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高中数学三角函数复习题3


9. 【2013 年山东省日照市高三模拟考试】已知函数 y ? sin ax ? b ? a ? 0? 的图象如右图所
示,则函数 y ? loga ? x ? b ? 的图象可能是( )

已知函数 f(x)=Asinω x+Bcosω x(A、B、ω 是实常数,ω >0)的最小正周期为 2,并当

1 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x).
21 23 , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程; 4 4 如果不存在,请说明理由.
(2)在闭区间[ 解: (1)f(x)= 3 sinπ x+cosπ x=2sin(π x+ (2)令π x+

π ). 6

π π =kπ + ,k∈Z. 6 2

23 1 21 1 ∴x=k+ , ≤k+ ≤ . 4 4 3 3


59 65 ≤k≤ .∴k=5. 12 12 21 23 16 , ]上只有 f(x)的一条对称轴 x= . 4 4 3

故在[

14. (2012 年高考 (陕西文) ) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

? , 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

∵0 ? ? ?

?
2

,∴?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

,∴? ?

?
6

?

?
6

,故 ? ?

?
3



22.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】 设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值; (II)设函数 f ( x) ? a ? b,求f ( x)的最大值
2 2 2 2 [答案](I)由 | a |?| b | 可得 | a |2 ?| b |2 ,代入得 3sin x ? sin x ? cos x ? sin x

24. 2012 年高考(山东理) )已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x,

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 3

f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.
(Ⅰ)求 A ;

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 5? ] 上的值域. 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 2 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象 向左平移

30【2013 年普通高等学校统一考试天津卷理科】

?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

? ?? 故函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2 2 ,最小值为 ?2 ? 2?

21. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】
已知函数 f(x)=cos(2x-

? )+sin2x-cos2x. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (Ⅱ)设函数 g(x)=[f(x)]2+f(x) ,求 g(x)的值域.

23. 【湖北省黄冈中学、孝感高中 2013 届高三三月联合考试】 (本小题满分 12 分)
已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的一段图象如图所示. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? cos 3 x, h( x) ? f ( x) g ( x) ,求函数 h( x) 的单调递增区间.
y 2

O

?
12

? 4

x

π π 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 x∈R,A>0,ω>0,-2<φ<2)的部分图象如 图所示.

(1)求 A,ω,φ 的值; (2)已知在函数 f(x)的图象上的三点 M,N,P 的横坐标分别为-1,1,3,求 sin∠ MNP 的值.

1. 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期;

?
2

) ? 3 cos 2 (3? ? x) ?

1 3 2

( x ? R) .

(2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标. 解: f ( x) ?

1 cos 2 x ? 1 1 sin 2 x ? 3 ? 3 2 2 2

? ? ? = ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? = sin(2 x ? ) ?2 ? 2 3 ? ?
(1)T=π ; (2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ? (3)由 2 x ? 由 2x ?

?
12

, k? ?

5 ? ] ( k ? z) . 12
5? k? ? (k ? z ) , 12 2

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴方程为 x ?

?
3

? k? 得对称中心坐标为 (

?
6

?

k? ,0)( k ? z ) 2

2 已知向量 a ? (?1,cos ? x ? 3sin ? x), b ? ( f ( x),cos ? x) ,其中 ? >0,且 a ? b ,又

3 f ( x) 的图像两相邻对称轴间距为 ? . 2
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在[- 2? , 2? ]上的单调减区间. 解: (Ⅰ) 由题意 a ? b ? 0

? f ( x) ? cos ? x(cos ? x ? 3sin ? x)
?
?

1 ? cos 2? x 3 sin 2? x ? 2 2
1 ? ? sin(2? x ? ) 2 6 1 ; 3

由题意,函数周期为 3 ? ,又 ? >0,? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1 2x ? ? sin( ? ) 2 3 6 ? 2x ? 3? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ,k ? z 2 3 6 2

? 3k? ?

?

2

? x ? 3k? ? 2? , k ? z

又 x ?? ?2? , 2? ? ,? f ( x ) 的减区间是 ? ?2? , ?? ?

