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高中数学重点手册11——概率


11.概率
「必然事件」在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件。 「不可能事件」在一定条件下不可能发生的事件叫做不可能事件。 必然事件的反面是不可能事件。 「随机事件」在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。 例如 ① a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ,则 a ? b ? 0 是必然事件; ② a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ,则 a

? b ? 0 是不可能事件; ③ a ? 0, b ? 0, 则 a ? b ? 0 是随机事件。 「频率」在相同条件下,做大量重复试验的情况下,将试验的总次数记作 n ,事件 A 发生的次数记作

m ,则

m 称为事件 A 的发生频率。 n 事件 A 的频率在一定程度上反映了事件 A 发生的可能性的大小。
「概率(或然率、几率) 」在大量重复地进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数, n

在它附近摆动,并且试验次数越多,这种摆动的幅度越小,这个常数就称为事件 A 的概率,记作 P( A). 显然,随机事件 A 的概率 P( A) 满足 0 ? P( A) ? 1 ,而必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0。 「等可能事件的概率(古典概型) 」如果一次试验中,共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含 的结果有 m 种,那么事件 A 的概率 P ( A) ?

m . n

例 1 在 10 件产品中,有 8 件一等品,2 件二等品,若从中任取 2 件,试计算: (1)2 件都是一等品的概率; (2)2 件都是二等品的概率; (3)1 件是一等品,1 件是二等品的概率。 解: (1) P ( A) ?

C82 8 ? 7 28 ? ? ; 2 C10 10 ? 9 45

2 C2 2 1 ? ; (2) P ( B ) ? 2 ? C10 10 ? 9 45 1 1 C8 ? C2 8 ? 2 ? 2 16 ? ? . 2 C10 10 ? 9 45

(3) P (C ) ?

「互斥事件」在同一次试验中,如果事件 A, B 不可能同时发生,则 A, B 叫做互斥事件(也叫做互不 相容事件) 。 从集合的角度看,事件 A, B 互斥,就是相应的集合的交集为空集。

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如果事件 A1 , A2 , A3 ,?, An 中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件 A1 , A2 , A3 ,?, An 彼此互斥。 「互斥事件有一个发生的概率」事件 A, B 是互斥事件时,事件 A ? B 是指事件 A, B 中有一个发生。 从集合的角度看,事件 A ? B 是相应集合的并集。 如果事件 A ? B 互斥,那么事件 A ? B 发生的概率等于事件 A, B 分别发生的概率的和。即

P( A ? B) ? P( A) ? P( B).
一 般 地 , 如 果 n 个 事 件 A1 , A2 , A3 ,?, An 彼 此 互 斥 , 那 么 事 件 A1 ? A2 ? A3 ? ? ? An 发 生 ( 即

A1 , A2 , A3 ,?, An 中有一个发生)的概率,等于这 n 个事件分别发生的概率的和,即 P( A1 ? A2 ? A3 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? P( An ).
「对立事件」在同一次试验中,如果两个互斥事件必然有一个发生,那么这两个事件叫做对立事件。 事件 A 的对立事件记作 A 。从集合的角度看,有关集合互为补集。 两个对立事件的和 A ? A 是一个必然事件,从而

P( A ? A) ? P( A) ? P( A).
如果计算 A 的概率比较简单时,可利用 P( A) ? 1 ? P( A) 求出 P( A). 例 2 在 20 件产品中,有 15 件正品,5 件次品,从中任取 3 件,求(1)至少有 1 件次品的概率; (2) 没有次品的概率。 解: (1)从 20 件产品中任取 3 件,记其中恰有 1 件次品为事件 A ,恰有 2 件次品为事件 B ,3 件全 是次品为事件 C 。

? P ( A) ?

1 2 C5C15 105 ? ? 0.4605; 3 C20 228 1 C52C15 30 ? ? 0.1316; 3 C20 228

P( B) ?

