] 7. 150 3N ,150N

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