?? ? , 2? ? . ? ?2 ?

3、在 ?ABC 中, a、 B C 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a2 ? bc . b、 c 分别为角 A、、 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.
2 2 2 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

而 0 ? A ? ? ,则 A ?

?
3



(Ⅱ)由 a ?

3, A ?

?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? 由0 ? x ? 得 ? x? ? ,当 x ? ? 即 x ? 时, ymax ? 3 3 。 3 3 6 6 6 6 2 x x x 2 6、已知向量 m=( 3 sin ,1) ,n=( cos , cos )。 4 4 4 2? ? x) 的值; (I) m?n=1,求 cos( 3
而 B ? x, C ? (II) 记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围。

解: (I)m?n= 3 sin

x x x cos ? cos 2 4 4 4

=

3 x 1 x 1 sin ? cos ? 2 2 2 2 2
x ? 1 )? 2 6 2

= sin( ? ∵m?n=1 ∴ sin( ?

x ? 1 ) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 2 6 2 ? x ? cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) 3 2 6 1 = 2 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? ┉┉┉┉┉┉┉6 分 3 3 2
由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ┉┉┉┉┉┉7 分

(II)∵(2a-c)cosB=bcosC

∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A? B ?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0 ∴ cos B ?

1 ? , B ? ┉┉┉┉┉┉8 分 2 3

2? ┉┉┉┉┉┉9 分 3 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 ┉┉┉┉┉┉10 分 6 2 6 2 2 2 6 x ? 1 又∵f(x)=m?n= sin( ? ) ? , 2 6 2 A ? 1 ∴f(A)= sin( ? ) ? ┉┉┉┉┉┉11 分 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, )┉┉┉┉┉┉12 分 2
∴0 ? A ? 7、在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? 3 cos A . (Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.
2

解:(Ⅰ) 由 2 sin A ? 3 cos A 两边平方得: 2 sin A ? 3 cos A 即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 解得: cos A ?
2 2 2

1 …………………………3 分 2

而 a ? c ? b ? mbc可以变形为 即 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 m ? 2bc 2

m 1 ? ,所以 m ? 1 …………………………6 分 2 2
1 3 ,则 sin A ? …………………………7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? …………………………8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a …………………………10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 sin A ? ? ? ………………………………12 分 2 2 2 4

8、已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C (I) 求角 B 大小;

(II) 设 m ? ?sin A,1? , n ? ? ?1,1? ,求 m ? n 的最小值.

9、在 ?ABC 中, 角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 sin B ? (1)求

5 , 且a, b, c成 等比数列。 13

1 1 ? 的值; tan A tan C

(2)若 ac cos B ? 12, 求a ? c 的值。 解: (I)依题意, b ? ac
2

5 25 , 得 sin A sin C ? sin 2 B ? . 3分 13 169 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 5 169 13 ? ? ? ? ? ? ? ? . 6分 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 13 25 5 (II)由 ac cos B ? 12知 cos B ? 0. 5 12 , 得 cos B ? ? . (舍去负值) 8 分 由 sin B ? 13 13 12 2 ? 13 . 9 分 从而, b ? ac ? cos B
由正弦定理及 sin B ? 由余弦定理,得 b ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B.
2 2

代入数值,得 13 ? (a ? c) ? 2 ? 13 ? (1 ?
2

12 ). 13

解得 a ? c ? 3 7 .

12 分

10、在锐角 ?ABC 中, a , b, c 是角 A, B, C 所对的边, S 是该三角形的面积,若

sin 2 B ? 3 sin B ?

3 ?0。 4

(1)求角 B 的度数; (2)若 a ? 4, S ? 5 3 ,求 b 的值。 解: (1) sin B ?

? 2? 3 舍去) ,则 B ? , ( B ? …… (6 分) 3 3 2

(2)

?
? b ? 21

1 ac sin B ? 5 3 ? c ? 5 ……………(9 分) 2 1 b2 ? a2 ? c2 - 2ac cos B ? 16 ? 25 - 2 ? 4 ? 5 ? ? 21 2 …………(12 分)


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