3 C5 2 P(C ) ? 3 ? ? 0.0088; C20 228

∴根据事件 A, B, C , 彼此互斥,有

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

? 0.4605 ? 0.1316 ? 0.0088 ? 0.6009. 因此其中至少有 1 件为次品的概率为 0.6009. (2)记其中没有次品的事件 D ,则
72

P( D) ?

3 C15 91 ? ? 0.3991. 3 C20 228

或 P( D) ? 1 ? 0.6009 ? 0.3991. 因此其中没有次品的概率为 0.3991. 「相互独立事件」如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响,那么这两个事件叫做相 互独立事件,从集合的角度看,它是相应集合的交集。 等可能事件、互斥事件,相互独立事件的区别如下: 等可能事件:结果发生的概率相等的事件(从结果发生的概率是否相等考察) ; 互斥事件:不可能同时发生的事件(从结果是否同时发生考察) ; 相互独立事件:一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响(从一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率的影响考察) 。 「相互独立事件同时发生的概率」如果 A, B 是相互独立事件,那么事件 A, B 同时发生的概率记作

A ? B ,且 A ? B 发生的概率等于事件 A, B 分别发生的概率的积,即
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
一般地, 如果事件 A1 , A2 , A3 ,?, An 相互独立, 那么事件 A1 ? A2 ? A3 ?? ? An 发生的概率等于这 n 个事件 分别发生的概率的积。即

P( A1 ? A2 ? A3 ??? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ??? P( An )
例 3 甲、乙二人各进行一次射击,如果甲击中目标的概率是 0.6 ,乙击中目标的概率是 0.7 ,计算 (1)二人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)两人都未击中目标的概率。 解: (1)记甲射击一次击中目标为事件 A ,乙射击一次击中目标为事件 B ,且 A, B 是相互独立事件, 则二人各进行一次射击,都击中目标为事件 A ? B.

? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? 0.7 ? 0.42
(2) “二人各射击一次,恰有一人击中目标”这个事件包括两种情况: 甲击中,乙未击中,即事件 A ? B 发生; 甲未击中,乙击中,即事件 A ? B 发生。 而 A ? B 与 A ? B 为互斥事件。

? P( A ? B ? A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B)

73

? P( A) ? P( B) ? P( A) ? P( B)

? 0.6 ? (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.6) ? 0.7

? 0.18 ? 0.28 ? 0.46.
(3) A 与 B 为相互独立事件。

? P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

? (1 ? 0.6)(1 ? 0.7)

? 0.4 ? 0.3 ? 0.12.
「独立重复试验」 将只有两种可能性的试验独立地重复 n 次, 叫做独立重复试验, 也叫做 n 重伯努力试验。 要判断一个随机试验是否是独立重复试验,有两条标准: ①试验是重复进行的或可以重复进行的; ②重复进行的试验是相互独立的。 其中“重复”的含义是指每次试验中,随机事件发生的概率不变。 「独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率」如果在一次试验中,事件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次 独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n ?k .

例 4 一批产品次品率不超过 10%,现对其进行检验,每次抽取 1 件,重复 5 次,求 5 次观察中恰有 2 次是次品的概率。 解:这是有放回抽样,即独立重复试验,记“一次观察中出现次品”为事件 A ,则“一次观察中出现 正品”为事件 A 。 则

P( A) ? 0.1 P( A) ? 0.9.

于是事件“5 次观察中恰好出现 2 件次品”的概率为

P5 (2) ? C52 p 2 (1 ? p)5?2

? 10 ? 0.12 ? 0.93

? 0.0729.
例 5 某气象站预报某地的天气情况,预报正确的概率是 0.8 ,那么这个气象站作 5 次预报,其中至少 有 4 次正确的概率是多少?(保留 2 个有效数字) 。 解: P (4) ? P (5) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 5 5
4 4 5? 4 5 ? C5 ? 0.85 ? (1 ? 0.8)5?5

? C54 ? 0.84 ? 0.2 ? 0.85

? 0.74.
∴至少有 4 次正确的概率是 0.74.
74


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